1、基于随机过程的三国杀分析1基于随机过程的三国杀分析张鹏 缪雨壮 洪杰钟科杰 许晨2010-11-30基于随机过程的三国杀分析2目 录1 课题背景 42 研究目的与报告结构 43 闪电命中概率 53.1 背景知识 .53.2 建模场景 .53.3 理论分析 .53.4 仿真结果及讨论 .64 司马懿对甄姬洛神技能的影响 64.1 背景知识 .64.2 建模场景 .74.3 理论分析 .74.4 仿真结果及讨论 .85 陆逊爆发力 125.1 背景知识 .125.2 建模场景 .135.3 理论分析 .135.4 仿真结果及讨论 .156 黄盖寿命及攻击力 176.1 背景知识 .176.2 理论
2、分析 .186.3 仿真结果及讨论 .196.4 补充拓展 .217 郭嘉存活力 247.1 背景知识 .247.2 建模场景 .257.3 理论分析 .257.4 仿真结果及讨论 .298 周泰存活力 318.1 背景知识 .318.2 建模场景 .32基于随机过程的三国杀分析38.3 理论分析 .328.4 仿真结果及讨论 .339 黄月英爆发力 359.1 背景知识 .359.2 建模场景 .359.3 理论分析 .359.4 仿真结果及讨论 .3710 总结 3810.1 课题总结 .3810.2 学习感悟 .3911 成员分工情况 39基于随机过程的三国杀分析41 课题背景随机过程，
3、作为对一连串随机事件动态关系的定量描述，在自然科学、工程科学以及社会科学各领域具有重要应用。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程。由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，用这种理论工具，可以对常见的过程进行分析，进行一系列随机计算，从而可以将随机过程这一理论工具应用
4、到实际中去，可以进行预测与决策，是相关数学模型的理论基础。本课题选取三国杀桌牌游戏为研究对象，利用随机过程理论进行几个特定场景模式下的人物特性、角色相互关系的建模分析。正是由于摸牌结果的随机性、策略之间的牵制性，游戏过程往往涉及到随机概率、马尔可夫过程等概念；在研究某一问题的统计平均值时，又建模为随机变量的期望值求解。显然，基于随机过程的理论研究方法，可以得到一些三国杀游戏中的规律性认识。2 研究目的与报告结构将随机过程应用于对三国杀的建模分析，可以使我们在理解基本概念和方法的基础上，获得更灵活的对随机事件相互关系的探究；能够深刻体会随机过程在生活实际中的运用；并且，熟练掌握利用建模思想，解决
5、问题的方法。当然，对于游戏的取胜功略方面，研究结果也将是颇有指导意义的。下面的章节将分不同人物及场景来进行相关内容的阐述。其中，39 节分别对闪电命中概率、司马懿对甄姬洛神技能的影响、陆逊爆发力、黄盖寿命及攻击力、郭嘉存活力、周泰存活力、黄月英爆发力几个问题进行了理论分析，并给出了仿真结果和必要的讨论。综合性的总结在第 10 节给出。第 11 节是小组内部成员的分工情况。基于随机过程的三国杀分析53 闪电命中概率3.1 背景知识闪电是三国杀中的一类基本卡牌，玩家打出闪电牌后，闪电置于玩家前，从下一轮开始，玩家需要对闪电进行判定，若判定牌为黑桃 2 到黑桃 9 中任一张，则玩家被闪电命中，扣掉三
6、滴血；如果没有命中，则闪电传给下一玩家，直到有玩家命中为止。3.2 建模场景在该研究中，假设牌堆无限；场上有 6 个玩家，且不出现诸葛亮，司马懿，张角等能影响判定的武将；各玩家没有无懈可击抵御闪电，没有过河拆桥拆掉闪电，闪电会一直存在直到有玩家命中。闪电的规则让每个玩家都抽一张判定牌，看似每个玩家命中的概率都一样，真的是这样吗？下面我们具体研究。3.3 理论分析在一次判定中，闪电命中的概率为 ，未命中的概率为 。从放闪电的p1p玩家开始，依次编号为 1，2，3，4，5，6。 表示各玩家被闪电命(,2.6)kP中的概率。P（第一圈命中） + P（第二圈命中） + P（第三圈命中） 1612()(
7、).pp6(1)p273.同理， ，由此可见，越晚判定的玩家命中的概16()(,2.)kkpP率越小。还可以扩大到 n 个玩家的情形， 。1()(,2.)kknpP三国杀中黑桃 2 到黑桃 9 共有 13 张，故 p=13/108。基于随机过程的三国杀分析63.4 仿真结果及讨论用 MATLAB 对该研究情形进行仿真，得到仿真结果与理论推导结果如下图所示：可见仿真结果与理论推导结果符合得很好，验证了我们的研究结果正确性。4 司马懿对甄姬洛神技能的影响4.1 背景知识甄姬在三国杀游戏中称为“薄幸的美人” ，其技能之一为洛神：回合开始阶段，可进行主动判定，若判定结果为黑色花色，视为判定成功，则将该
8、判定牌收归手牌，并可以继续判定；若结果为红色花色，视为判定失败，技能终止。可以不断的判定直到不愿意继续或判定的结果变为红色为止。司马懿在三国杀游戏中称为“狼顾之鬼” ，其技能之一为鬼才：在任意玩家的判定牌生效前，可用自己的一张手牌代替之。由于司马懿可以改判定牌，因此不难想象，司马懿的存在对于甄姬的爆发力有着比较大的影响。如果司马懿和甄姬属于盟友关系，那么一旦甄姬判定出基于随机过程的三国杀分析7现红色花色，司马懿可以用黑色手牌代替判定牌，使甄姬能够继续发动洛神技能，从而令甄姬的爆发力大为增强；如果司马懿和甄姬属于敌对关系，那么在甄姬第一次发动洛神技能时，司马懿可以利用红色手牌使其判定失败，从而无
9、法获得额外的手牌。4.2 建模场景为便于分析，本文对场景设定如下：司马懿有三张手牌，每张手牌的花色为统计独立；假定牌堆数目无限，即不考虑牌数有限的影响。108 张牌里面有红黑各一半，也就是说每次判定成功的几率是 50%。4.3 理论分析首先考虑甄姬与司马懿为盟友的情况，下面针对司马懿手中黑色手牌数进行分类讨论。当司马懿手中无黑色手牌时，司马懿的存在对甄姬洛神技能的发动时没有影响的。由于一旦判定失败，洛神技能终止，因此甄姬洛神实际上相当于一个几何分布，p=q=0.5，获得额外手牌的概率为： 1()1/2(/2)nnp当司马懿手中有 1 张黑色手牌时，一旦甄姬洛神判定失败，司马懿可以用此手牌代替之
10、，使甄姬能够继续发动洛神技能。实际上相当于甄姬能够发动两次洛神技能，同时司马懿的这张黑色手牌也归甄姬所有。显然两次洛神技能的发动是相互统计独立的，故甄姬获得的额外手牌数为 1 加上两个几何分布。我们知道，两个统计独立的随机变量的母函数相当于各个随机变量母函数之积。不难知道，几何分布的母函数为： 102()/)nnss故甄姬额外手牌数减去 1 的结果的母函数为： 220114()()2()nns ss所以甄姬额外获得手牌数的分布满足（需要加上司马懿的黑色手牌）： 1()42np基于随机过程的三国杀分析8当司马懿手中有两张黑色手牌时，实际上相当于甄姬能够发动三次洛神技能，而且司马懿的两张黑色手牌也
11、归甄姬所有。分析同上，甄姬获得额外手牌数减二的结果为三次几何分布相加的结果，其母函数为： 3301(1)28()()2nns ss故甄姬额外获得手牌数的分布为： 21()8np当司马懿手中有三张黑色手牌时，实际上相当于甄姬能够发动四次洛神技能，而且司马懿的三张黑色手牌也归甄姬所有。分析同上，甄姬获得额外手牌数减三的结果为四次几何分布相加的结果，其母函数为： 4401(1)2(3)16() 6()2nns ss 故甄姬额外获得手牌数的分布为： 31()21()()6np由于司马懿手牌的花色为相互统计独立的，因此：司马懿无黑色手牌的概率为 03()28C司马懿有一张黑色手牌的概率为 13司马懿有两
12、张黑色手牌的概率为 2()司马懿有三张黑色手排的概率为 38C故甄姬额外获得手牌数的分布为： 112 33()1(1)2()() ()824286nnn np 司马懿角色未出现或者司马懿决定不对甄姬洛神技能进行干预时，甄姬额外获得手牌数与司马懿手中无黑色手牌的情形是一致的，此处不再进行额外分析。当司马懿与甄姬为敌对关系时，假定只要司马懿有红色手牌，一旦甄姬发动洛神，若判定牌为红色，司马懿不动作；若判定牌为黑色，则司马懿必将其改为红色牌，使甄姬技能发动失败。为方便起见，此处不再进行理论推导。基于随机过程的三国杀分析94.4 仿真结果及讨论由 4.3 结论，当司马懿手中有 1 张黑色手牌时，甄姬额
13、外获得手牌数的分布满足（需要加上司马懿的黑色手牌）： 1()42np下面给出仿真结果和理论分析对比曲线：0 5 10 1500.050.10.150.20.250.30.35与与与与与与与与不难发现，理论分析和实际仿真基本上完全吻合，进一步验证了我们的结论。当司马懿手中有两张黑色手牌时，甄姬额外获得手牌数的分布为： 21()8npn仿真结果和理论分析曲线的比较如下：基于随机过程的三国杀分析100 5 10 1500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2与与与与与与与与当司马懿手中有三张黑色手牌时，甄姬额外获得手牌数的分布为： 31()21()()6nnp仿真
14、结果和理论分析曲线的比较如下：0 2 4 6 8 10 12 14 16 1800.020.040.060.080.10.120.140.16与与与与与与与与基于随机过程的三国杀分析11甄姬额外获得手牌数的期望值分布为： 112 333()1(1)2()() ()8242886nnn np 理论分析与仿真结果曲线对比如下：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1500.020.040.060.080.10.120.140.16与与与与与与与与下面给出司马懿与甄姬关系为盟友、敌对、司马懿未干预三种情形下甄姬额外获得手牌数的仿真结果。基于随机过程的三国杀分析120
15、5 10 1500.10.20.30.40.50.60.70.80.91与与与与与与与与与与与与与与与与与司马甄姬盟友、无司马懿存在和司马甄姬敌人三种情形下，甄姬额外获得手牌数目的期望值为 3.9997、1.0013、0.1253，前两项约等于 4 和 1。显然，由于司马懿的存在，甄姬爆发力受到较大的影响，由上图同样可以看出这一结果。司马甄姬为敌人时，甄姬几乎不可能发动洛神成功，而司马甄姬为盟友，甄姬额外获得手牌数目分布较为平淡，也有可观的概率获得五张以上的手牌，这将使得甄姬的攻击输出比较恐怖。5 陆逊爆发力5.1 背景知识陆逊属于后期爆发型选手，这类人物比较适合当内奸。其技能之一连营：每当失
16、去最后一张手牌时，可立即摸一张牌。连营的技能能够使得他在后期单挑主公。在三国杀里，的确存在许多只要运气足够好，威力无穷大的技能，连营就是其中最典型的一个。举个最简单的例子，陆逊在装备诸葛连弩的情况下，将最后一张牌打出，然后连续摸到杀，一直处于进攻状态，这种进攻就相当恐怖。基于随机过程的三国杀分析135.2 建模场景这里，我们对陆逊使用连营在一回合内的爆发力做一个分析。由于连弩对其是否能够多次使用杀有直接影响，所以分有连弩和无连弩两种情况考虑陆逊能够获得的额外牌数。在三国杀中，一共有 108 张游戏牌，其中 30 张杀、15 闪、8 桃、6 过河拆桥、5 顺手牵羊、4 无中生有、3 南蛮入侵、3
17、 决斗、3 乐不思蜀、3 无懈可击、2 闪电、2 五谷丰登、2 借刀杀人、1 万箭齐发、1 桃园结义；装备共 20 件（60%为黑色） ，其中+1/-1 马各 3 匹，11 把武器（诸葛连弩 2 把，其他各 1） 、3 防具（2 八卦阵、1 仁王盾） 。5.3 理论分析A最少摸牌期望无连弩建模前提：假设陆逊满血，本回合已经使用过杀，即若摸到杀、桃均不可继续连营。初始状态为 0 张手牌，即连营开始。分析：对于无懈可击和闪，因具有防御性质，均不可继续连营。顺手牵羊可以让陆逊拿到其他角色的一张手牌，若此时牌空，同时从牌堆里摸一张牌，相当于手牌数增加 2 张。需要指出的是，此处考虑陆逊从其他角色处拿到
18、的手牌为任意可能的牌。五谷丰登可以让陆逊从牌堆中取出一定数目的牌，并任意选取一张，若此时牌空，加上连营技能触发所得到的一张，相当于陆逊的手牌数增加 2 张。为简便起见，此处认为陆逊选取的牌为任意可能的牌。无中生有可以使陆逊从牌堆中摸两张牌，若此时牌空，再摸一张，相当于手牌数增加了3 张。其他锦囊牌和装备牌，对陆逊的手牌数没有影响，但是当打出牌后处于牌空状态，连营可使其增加 1 张手牌。建模：选取陆逊本回合摸到的额外牌数为状态，那么状态空间为0,1,2,3,根据状态转移概率，求解稳态时的概率分布，即可通过求期望得出平均可获得的额外牌数。考虑到这一过程相当复杂，可利用如下简化方法近似计算。无中生有
19、的概率 ，34108p顺手牵羊和五谷丰登的概率 ，257108其他锦囊牌和装备牌的概率 。1陆逊在空牌状态下连营触发摸到一张牌，假设一张手牌能够带给他的额外手牌数为 n。基于随机过程的三国杀分析141）当此牌为无中生有时，可以继续获得额外 3 张手牌，这 3 张牌又能够带来的额外牌数设为 m，应分别计算 3 张牌为不同种牌的可能性，以及对应带来的额外牌数，m 即为这 3 张牌带来的额外牌数期望。比如， 3 张均为一般锦囊牌或装备牌（打出后不能带来附加牌） ，那么在全部打出后，可利用连营摸 1 张牌，这张又可带来新的 n 张额外牌；为了简化计算，我们不再考虑这 3 张牌为其他锦囊的情况，事实上，
20、也由于 p2、p 3 值较小，对整个运算结果影响不大。所以，这 3 张牌带来的额外牌数期望 1mn2）当此牌为顺手牵羊或五谷丰登时，可以继续获得额外 2 张手牌，同样的分析可以得到这 2 张牌带来的额外牌数期望 21p3）当此牌为其他一般锦囊牌或装备牌时，只可以通过连营获得 1 张手牌，此牌能够继续带来额外牌 n 张。通过上述讨论，我们得到关于一张手牌能够带来的额外手牌数 n 的公式：23111ppnp将 p1、p 2、p 3 的值代入上式，计算得到 。.07考虑到初始为空牌状态，必然可获得 1 张额外牌。所以，陆逊一回合内获得的额外牌数期望为 。2.037nB最大摸牌期望有连弩建模前提：假设
21、陆逊装有诸葛连弩，可自己损血，即摸到杀、桃均可以继续连营。初始状态为 0 张手牌，即连营开始。分析：无懈可击、闪、顺手牵羊、五谷丰登、无中生有对陆逊摸牌的影响与无连弩的情况相同。其他锦囊牌、非武器装备牌、连弩、杀、桃，对陆逊的手牌数没有影响，但是当打出牌后处于牌空状态，连营可使其增加 1 张手牌。非连弩武器牌对连营存在影响：当打出非连弩武器牌后，将替换连弩，由有连弩状态转变为非连弩状态，而诸葛连弩共 2 张，再次摸到连弩的可能性极低，故不考虑转变回有连弩的情况。建模：其过程与无连弩的分析类似。不同之处在于，将杀和桃列入可以继续连营的牌，考虑有连弩到非连弩的转变。非连弩武器牌的概率 ，49108
22、p无中生有的概率 ，3顺手牵羊和五谷丰登的概率 ，257108基于随机过程的三国杀分析15其他锦囊牌、非武器装备牌、连弩、杀、桃的概率 。13028701p陆逊在空牌有连弩状态下连营触发摸到一张牌，假设一张手牌能够带给他的额外手牌数为 n。1）当此牌为非连弩武器牌时，可以连营得到 1 张手牌，打出该武器牌后将替换现有的连弩装备，进入无连弩状态，并且基本不再回到连弩状态。根据前面的结论，新的手牌将带来额外牌数 0.37n2）当此牌为无中生有时，可以继续获得额外 3 张手牌，这 3 张牌又能够带来的额外牌数设为 m，这 3 张牌带来的额外牌数期望（参照无连弩情况） 31p3）当此牌为顺手牵羊或五谷
23、丰登时，可以继续获得额外 2 张手牌，同样的分析可以得到这 2 张牌带来的额外牌数期望 21n4）当此牌为其他牌时，只可以通过连营获得 1 张手牌，此牌能够继续带来额外牌 n 张。通过上述讨论，我们得到关于一张手牌能够带来的额外手牌数 n 的公式：23111401pnpnp将 p1、p 2、p 3、p 4、n 0 值代入上式，计算得到 。.8考虑到初始为空牌状态，必然可获得 1 张额外牌。所以，陆逊一回合内获得的额外牌数期望为 。.85.4 仿真结果及讨论通过 Matlab 仿真，我们得到无连弩情况下额外手牌数的概率分布情况如下图所示：基于随机过程的三国杀分析16并且，仿真得到的额外牌数期望值
24、为 2.0968，与理论分析结果相近，验证了上述近似计算的合理性。由仿真图可以看到，陆逊在一回合内接连使用连营技能，获得额外手牌数达到 5 的概率在 0.05 左右，即 5%。这对于其后期爆发力的表现无疑是相当可观的。在有连弩的情况下，Matlab 仿真结果：基于随机过程的三国杀分析17首先，我们看到：概率分布曲线较之前的无连弩情况变得平滑，获得较大数量手牌的可能性明显上升。陆逊在一回合内获得额外手牌 9 张、甚至 11 张的概率仍然相当可观（约为 5%、2%） 。另一方面，计算得到的额外手牌数期望值为 5.0267，与理论值有一定偏差。这是由于理论推导的简化方法忽略了一些低概率的情况，但仿真
25、中完全服从实际考虑，故产生差值。不过，从整体趋势上看这种误差是合理的。无连弩与有连弩两种情况下的理论与仿真结果均表明：使用诸葛连弩后，平均额外摸牌数从 2.0968 升至 5.0267，大约增大了 139.7%，这将使陆逊的爆发力有显著性的增强。6 黄盖寿命及攻击力6.1 背景知识东吴的黄公覆在三国杀中可谓是第一爆发型的武将。其技能“苦肉” 带有相当大的运气成分，因此选择黄盖的玩家首先必须对自己运气有十足的信心。黄盖技能苦肉：出牌阶段，可以失去一点体力，然后摸两张牌。每回合中，可以多次使用苦肉。当失去最后一点体力时，优先结算濒死事件，当被救活后，基于随机过程的三国杀分析18才可以摸两张牌。换言
26、之，可以用此技能自杀。其实只要仔细研究一下“ 苦肉 ”技能就会发现，该技能完全就是在赌博，用损失一点体力的代价赌博摸到好牌，等手牌有优势后集中攻击目标。所以黄盖是标准的反贼型角色，在游戏开始时不露声色，等时机成熟后不断使用技能，期望抽到需要的牌，如果抽到“桃” 就算白摸一张牌，等手牌力量积蓄充足便对主公下“黑手 ”。6.2 理论分析根据黄盖的技能特点，我们重点讨论黄盖的寿命以及攻击数。首先若假设其苦肉至只有 1 滴血，此时黄盖手中牌数为 4+3*2=10 张。下面考虑每张手牌给黄盖带来的额外生命值为 p。我们知道，每张手牌有9/108 的概率为桃和桃园结义，能够使黄盖生命值增加 1 点，此时黄
27、盖使用苦肉，又可以拿到两张手牌，这两张手牌分别能给黄盖带来 p 的额外生命值；有 5/108的概率为顺手牵羊，此时黄盖能够拿到一张手牌，它能给黄盖带来 p 的额外生命值；有 4/108 的概率为无中生有，此时黄盖能够拿到两张手牌，这两张手牌分别能给黄盖带来 p 的额外生命值；有 2/108 的概率为五谷丰登，此时黄盖能够拿到一张手牌，它能给黄盖带来 p 的额外生命值。由此可以得到递推式如下所示： 9542(12)080810899*75p得: 由于黄盖此时手牌数为 10，故黄盖的平均寿命为 10*9/75+4=5.2。下面考虑黄盖拥有诸葛连弩时，平均输出攻击数目。首先对攻击作一个定义，由于黄盖
28、能够连续出杀，因此所有的杀都可以作为攻击。此外，过河拆桥、顺手牵羊、南蛮入侵、决斗、乐不思蜀、借刀杀人、万箭齐发均可以视为一次攻击，需要特别指出的是，顺手牵羊既是一次攻击，又能获得一张手牌。除顺手牵羊以外的攻击所占概率为 48/108。假设每张手牌带来的攻击输出为 q，则当手牌为除顺手牵羊以外的攻击时，攻击输出为 1；当手牌为顺手牵羊时，攻击输出为 1，同时获得一张手牌，带来 q 的额外攻击输出；当手牌为无中生有或者五谷丰登时，分别能获得 2 张和 1 张手牌，每张手牌能带来 q 的额外攻击输出。故有递推式如下：基于随机过程的三国杀分析1948542(1)008139qqq得: =即每张手牌的
29、攻击输出平均为 53/93。我们知道，黄盖的平均寿命为 5.2，故平均能发动 4.2 次苦肉，所拥有的手牌数目为 4.2*2+4=12.4 张，故平均能输出的攻击次数为 12.4*53/93=7.0667。以手牌数目为状态，画出状态转移图，这是一个有限状态的马尔可夫过程，手牌数目状态为10,11 ， ,19,由于考虑无中生有和顺手牵羊会导致这个马尓可夫链及其复杂，所以，只考虑桃的影响。1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 82P34P56P78P91 9,0P1 61 4 1 91 81 71 51 31 21 11 0下面黄色的状态是吸收态，表示此时手里无桃。设
30、手牌数目为 ，则手中N无桃的概率为 ，所以，手牌数目从 的概率为 。908NN0则进入手牌数为 的吸收态的概率为：109988iiA通过 Matlab 计算均值得到 11.8。我们知道，这种仿真策略是假设没有无中生有和顺手牵羊的前提下做的，那么我们计算一下，在这种假设下的理论值。此时，一张手牌的额外的生命力值的递推公式简化为： 9(12)08.pp得: 所以初始状态为 10 张手牌的情况下，生命值的均值为 10*0.1+4=5。所以，最多可以完成 4 次苦肉。每次苦肉可以拿两张牌，那么平均可以拿牌数目为4*2+4=12 张。与仿真值基本吻合。6.3 仿真结果及讨论黄盖的平均寿命为 10*9/7
31、5+4=5.2。仿真结果为 5.1922，二者能够较好的吻合。概率密度曲线如下所示：基于随机过程的三国杀分析204 5 6 7 8 9 10 11 12 1300.10.20.30.40.5与与与与我们知道，黄盖的平均寿命为 5.2，故平均能发动 4.2 次苦肉，所拥有的手牌数目为 4.2*2+4=12.4 张，故平均能输出的攻击次数为 12.4*53/93=7.0667。仿真结果为 7.0553，基本与理论推算值相符合。概率密度曲线如下所示：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2100.050.10.150.20.25与与与与与与与与与与与基于随机过程的三国杀分析21进入手牌数
32、为 的吸收态的概率为： ，通过 MatlabN109988NiiA计算的概率为：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.20.250.30.350.40.45与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与6.4 补充拓展A黄盖无连弩情况：不同之处的在于算作是攻击的牌数目，有连弩时 108 张牌中 48 张为攻击性牌，无连弩时 108 张牌中只有 18 张为攻击性牌（去掉 30 张杀） 。分析方法同前：18542()0108239qqq得: =显然，黄盖的寿命与之前是一样的，平均能拿到 12.4 张牌，故平均输出攻击数为 12.4*23/93=3.0667，
33、仿真结果为 3.0665，二者吻合得非常好，验证了我们的分析。概率分布曲线如下：基于随机过程的三国杀分析221 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2100.050.10.150.20.25与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与可见，如果没有连犊，黄盖的攻击能力大大减弱，平均为 3 次的攻击时不足以杀掉一个对手的，一般来说，对手手里初始为 4 张牌，能拿到闪的期望值约为 1.1 张，所以平均能抵挡一次攻击，这样来说，黄盖牺牲自己 3 滴血的苦肉也只能对对手造成不到 2 次的攻击，而且，如果遇到像甄姬和赵云这种防御能力较强的人物，黄盖就更废了，所以，在没有连犊的情况下苦肉实在不是
34、明智之举。如果对手是司马懿，黄盖就更无用武之地了，好不容易有连犊也会被反馈走，所以，选择像黄盖这样的人物，最好场上要有能够和自己配合的同伙，比如刘备或者华佗。B黄盖起始只有 3 血 4 手牌的情况苦肉至 1 血时，手中牌数只有 4+2*2=8 张，带来的额外寿命为8*9/75=0.9600，故平均寿命为 3.9600。实际仿真结果为 3.9567，二者基本吻合，概率分布曲线如下：基于随机过程的三国杀分析233 4 5 6 7 8 9 10 11 1200.10.20.30.40.53与与与与与4与与与与与由此带来的攻击性大为减弱。此时黄盖只能发动苦肉 2.9600 次，所拥有的手牌数为 2.9
35、600*2+4=9.92 张，故平均能够输出的攻击次数为9.92*53/93=5.6533。实际仿真结果为 5.6499，二者基本吻合。概率分布曲线1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2100.050.10.150.20.25与与 3与与与与与与与与与 4与与与与与与与基于随机过程的三国杀分析24可见，如果黄盖初始就失去一滴血，会把他的攻击力从 7.0 降到 5.6，攻击力减弱比较明显，所以，如果黄盖在你下家，为了降低他的杀伤力，不放打掉他一滴血，或许就可以逃过灭顶之灾了。C 出桃救黄盖的意义可以强调的一点，盟友每出一个桃救黄盖，等效黄盖初始血量增加 1 滴，故其苦肉至 1 血后
36、手牌数目增加 2，带来的额外生命值为 2*9/75=0.2400，故可以增加的苦肉次数为 0.2400，即可以多拿到 0.4800 张手牌，共同多拿到的手牌数目为 2+0.4800=2.4800，故平均输出的攻击次数增加 2.4800*53/93=1.4133。即每救 1 次黄盖，平均意义上黄盖可以多攻击 1.4133 次。这时候，我们自然想到一个血库角色华佗。如果华佗和黄盖是同伙，那么两人的配合会形成一波流的局面，基本上可以速速解决对手，当然，不是绝对的，要看对手的具体角色。加仿了一个黄盖加华佗的，假设华佗可以发动 3 次急救。1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2100.05
37、0.10.150.20.25与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与7 郭嘉存活力7.1 背景知识三国杀中，魏国的武将多数是钉子户，一旦招惹了他们，不然就是反馈，基于随机过程的三国杀分析25再不就是刚烈。郭嘉在魏国的武将之中，是惹不起的，且看他的两项技能：遗计：每受到一点伤害，可摸两张牌，将其中的一张交给任意一名角色，然后将另一张交给任意一名角色。天妒：在判定牌生效时，可以立即获得它。虽然郭嘉只有三滴血，但是他的技能为他赢得了更大的存活能力。在三国杀游戏中，曾见到吕蒙手握诸葛连弩和近十张杀攻击郭嘉而没能将其杀死，所以，研究一下郭嘉所能够抵抗的杀的数目可以对郭嘉的生存能力有一个更
38、为深刻的认识。7.2 建模场景为了便于分析，我们将模型简化如下：牌堆有 108 张牌，红牌和黑牌数目各占一半；其中闪有 15 张，桃有 8 张，并假定每次取每一张牌的概率是相互独立的；吕蒙手中已有连弩，和无数张杀。7.3 理论分析我们分析的问题是：吕蒙要出多少张杀才能将郭嘉杀死。首先我们来计算一下郭嘉能够抵挡杀的数目的均值。如果初始状态时，郭嘉手牌数目为 3 张，血量为 3 点，那么郭嘉从满血到被打到剩一滴血，此时郭嘉手中有 7 张牌，我们假设每一张牌可以抵挡杀的概率是 P，我们知道能够抵挡杀的卡牌是闪，或者是桃，并且使用桃后可以再拿两张牌，有递推关系我们得到下式： 158P=+(2P)04由
39、于 7 张手牌相互统计独立，所以 7 张手牌一共可以给他带来抵挡杀的均值为： 1P=.54所以郭嘉一共能够抵挡杀的数目的均值为 。实际仿真结果为31.754.4.7558，与我们的理论计算值相等，验证了我们的分析。为了对郭嘉的存活力有更一步清醒的认识，我们不妨将郭嘉与赵云、甄姬两名武将做一个简单的对比。之所以选择赵云和甄姬，因为他们同样具有较强的防守能力。赵云的技能为龙胆：可以将手牌的杀当闪、闪当杀使用或打出。基于随机过程的三国杀分析26甄姬技能之一为倾国：可以将黑色手牌当闪使用（或打出） 。对于赵云来说，每张手牌为闪的概率应该为 45/108，故对于手牌数为 4 的赵云来说，其额外能够抵抗的
40、杀数目为 4*45/108=1.6667；对于甄姬来说，每张手牌为闪的概率为1/2，故对于手牌数为 3 的甄姬来说，其额外能够抵抗的杀数目为 3*1/2=1.5。显然赵云和甄姬额外能够抵抗的杀数目均小于郭嘉的 1.75。而且上述分析均针对有手牌的情况。如果郭嘉和赵云、甄姬均没有手牌的话，郭嘉额外能够抵抗的杀数目为 4*1/4=1.，而赵云和甄姬额外能够抵抗的杀数目为 0.，显然差别较多，所以即使将郭嘉称为肉盾也是不为过的。不妨将上述结论与另三种情况进行对比：初始状态为 1 张手牌，血量为 1点；初始状态为 2 张手牌，血量为 2 点；初始状态为 4 张手牌，血量为 4 点。经理论推导和实际仿真
41、后，得到如下结论：初始状态为 1 张手牌，血量为 1 点时，平均抵挡的杀的数目为 1.25 次；初始状态为 2 张手牌，血量为 2 点时，平均抵挡杀的数目为 3 次；初始状态为 4 张手牌，血量为 4 点时，平均能够抵挡杀的数目为 6.25 次。显然，郭嘉血量越多，则额外能够抵抗的杀数目也越多，即郭嘉血量与其额外能够抵抗的杀数目为一凸函数。简单的计算可以发现，其存活力随血量的增长速度是远超过赵云和甄姬的。仔细研究后我们发现，本场景具有一定的马尔科夫性。选取郭嘉手牌中桃和闪的数目为状态，则状态空间为（手牌中桃的数目，手牌中闪的数目）：(0,0), (0,1),(0,2),(1,0),(2,0),
42、 (m,n),.。假定牌堆有无限张牌，拿到闪的概率 15/108，拿到桃的概率 8/108。假设郭嘉初始为 2 滴血，手牌数目为 0。因此状态转换图如下：从 2 滴血 0 张手牌，分别以概率为 进入状态（0,0） ，8510进入状态（0,1） ， 进入状态（1,0） ， 进入8510215820状态（1,1） ， 进入状态（2,0） ， 进入状态（0,2） 。 （0,0）为吸8015108收态，其他状态的转移图如下：基于随机过程的三国杀分析27(0,3)(0,2)(0,1)(0,0) (1,0) (2,0)1111(1,1) (2,1)(1,2)0 . 6 20 . 6 20 . 0 0 50
43、 . 6 20 . 0 0 511110 . 2 20 . 0 210 . 1 10 . 0 210 . 0 20 . 0 20 . 1 2 0 . 0 6 0 . 0 6上图的转移概率计算如下：（1,0） (2,0) : 8（1,0） (0,0) : 510（1,0） (1,1) : 28（1,0） (0,1) : （1,0） (1,0) : 510（1,0） (0,2) : 8所以，初始状态为 2 滴血，0 张手牌的郭嘉能够抵挡杀的数目即为从 2 滴血 0 张手牌的（0,0）状态进入常返态（一滴血）时的（0,0）状态的期望时间。在这种初始状态确定的情形下，去掉不可能存在的状态，上面的转换图
44、简化为如下：基于随机过程的三国杀分析28(0,2)(0,1)(0,0) (1,0) (2,0)111(1,1) (2,1)(1,2)0 . 6 20 . 6 20 . 0 0 50 . 6 20 . 0 0 5110 . 2 20 . 0 210 . 1 10 . 0 210 . 0 20 . 0 20 . 1 2 0 . 0 6 0 . 0 6(2,2)可见该状态图是周期重复的，列出方程： 0100211200111021102088558528ETETETETET301021122120185585 0ETETETET求解 即可由00202,ET20 0110122858585 10ETE
45、TT滴 血 滴 血。可见，利用吸收时间的方法求解比较麻烦，不如上面用递推公式推导的方法简洁。基于随机过程的三国杀分析297.4 仿真结果及讨论1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1500.10.20.30.40.50.60.70.8与 与 与 与 与 3与 与与 与 与 与 与 4与 与与 与 与 与 与 2与 与与 与 与 与 与 1与 与上图中，横坐标是能够抵挡杀的数目，纵坐标是概率，可见，当郭嘉血量为 1 滴血时，能够抵挡杀的数目超过 2 张的概率很小了，所以在郭嘉处于满血状态时连续打击他是不明智的，要让他处于失血状态并且把多余的手牌弃掉，这时候打他，基本上
46、是不堪一击了。之前对郭嘉的分析主要集中在他的一个技能，即“遗计”的功能的研究，而郭嘉另外一个重要的技能“天妒” ，即将判定牌收为手牌也是郭嘉的一大利器，尤其当郭嘉装配有八卦时。那么，让我们来分析一下，装有八卦的郭嘉需要多少张手牌杀可以将他杀死。基于随机过程的三国杀分析305 10 15 20 25 30 35 40 4500.050.10.150.20.250.30.35与 与 与 3与 与 与 与 与 与与 与 与 3与 与根据仿真结果，计算出有八卦的郭嘉能够抵挡的杀数目的期望为 19.6，可见，当郭嘉有八卦时，平均需要 19.6 张杀才能将郭嘉杀死，并且，要用大于 50张杀能将郭嘉杀死的概
47、率大于 30%。从仿真结果可以看出，有八卦的郭嘉根本就是一个打不死的小强，每打一次相当于送了郭嘉一张牌，所以，当郭嘉有八卦时，宁可把选择弃掉杀也不要打他。郭嘉和华佗是一对生存力更为强悍的组合。华佗的技能之一为急救：在自己的回合以外，可将任意一张红桃或方片当作桃使用。那么一旦郭嘉掉血，就可以将红色手牌分发给华佗，让华佗使用急救技能使其血量维持为 1。假定场景如下：郭嘉三血零手牌，华佗三血零手牌，此时开始对郭嘉无限出杀。可以想象，由于所有闪均为红色，如果郭嘉掉血拿到两张手牌，即使其中有闪，郭嘉同样应该将其分发给华佗。仿真结果如下所示，为方便起见，只显示郭嘉能抵抗杀数目为 3 至 20 的概率。经统计后得到，郭嘉抵抗杀数目在 10 以上（含10）的概率为 66.95%，在 100 以上（含 100）的概率为 22.51%。这显然已经接近牌堆中牌的总数目。
