1、线性代数（一） 2011 年下半年第一次作业答案一.填空题（4x6=24 分）1.计算 3 阶行列式 。23178解：解法一：按照1213231231231231231233aaaaa得 7*()8*(7)382。3*(7)1*(2)81*249解法二：由行列式性质得 231231570872 1第 一 行 乘 以 -加 到 第 二 行23第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行2315049 第 二 行 乘 以 -7加 到 第 三 行12*492.已知排列 1r46s97t3 为奇排列，则 r，s，t 的取值分别为 。解：奇排列即为逆序数为奇数的排列，根据逆序数的求法，看每个数前面比它大的数有
2、几个，然后相加（网络课件中有详细讲解） 。由于排列是 9 级排列，所以可供 r 、s 、t 选择的元素有 2，5，8。不妨令 r=2，s=5，t=8，则N（124659783）=9（奇数） 。由于对换改变排列的奇偶性，故 r=2，s=5，t=8或 r=5，s=8，t=2 或 r=8，s=2，t=5。3.用行列式的性质计算： 。1cba解：考察行列式性质的运用： 11bcacab 第 二 列 加 到 第 一 列 1 0()1()aabc cb 第 一 列 乘 以 加 到 第 三 列4.设 A 为 3 阶方阵，而且 ， 则 ； 9AAT *A； .*)( 1*4（注： 为 的伴随矩阵 .）*解：考
3、察矩阵的基本性质和各种运算，尤其是其伴随矩阵和逆矩阵的行列式值问题。注意： ， （如果 A 是 n 阶矩阵） ， TA1*n， ，11k以上公式非常重要，一定要记住。本题中：（1） AT2*81（2） (-9)的 7 次方3(9)478296A（3）3*1*11113234()*()9)65AA（4） 。1*111312974*A5.设 , 则00125AB，； ； 。BTA2AnA解： 1403450252AB10T2211201A22111000n nnn n=注：考察的是矩阵的一般运算，只要细心就可以计算出来的。6. 设 与矩阵 ，则 = 。2()53ptt3162A22()53pAI解
4、：同样是考察矩阵的各种运算，以及与原来多项式的转换能力，原来多项式中常数项在矩阵多项式中变成了（常数*单位矩阵） 。直接运算即可： =22()53pI15153000二.选择题（4x9=36 分）1. 的充分必要条件是（） 。120kA、 B、 C、 D、3k1k且 31k或解：应选 C。因为 21()4()02所以上述不等式成立的充分必要条件是 。31k且2、如果 ， ，那么12133aD1D3123132 2468505aaa（） 。1A、80 B、-120 C、120 D、60解：应选 B。观察 D1，交换第二三行，再将第一行减去第二行的两倍，再提出各行的公约数，得到 D。 逆过来，由
5、D 得到 D1 的过程如下：1213 112323 34(4)*aaaDD（其中（-5）乘到第二行，2 乘到11212333(5)*50586aa第三行）（第一步：将 D3 中第三131231312 244505aDaaD 行乘以 2 后加至第一行，行列式值不变；第二步：第二行与第三行互换，行列式变号）所以， ，选 B1()*(4)*31D3.如果 有非零解，则（）3045xkyzA、 B、 C、 D、01或 1k或 1k或 31k或解：应选 D。因为若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式为零。即有 23443()051k所以当 时，该方程组有非零解。或4.设 ，则 ( )。cdbaD4 4
6、3241AAA、0; B、1； C、 D、 .2()abcd22()abcd解：应选 A。解法一：考察代数余子式的定义和计算，直接按定义计算即可，但要细心 432411424344()(1)(1)(1)cbdabcabcabcddad=0解法二：注意到 是第四列的代数余子式的和，即43241AA143241 dbacA观察得到上面的 行列式的第二列和第四列的对应元素相等，由行列式的性质知道，上面的行列式为 0.5.设 阶方阵，则必有（ ）.,(2)ABn为A、 B、 ; C、 ; D、 AAB.解：应选 D。选项 A 显然不一定不成立。可以举出反例。例子：令 12;54AB则 ，而365B02
7、ABB、参考课本第 59 页例 3。C、若 A 的阶数为 n, B 的阶数为 n，则 ,An显然两者不一定成立。,nD、 , ,故两者相等。A6设 以及 均为 阶可逆矩阵，则 等于（）,AB1Bn11()ABA、 B、 C、 D、1 1()AB解：应选 C。考察矩阵的逆运算。A 的逆必须满足 ， ，因此将1*I1()各选项一一进行运算。同时，再由教材 P77 的方法，要证明可逆，只需证明上述两个等式中任一个成立即可（ 这个非常重要，一定要记住）选项 A 中， 不会恒等于 ；1112()()()BABI选项 B 中 ，不恒112ABA等于 ；同理运算 D，不是答案；选项 C 中，设 的逆为 P，
8、要证I ()P 即为 1A111()()()IBPB11 1()BAA ，(AI进一步，可证 1()PB选 C7.设 是 的矩阵， 是 的矩阵，如果 有意义，则 是（ ）矩AspnmBACTC阵.A、 B、 C、 D、 .nsms解：应选 C。由矩阵可以相乘的条件：前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等。C T应该是 的矩阵，故 C 应是 的矩阵。s8设 为 阶对称可逆矩阵，则以下哪一项错误（ ）nA、 B、 ； 1()()TT1TAC、 ; D、 可以表示为一些初等矩阵的乘积|解：应选 B。选项 A 中， 是所有 阶可逆矩阵都能满足的，正确；1()()TTn选项 C 中， 是所有 阶矩阵都能
9、满足的，正确；选项 D 中， 可以表|Tn TA示为一些初等矩阵的乘积是矩阵可逆的等价定义，见教材 P86 页； 选项 B 中，即是正交矩阵的定义，条件更强， 阶对称可逆矩阵不一定能满足此1TA n式，错误，因此选 B。9下列矩阵中与矩阵 同秩的矩阵是（）1235AA、 B、34724015C、 D、10243解：应选 C。考察求矩阵秩的方法，主要通过初等行变换来做，见教材 P92。，rank(A)=3;1112003533A选项 A 中，为行向量，明显 rank=1，错误; 选项 B 中，秩最多也只能是 2，错误；选项 D 中， ，秩为 2，错误；21212159400359 第 二 三 行
10、 行 互 换选项 C 中， ，秩为 3，选 C。10130130252524 9三 （8 分）计算行列式：121123nnxaaxaxa解：本题考察求解行列式的方法。首先，要明白求解行列式的一般方法一， 用初等行（列）变换的方法简化行列式，化成对角形；二， 用按行（列）展开，通常选择的行（列）都是零元素比较多的。（1）在本题中，注意到不同的元素总共有（N+1）个，分别是 1,.nxa而且它们在每一行出现的顺序是循环的，但每一行都会将这所有元素列一遍，因此每一行所有元素相加的总和是不变。因此可作如下初等变换： 121123nnxaaxaxa 将 第 二 列 ,.第 n+1列 都 加 到 第 一
11、列12112 11231n nniin nnin ni ni axxaaaxaxax 121123()nni nxaaxaxa 第 一 列 提 取 公 因 子 （2）这时，注意到提取公因子后第一列元素相同，都是 1，这是最简单的，即可用初等变换使第一列中：每二行到最后一行的第一个元素化为零。如下 ： 1212113212000()0 nnni nnaaxxaaaxa 以上的变换过程如下：第 一 行 乘 以 (-1)加 到 第 二 行 上第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行 上.第 一 行 乘 以 (-)加 到 第 n+行 上（3）这样出来的矩阵，第一列只有第一个元素不为零，那这样用按第一列展
12、开的方法来求行列式，则是非常简单的了：（行列式按第一列展开）1221130.()*.ni nxaxxa（马上可看出结果了）1()()niixax所以，题中行列值为 。1()()niiax四 （8 分）若齐次线性方程组 有非零解，求 的值。314202(8)yzx 解：首先要理解，齐次线性方程组有非零解的意义是什么？它的等价条件是什么？即是系数矩阵的行列式为零。从而计算系数矩阵的行列式即可，用初等变换的方法，将行列式化为上三角形： 314214214228080835D2(1)(1)5当该方程组有非零解时， 。3或五 （8 分）设 .,217435XA，XA求 矩 阵解. 由 得 即X=-+=(
13、).E+=23571.AE+=Q可从而 于是利用初等变换()1.XA-求(A+E) -1即2357123510235071021 3第 一 行 乘 以 -加 到 第 二 行21第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行123510235100022 第 二 行 乘 以 加 到 第 三 行 第 二 行 乘 以1 52351023450 011 第 三 行 乘 以 加 到 第 二 行 第 三 行 乘 以 加 到 第 一 行 13 2281 20101 第 一 行 乘 以第 二 行 乘 以 加 到 第 一 行(A+E)-1=124= =-1X(A+E)27435014六 （8 分）设 .2)(213AR
14、k，kA为 何 值 时问解： 首先，要了解矩阵秩的定义，见教材 P90；其次，要了解求解矩阵秩的方法，见教材 P9293；一般来讲，第一种方法即“初等行变换”比较常用，通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵。此矩阵为三阶方阵，若要使其秩为 2，则对此矩阵进行初等行变换后，矩阵应是非零行有且仅有两行，因此步骤如下： 123Ak12046k 第 一 行 加 到 第 二 行第 一 行 乘 以 -加 到 第 三 行()24kRA16)450(50kk2或所以，当 时，1k或 2)(AR七. (8 分) 设 为 阶方阵，若 ,证明： 可逆，且 .B,nBEABA证明：需注意，E 即为单位矩阵，在这里为 n 阶。0()(*)ABAE10,AE由 知 ：故 可 逆 。 11*,()B在 （ ） 两 边 左 乘 （ A-)得 ：由逆矩阵的定义，有： ()()=AEBE()BEABE故 .
