1、1第一章 函数教学过程:一、集合及其表示、运算（一）集合的概念1.【定义】集合具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母 表示.,ABC例如自然数集: ,而0,1234N；, 整数集 ； ,Z 有理数集: 质；Q=,pZqNpq与 实数集: , 而 .R|0,xR集合的例子：(1) 2009 年 1 月 2 日出生的人.(2) 方程 的根.56x(3) 全体偶数.(4) 直线 上所有的点.0y不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.2.元素组成集合的各个事物或对象, 用小写字母表示.cba3.集合与元素的关系(从属关系)(1) 属于 事物 是集合 的元素. 记作 ；AaAaA(2) 不属于 事物
2、 不是集合 的元素. 记作 .4.有限集-含有有限个元素.无限集-含有无限个元素.（二）集合的表示方法(1) 列举法用列举全体元素表示集合的方法. 即.,21naA例如 .6543(2) 描述法用元素具有的特征表示集合的方法. 即2.|所 具 有 的 特 征aA例如 .2(,)|1xy.560B（3）全集与空集空集不含有任何元素的集合. 记作 .提问： 是空集吗？0,全集所研究的所有事物组成的集合，记作 .U（三）集合的关系（包含关系）与运算1.【定义 1.1】 是 的子集AB . x记作 .是 的真子集,且 ,记作 .例如： , , . 2.规定：空集为任何集合的子集. 空集为任何非空集合的
3、真子集.3.【定义 1.2】 与 相等若 且 ，ABAB记作 .例如：（1）设 ,2,1230,Cx则 .（2） ；|x与4与则 .2560BAB4.【定义 1.3】并集,|A与记作 .5.【定义 1.4】交集,|x与简记为 .B6.【定义 1.5】差集 ,|AxB与有时写成 ；ZQNRBABA37.【定义 1.6】余集(补集) ，cAU其中 为全集 . 显然： .()（四）集合的运算律(1)交换律： ；B .A(2)结合律： ；)()(CB .(3)分配律： ； .)()()(4)对偶原理(摩尔根原理)： ； .ccABccA证明：先证. ，有xU()BxA.且 ccc且 得证.再证.ccc
4、 )()()(得证.例 1 某地区有 100 个工厂，其中，80 个生产甲种机床，记为集合 ；61 个生产乙种机床，记为集合 ；55 个两种AB机床都生产.试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目.(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床中至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂.解（1）此类工厂的集合为 ,工厂数目为 80-AB55=25（个）.（2）此类工厂的集合为 ,工厂数目为 61-55=6（个）.（3）此类工厂的集合为 ,工厂数目为 25+55+6=86（个）.4（4）此类工厂的集合为 ,工厂数
5、目为 100-AB（25+55+6）=14（个）.例 2 利用集合的运算律证明： .()()（五）笛卡尔积.【112(,|,12,nniiAxxn 定义 1.7】设有集合： ,对任意的 ，所与y有的二元有序数组 构成的集合，称为 的笛卡尔,)yAB和乘积（或直积），记作 .(,)|,AB平面点集 .2|RxR空间点集 .3,|,yz提问：如果 ,求 .02XYXY解 (,)(3),.,(2)提问：设集合 ,12112,xyZz求 .Z解 Yyzzzx1121212(,),(,)(,),(,)22xy.3333,例 3 设 ,|0Ax|1By则 .(,)|2,x例 4 设 ,0,3BC则 . (
6、,13)(1)2AC提问：按下列要求举例:(1)一个有限集合; ; 4,2(2)一个无限集合; 为正整数 ;nk|(3)一个空集; 为实数 ;xx,015(4)一个集合是另一个集合的子集； 3,21,1D提问：用集合的描述法表示下列集合:(1)圆 内部(不包含圆周)一切点的集合;25xy均为实数 ;2(,)|,Bxy(2)抛物线 与直线 的交点的集合.0且 均为实数 .|,C,提问：用列举法表示下列集合:(1)抛物线 与直线 的交点的集合; 2xyy)1,(0B(2)集合 的整数 .5| .4,3,34,6)提问：下列哪些集合是空集:，|10AxA为实数2,BxB且 ,|CC且DD且 为实数1
7、|),(2yEyx,3.提问：写出 的一切子集.,0A解 .2,10,注:空集是任何集合的子集.一般含有 个元素的集合,其子集n的个数为: .12 nnC()C提问：如果 ,下列各种写法,哪些是对的?哪,0B些不对?， ， ， ， ， ，AA1A0， ， ， ， ， .0提问:设 求：,642,53,21解 (1) ; (2) ;CBCB(3) .6练习.如果 ,|35Ax,4B求:(1) ；(2) ；(3) .AB解 (1) ;|(2) ;5x(3) .43|A练习.如果 ,02),(y,62|),(yxB,0C在坐标平面上标出 的区域.CB解 在坐标平面上 表示的区域如图 所示.A15练习
8、.如果 ,321,6543,21U6,4B求： (1) ；(2) .解 (1) ;(2) .,二、区间与邻域（一）实数与数轴1.有理数-有限小数或无限循环小数；2.无理数-无限不循环小数.3.实数-有理数与无理数的总体.4.数轴-规定了原点、正方向、单位长度的直线.5.实数集与数轴上点的集合是一一对应关系.（二）绝对值1.【定义 1.8】实数 的绝对值记作 ，且有xx.,0x2. 的几何意义：实数为 的点到原点的距离.3.绝对值及运算性质（1） .（2） .（3） .x0xx（4） .15图7（5） .0axaxa时 ， |-（6） .时 ， 或（7） .yy(8) .(9) .x(0)x（三
9、）区间区间常用 表示. 设 ,且 .IRba1.有限区间(1)开区间 ；|),(x(2)闭区间 ；|,bxab(3)半开半闭区间 ；|,(.|),xab2.无限区间引入记号 及 , 分别读作正无穷大和负无穷大.(1) ；|),(axa(2) ；|),xbxxax8(3) ；|),(bx(4) ； |,(5) .R|),(x其中： 称为区间的端点；在有限区间中, 称为区间的baab长度.（四）邻域与去心邻域点 的邻域(称 为邻域的半径) 0(1) 点 的 邻域: , 简记 ；,)|(,)Uaxaa()Ua(2) 点 的 去心邻域:, (,)|0(,)(,)axaa 简记 ；U(3) 点 的左 邻
10、域: , 简记 ；a(,)aa()U(4) 点 的右 邻域: , 简记 ；a(,),)Ua与()axOxbxxx94.无穷大的邻域 )0(K(1) 无穷大 的 邻域: , )(),(),(KU简记 ；)(U(2) 的 邻域: , 简记 ；K)(),( )(U(3) 的 邻域: , 简记 . )(),(KU )(注：无穷大邻域中的 也写成 , 例如 .),(K),(三、映射 *、函数关系（一）映射1.【映射定义】设 是两个非空集合, BA若 ,通过法则 ,xf与 对应,则|y称 是 到 的映射,f记作 . :其中：(1) 称为元素 x(在映射 下) 的像,记作f, 即 ；x(y(2) 称为元素
11、(在映射 下) 的原像；faxxx0xBf10(3) 集合 称为映射 的定义域, 记作 , 即 ；Af)(fD)(fA(4) 数集 称为映射 的值域.)(|)(xyf2特殊映射(1)满射：若 , 称映射B为满射；f(2) 单射： ,12,xA若 ,有12,称映射 为单射；()ff(3) 一一映射(双射)：若映射 既是单射,又是满射, 称映射 为一一映射.f f3.逆映射：设 是 到 的单射且为满射,对于 ,AB)(Afy,这样所确定的 到 的映射x|.ts)(xfy)(称为映射 的逆映射,记作 .)(1x注：(1) 逆映射 的定义域为 ,值域为 .1fAf(2) 只有双射才有逆映射.（二）函数
12、关系1函数概念【定义 1.9】设非空数集 ,则映射 称为定义DR:fR在 上的 的函数. 记作 ,其中：Dx()yx(1) 称为自变量, 称为因变量；(2) 对于 ,称 为函数 在点 处的函数值；0)(0ff0(3) 数集 称为函数 的定义域, 记作 ；=()fD(4) 数集 称为函数 的值域. |)(xfyfx记作 或 .约定：用数学表达式表示的函数 ,若ZfR)(y其定义域没有直接给出,规定 = |使表达式有意义的实()DBf1f11数 x提问:函数有几个要素?(定义域、对应法则)例 1 ， ， 是函数吗？2arcsin()yx2lg()yxy为什么？例 2 下列函数是否相同？为什么？（1
13、） ；2(),()fg（2） ；xx（3） ；2()ln,()lnf（4） .11g例 3 求下列函数的自然定义域(1) ； 2yx解：01x1.),(),2)(fD(2) ； 2arcsin5yx解： 且 且12x|1|5,3(,).()Df(3) ； ln|1xy解： .0|3|3)3,1(,()fD12(4) .21arcos76xy解： 02x0)2(37x 43或.4,3()2,)(fD(5) 5lg4xy解: 0)5(1404522xx5042x;|yD（6） 1lg(32)yx解: 10213xx且.2()|(,)3Dfx且2函数分类(1) 单值函数 ,通过法则 , 与RDfRy
14、|对应,则称函数 是 的单值函数.)(fyx注：除特别情况外，本课所讨论的函数均指单值函数. (2) 多值函数 ,通过法则 , 与 对fx应,且 ,通过法则 ,至少有两个不同的 与x0f 21y对应,此时则称函数 是 的多值函数.)(xy13例如 , 是多值函数.22ryx)0(又例如 也是多值sinarcsin()AcxkxkZ函数.(3)一元函数: 自变量只有一个；)(f(4)多元函数： 自变量有 2 个或 2 个以,)12ny上的元素；(5)显函数：形如 用自变量的代数式表示因变量的()fx函数. , , ,25lg3)2yx67等 2zxy64y(6)隐函数：形如 ,用方程表示自变量和
15、因变量(,)0Fx关系的函数. , sin()l()2ey25, 为隐函数.注意：隐函数不一定可以1转化为显函数.不是所有的方程 都可以确定隐函,x数，如方程 就不能确定隐函数.210xy3.函数的表示法解析法、列表法、图像法.4特殊函数(1) 绝对值函数 ,0,| .xy； .(),)Df(,)fD(2) 符号函数 10sgn,.xy；(),)f.10D显然： .|sgx(3) 取整函数 , yyxOsgn1yxO|14；(),)Df.Z其中： 表示不超过 的最大xx整数, 并称 为 的整数部分.例如： , , 15.2, 2等等.0(4) 分段函数：自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式
16、子表示的函数.例如： , |xy, sgn等等.例如函数 .1,02)(xxfy是一个分段函数.； .,fD),(Df例如： , 2)21(， .f 431)(f提问：分段函数的定义域和值域如何确定？(5) 阶梯函数：分段取常值且增加的函数. 例如： 等.xy(6) （狄利克雷）函数DirchletxQR1,()0例 4 确定下列函数的定义域并作出函数图形:(1) ,()1,0.fxyxOxy12yxO1x2)(f3115(2) , 12,()2.xf解 (1) ,()D图形如图 所示;3(2) ,)f|x图形如图 所示.2例 5 将函数 用分段|1|y形式表示,作出函数图形.解 .2 ,42
17、, ,6| xx图形如图 所示. 3例 6 函数21,xy解： 时函数无意义， x函数定义域为 2,1)(,2D图形如图 所示.4例 7 已知函数 ，2,0()xf求 .1解： 2(),012() 4xxf.21,3()5例 8 画出函数 的图像.（是周期为 1 的周期函数.）yx3216（三）函数的几种基本性质1.奇偶性 ：【定义 1.10】给定函数 ，若 关于原点对称.()yfx()Df(1) 偶函数 ,恒有 .()fx()x注: 偶函数图形关于 轴对称 .(2) 奇函数 ,恒有 .()f(ff注: 奇函数图形关于原点对称.讨论函数奇偶性时，千万注意条件： 关于原点对)称,即 .xD例 9
18、 判断下列函数的奇偶性（1） （奇函数）；yx（2） （非奇非偶函数）31（3） （偶函数）42（4） （即奇又偶函数）0y（5） （偶函数）.sinx17例 10 判断函数 的奇偶性.10()xf解: ()01xfx0()xf故函数 为奇函数.fx结论：设函数 的定义域为 ，则在 上一定(,)l(,)l存在函数奇函数 与偶函数 ，使得()ghx.()f即对于定义在 上的函数，则有,l奇函数 ；()2fx偶函数 .h2.周期性 设 ()Df(1)【定义 1.11】 周期函数 ,(x 0,.lstxD有 且 .其中 称为函数 的周xll()f期.注 1：周期函数在 内每个长度为 的区间上图形相同
19、.)(fl注 2：一般来说默认周期函数的周期（最小周期）是其最小正周期 .但不是所有的函数都有最小周期， 例如T就是周期函数，且任何非零常数都是它的周期.又()4fx例如：18狄利克雷函数 1,()0.xQDR任何非零有理数均为其周期，但没有最小周期.例 11 设下面所考虑的函数都是定义在区间 上的,()l证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数 ,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证 (1)设 ,)()(21xfxf其中 与 均为定义在区间 上的偶函数,即12 l,则,)(f,)()(21xffff 故 为 上的偶函数.
20、即两个偶函数的和是偶函数.x),l设 ,(21x其中 与 均为定义在区间 上的奇函数, 即ff )(l,则)(,)21 f,)( 2121 xffx 故 为 上的奇函数。即两个奇函数的和是奇函数.f,l(2)设 ,其中 与)()xf)(均为定义在区间 上的偶函数,即 ,则(2211fxf,)()()1xff故 为 上的偶函数.即两个偶函数的乘积是偶函数.,l设 ,其中 与(21xff 2均为定义在区间 上的奇函数,即)(,则)()21 fx,)(121 xfff 故 为 上的偶函数.),l设 ,其中 与(x)(f2分别为定义在区间 上的偶函数与奇函数,即l19,则)()(,)(2211 xff
21、xf ,)(1xf故 为 上的奇函数.,l例 12(06 年期末) 设 是以 2 为周期的偶函数,()f且在 上 ,则 .(0,12x53()4f)51()()(24fff提问 1：设函数 为定义在 的任何不恒等于零x,的函数,则( )必是偶函数.(A) ; (B) ;)(fFFxffx()()(C) ; (D) .x()答 (B).因在(B)中 . )()(ff提问 2：设 都是偶函数,且它们的定义域、值域fx()均为 ,则( ).(A) 与 都是偶函数; )ff)(B) 与 都是奇函数;(x(C) 与 都是非奇非偶函数;)ff)(D) 是偶函数, 是非奇非偶函数.(fx(答 (A).因 .
22、),)f)()xff3.单调性 【定义 1.12】设区间 (ID(1) 对于 且 ，恒有12,x12x,()()ff则称 在 上（严格）单调增加.记作 .I ()fxIxyO)(xf)(2f1xI xyO)(2f1xI20(2)对于 且 ，恒有12,xI12x,()()()ff则称 在 上（严格）单调减少.记作 .()fxI(3) 单调函数：单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.例 13 讨论下列函数的单调性(1) , . 单调增加函数.3xy(2) , . 不是单调函数.2例 14 设 为定义在 内的奇函数,若 在()f()l()fx内单调增加,证明 在 内也单调增加.(0)lfx0证
23、任取 ,若 ,有 ,120xl1210l因 在 内单调增加,所以 ,又f()()()ff为 内的奇函数,则)l,1122()fxx所以 在 内也单调增加.(0,4.函数的有界性 【定义 1.13】设 ()EDf(1) 在 上有上界()fx 1M1R, st(2) 在 上有下界()f 22.st, .xExyO)(fMxyO)(fyM21(3) 在 上有界 ()fxEM0,st|,记作 , .()1fOx显然： 在 上有界 在 上有上界且有下界.x(4) 在 上无上界 ()fE, ,1MR0st1(5) 在 上无下界 , ()fx2MR, .0.t0()f(6) 在 上无界 , E0, .s|显
24、然： 在 上无界 在 上无上界或无下界.()fx()fxE例 15 讨论下列函数的有界性(1) .in,y解：由于 ，|s|1故函数 在 内有界 .x(,)1M(2) .)2yf解：由于 ,，1,x故函数 在 内有界 .y)2,(1(3) .10fx解：由于 , 取 ,1MR1(0)E,0.()stfx22所以函数 在 内无上界, 当然是无界的.1yx(0)例 16 证明函数 是有界函数.2证： 的定义域为 ，21y(,)，2x，21y故 函数 是有界函数.2yx例 17 设 ,求 .3()f()fx解 由已知条件知 , 1()3fxx则 1()8fx四、复合函数与反函数（一）反函数1.【定义
25、 1.14】函数 由一一映射所确定 ,(),yfxD若将 看成自变量, 看成因变量 ,这样所确定的函数y称为函数 的反函数,记作 .()x1()xfy其中：(1)反函数 的定义域为 ,1()f()Zf的 值域为 .(2)而函数 称为原函1ffy数.显然：(1) 与 互为反函数.)(xfy)(1(2) 与 的图形关于 对称.x23例 1 求下列函数的反函数 . 3,yx解：反函数为 , .3y . 2,解：反函数为 , 或 , .x0yx0可见, 单值函数的反函数可能是多值函数. 为原函1 13()3yfy数的反函数. .21x提示： 112xxxyyy.22log()log()1例 2 求函数
26、 的反函数.20yx解：当 时，01x（ ）；y当 时，2(0)y综上所述 所求反函数为 xyO)(fy)(1xfx24.10xy2.【反函数存在定理】严格单调的函数 必存在单调的反函f数，且凡函数与原函数具有相同的单调性.则 ；1()()fxIfyfI .（二）复合函数【定义 1.15】设有两个函数 及 ,()fu()x, , 且 , 则称定义1()D2()f12D在 上的函数 为|xy与 复合而成的复合函数yfux.其中 为中间变量，()()()ux为自变量.f说明：函数 中的自变量 换成 的函数 ，所f ()x形成的函数 称为复合函数.注意复合函数内层函()y数的值域与外层函数定义域的交
27、集非空.提问：已知 ，求 （其中2fx(0),1,()ffa为常数）， ， .a(1)0)xx解：因为 ，所以 ，2f 2(,(),(fff， ，2(0)()fx221),fxfx.24例 3 设 , ,ufy)(2)(, 由于 ,11D10)D从而有复合函数 .2xf提问：设 , ，分别考察()y()a时， 是不是复合函数.,a25解： 时，有 ，1a2,1yux， ，()0,)(DfZ()ZDf故 有复合函数 .2),1,f 时，有 ， , 0)f, ，()1Z(故 复合函数 不存在.2)1yfx提问 2：复合函数 的定义域为 （ arcsin3）1,D提问 3：函数 由哪些函数复合而成？
28、21xye（ ）,uv例 4 设 , ,farcsin)( 2)(xu, 1由于 ,2110Df从而有复合函数 .)arcsi()(xfy例 5 , ,ufarcsin)( x, 1D由于 ,21)(132f从而函数 与 不能构成复合函数.yrsi例 6 设 , , , 从而复合函数为uvcotx, ( 为整数).2cotxy,(21)kk注：复合函数可以由两个以上的函数复合而成.练习：指出下列函数的复合过程(1) ；解： , .xsuycosx(2) ；解： , .ey1e1(3) ；解： , , .x3sinu3vsin26(4) ；)12arcsinlg(xy解： , , .uvlx例
29、7 设 求 .0(),1.f2(1),()ff解 0 ,)(xxf .1 , ,x. ,1 ,0)1(222 xxxf 或例 8 设 求 ., ()2.()解 2 ,1 0()xx2, 1,3.例 9 已知 ，2(),()sinfx求 ， .,fx解： ；4212()sin)cosf.,()inx例 10 已知 ，求 .(fx(1)fx解： .1)1例 11 已知 ，求 .()解：由 ，得()f.)x27五、初等函数（一）基本初等函数1.常数函数： （c 为常数）y2幂函数： , ( 是常数).xf)(幂函数的定义域 0)D例如： , ；2x, ；3y, ；21x, .x03指数函数(1)【定
30、义】 , ( 是常数且 , ).xafy)( 0a1(2) 定义域与值域: , .)D)(Df(3) 单调性:当 时, ; 当 时, 1Rxy.Rxay注：因 , 故 与 关于 轴对称.xxaxy(4) 常用的指数函数: , .xey其中: 为一常数. 此函数在科技中很常7182.e用.4.对数函数(1)【定义】 ( 是常数且 , ).xfyalog)( 0a1注：由于 ,故 与 互为反函数,xalogyxy函数图形关于 对称.(2)定义域与值域:, .)0()fD),(f(3) 单调性 :当 时, ; 当1Dxyalog时, .10axyalog(4) 自然对数函数: , .eln0285三
31、角函数(1) 正弦函数: .xysin, , .2T)()fD1,(Df(2) 余弦函数: .co, , .(3) 正切函数: .xytan, , T ,2)1(,|)( ZRkf .Df(4) 余切函数: .xycot, , 2,|)(kf.)(f(5) 正割函数: .xycos1e, , 2T,2)(,|)( ZRkxfD.,1)(f(6) 余割函数: .ysinc, T, ,|)(ZRkxf.)1D补充三角函数公式记忆图(1)八大关系记忆口诀：中为两端积；方为两上方；顶为邻顶积.(2)解释xcsxsincostatse129 ， ，1csinx1secox. tta ， ，2222tan
32、o. ， ，ti oti， ，xxcsct xsect， .set(3)三角函数的符号规律( 只记正号情况 )正弦一、二全为正,余弦偏在一、四中;正切、余切却不然，斜插一、三两象限.6反三角函数(1) 反正弦函数: ( ).Arcsinari2yxkZ多值函数主值: , ,a1)(fD. 单值函数.2,)(Df(2) 反余弦函数: ( ). rcosars2yxk多值函数主值: , , . a1)(f ,0)f单值函数.(3) 反正切函数: ( ).ArtnrtZ多值函数主值: , ,xyc)()fD.单值函数.)2,()Df(4) 反余切函数: ( ). rotctarxk多值函数主值:,
33、, .单值函数 .xyarcot)()f ),0(f（二）初等函数1基本初等函数：常数函数、指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.2初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数.例如： , , 等均为初等21xyxy2sin2cotxy函数.30思考: 为初等函数吗? ( 是初等函数也yx2yx是分段函数)提问：下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？(1) ; 解：此函数显然是初等函数.e2sin(2) ; 解：此函数显然是初等函数.)co1l(xxy(3) 解：此函数不是初等函数. .0 ,3,(4)* 10,2,1.yx解：令 , , ，有uvx|min2uv2(1)2)(1)x, ，故此函数是初等函数.(3x（5）函数 21,.y解：令 , ,有uv|max2u2(2)()x,22(1)由于函数能用一个解析式表示故此函数是初等函数.提问 1：设 ，求22(sin)costan,(0,1)fxx()fx
