1、第一章 行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式 和代数余子式 的定义 2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1） 2）用数 k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的 k 倍. 推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为 0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算. 2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（
2、或对角形）行列式的计算. 3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式真题解析例 1 行列式 第二行第一列元素的代数余子式 A21（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 B测试点 余子式和代数余子式的概念解析 ,例 2 设某 3 阶行列式的第二行元素分别为-1,2,3 对应的余子式分别为-3,-2,1 则此行列式的值为 . 测试点 行列式按行（列）展开的定理解 例 3 已知行列式的第一列的元素为 1,4,-3,2，第二列元素的余子式为 2,3,4,x 问 x= . 测试点 行列式的任
3、意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零. 解 因为第二列元素的余子式为 2,3,4,x,故第二列元素的代数余子式为-2,3,-4,x 因第一列的元素为 1,4,-3,2，故 1（-2）+43+（-3） （-4）+2x=0所以 x=-11例 4 设多项式 则 f（x）的常数项为 【 】A.4 B.1 C.-1 D. -4 答案 A测试点 行列式按一行展开的定理 解 行列式按第一行展开得f（x）=（-1）A 12+xA13故其常数项为例 5 已知 ，那么 （ ）A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案 B测试点 行列式的性质解析 例 6 设行列式 =1， =2，则 =（
4、）A.-3 B.-1 C.1 D.3 故应选 D测试点 行列式的性质解 例 7 已知 3 阶行列式 则 . 答案：36d.测试点 行列式的性质解 例 8 若 aibi0，i=1,2,3,则行列式 =_.测试点 行列式的性质解 例 9 设 A 为 3 阶方阵，且已知 则 （ ）A.-1 B. C. D.1 答案 B测试点 方阵行列式的性质解 所以 .例 10 计算行列式 D= 的值.测试点 行列式的计算解 D=例 11 求 4 阶行列式 的值.测试点 行列式的计算解 例 12 计算 3 阶行列式 答疑编号 118010112：针对该题提问正确答案例 13 计算 4 阶行列式： 的值.正确答案例
5、14 计算行列式：测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 例 15 计算行列式 测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解 例 16 计算行列式正确答案扩展例 17 设问（1）D（x）中，x 3项的系数？（2）方程 D（x）=0 有几个根？试写出所有的根。测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式； 2.行列式按行（列）展开的定理.解（1）x 3项的系数（2）因为所以方程 D（x）=0 有三个根: x 1=2， x 2=3，x 3=4 第一章的重点是行列式的性质和计算。第二章 矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别 2.几种特殊矩阵（
6、0 矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵 A , B 的加、减、乘有意义的充分必要条件 2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置 对称阵和反对称阵1）转置的性质 2）若 A T=A （A T= - A），则称 A 为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵 A 可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是 .当 A 可逆时，.2）方阵 A 的伴随阵 的定义 。重要公式； 与 A -1的关
7、系 （当方阵 A 可逆时， ）3）重要结论：若 n 阶方阵 A,B 满足 AB=E，则 A,B 都可逆，且 A-1=B ，B -1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵 A 可逆，且 AB=AC（BA=CA），则必有 B=C。（若不知 A 可逆，仅知 A0 结论不一定成立。）5.方阵的行列式6.分快矩阵 矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置三、矩阵的初等变换和初等矩阵1.初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必
8、能将矩阵 A 化为标准形 ，其中 r 为矩阵 A 的秩.2.初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义 2） 初等变换和矩阵乘法之间的关系 3）对任意 mn 阶矩阵A，总存在一系列 m 阶初等阵 和一系列 n 阶初等阵 使得四、矩阵的 k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公式 真题解析例 1 设矩阵 A=（1,2）， ， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ） A.ACB B.ABC C.BAC D.CAB正确答案B测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件例 2 若 ，则下列矩阵运算的结果为32 矩阵的是（ ） A.ABC B.AC TBT C.CBA D.C TBTAT例
9、 3 设 A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）A.A+A T B.A-A T C.AA T D.A TA正确答案B测试点 1.对称阵和反对称阵的定义 A T=A（A T=-A），则称 A 为对称阵（反对称阵）2.转置的性质：例 4 设 A 为 n 阶方阵， 为实数，则 =（ ） 正确答案C测试点 矩阵数乘的定义和行列式的性质例 5 设 A 为 n 阶方阵，令方阵 B=A+AT，则必有（ ）A.B T=B B.B=2A C.B T=-B D.B=0正确答案A例 6 设矩阵 A,B,C 为同阶方阵，则（ABC） T=（ ）A.A TBTCT B.C TBTAT C.C TATB
10、T D.A TCTBT正确答案B测试点:转置的反序性例 7 设矩阵 ， ，则 A+2B =_.正确答案测试点: 矩阵运算的定义解 .例 8 设矩阵 ， ，则 ATB=_.正确答案测试点: 矩阵运算的定义解例 9 设 3 阶矩阵 A 的行列式 ,则 【 】A.4 B.1 C.-1 D.-4正确答案D测试点 矩阵的数乘的定义和行列式的性质例 10 设 A,B 为任意 n 阶矩阵,E 为单位矩阵,O 为 n 阶零矩阵,则下列各式中正确的是 【 】A.（A+B）（A-B）=A 2-B2 B.（AB） 2=A2B2C.（A+E）（A-E）=A 2-E D.由 AB=O 必可推出 A=O 或 B=O正确答
11、案C测试点 矩阵乘法的性质,特别是没有交换律.例 11 设 2 阶矩阵 ，则 （ ）正确答案A测试点 伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵例 12 设 3 阶矩阵 ，则 = _.正确答案测试点 重要公式 .13.设 ，则 _.正确答案测试点 伴随矩阵的概念；若 A 是 n 阶方阵，则 .解例 14 矩阵 的逆矩阵是（ ）答疑编号 118020114：针对该题提问正确答案C测试点 1.二阶可逆阵的逆矩阵的公式;2.验证 B 是 A 的逆矩阵的方法.例 15 设 3 阶矩阵 ，则 （A T） -1=_.答疑编号 118020115：针对该题提问正确答案测试点 1.逆矩阵的性质2. 分块矩阵求逆矩阵的方
12、法 例 设 则解注意 要验算例 16 设 A 为 2 阶可逆矩阵，且已知 = ，则 A =（ ）答疑编号 118020116：针对该题提问正确答案D测试点 逆矩阵的性质解 由 = ,所以 故例 17 设 A 是 3 阶方阵，且 则 （ ）A.-2 B.C. D. 2答疑编号 118020117：针对该题提问正确答案A测试点 方阵行列式的性质 .例 18 已知 A2-2A-8E=O 则（A+E） -1_。答疑编号 118020118：针对该题提问正确答案测试点 关于逆矩阵的重要推论若 A,B 都是 n 阶矩阵，且满足 AB=E n则 A,B 都可逆，且 A-1=B，B -1=A解 由 A2-2A
13、-8E=O 得 A2+A-3A-3E-5E=0，即（A+E）（A-3E）=5E，即 ，故例 19 设 n 阶方阵 A 满足 A m =O，其中 m 为正整数，证明 E-A 可逆，且答疑编号 118020119：针对该题提问正确答案例 20 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）答疑编号 118020120：针对该题提问正确答案C测试点 初等矩阵的定义例 21 下列矩阵中不是初等矩阵的为（ ）答疑编号 118020121：针对该题提问正确答案D测试点 初等矩阵的定义；矩阵的初等变换的定义解析 因为 ，故 A.是初等矩阵。B 是单位矩阵经第三行加第一行的（-1）倍得到的，故也是初等矩阵，C 是单位矩阵的
14、第二行乘以 2 所得，也是初等矩阵，所以 D 不是初等矩阵。例 22 设矩阵则必有 （ ）A.P 1P2A=B B.P2P1A=BC.AP 1P2=B D.AP2P1=B答疑编号 118020122：针对该题提问答案 A测试点 矩阵的初等变换和矩阵乘法之间的关系；初等方阵以及初等方阵的功能。解 方阵 是由 经过两次初等行变换得到的，（1）第一行的一倍加到第二行上，相应的初等方阵是 ；（2）第一行和第二行两行互换，相应的初等方阵是根据初等方阵的功能：用初等方阵左（右）乘矩阵 A 就等于对矩阵 A 做相应的初等行（列）变换.故 B=P 1P2A，所以验算：；例 23 设矩阵 ，则 A 中（ ）A.
15、所有 2 阶子式都不为零 B.所有 2 阶子式都为零C.所有 3 阶子式都不为零 D.存在一个 3 阶子式不为零答疑编号 118020123：针对该题提问正确答案D测试点 矩阵的 k 阶子式的概念.例 24 设矩阵 ，则行列式 _.答疑编号 118020201：针对该题提问正确答案测试点 方阵行列式的性质解例 25 设矩阵 ，矩阵 ，则矩阵 B 的秩=_.答疑编号 118020202：针对该题提问正确答案测试点 矩阵秩的概念解例 26 设 A 是 45 矩阵， ，则（ ）A. A 中的 4 阶子式都不为 0 B. A 中存在不为 0 的 4 阶子式C. A 中的 3 阶子式都不为 0 D. A
16、 中存在不为 0 的 3 阶子式答疑编号 118020203：针对该题提问正确答案D测试点 矩阵秩的概念例 27 设三阶矩阵 ,若存在初等矩阵 P,使得则 P=【 】答疑编号 118020204：针对该题提问正确答案B测试点 矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系例 28 已知矩阵 ，E 为 2 阶单位矩阵，令 求 B答疑编号 118020205：针对该题提问正确答案测试点 方阵多项式的概念;例 29 设 求答疑编号 118020206：针对该题提问测试点 求逆矩阵的方法解所以注意 一定要验算例 30 设矩阵 ， ，求矩阵方程 XA=B 的解 X.答疑编号 118020207：针对该题提问正确答案
17、测试点 解矩阵方程的方法解验算!例 31 设 A,B 均为 3 阶矩阵，E 为 3 阶单位矩阵,且满足： .若已知求矩阵 B.答疑编号 118020208：针对该题提问测试点 解矩阵方程的方法解 因为 ，故从而 ，又显然 A-E 可逆，应用消去律得.验算所以确有例 32 已知矩阵满足方程矩阵 X 满足方程 AX+BX=D-C，求 X。答疑编号 118020209：针对该题提问测试点 求矩阵方程的解解 由 AX+BX=D-C 得(A+B)X=D-C故验算例 33 设矩阵 ，问 a 为何值时，（1）秩(A)=1；（2）秩(A)=2.答疑编号 118020210：针对该题提问正确答案测试点 求矩阵秩
18、的方法解所以 当 a=9 时， 秩(A)=1；当 a9 时，秩(A)=2例 34 证明：若 A 为 3 阶可逆的上三角矩阵，则 也是上三角矩阵.答疑编号 118020211：针对该题提问证 因为 A 为 3 阶可逆的上三角矩阵，设 ，设 ，其中所以 必为上三角矩阵， 命题得证例 35 设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为_.答疑编号 118020212：针对该题提问正确答案r例 36 设 令 ，试求 .答疑编号 118020213：针对该题提问正确答案测试点 矩阵乘法的一个常用技巧解 因为 ,所以37.设 3 阶方阵 A 的秩为 2，则
19、与 A 等价的矩阵为（ ）答疑编号 118020214：针对该题提问正确答案B测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.解 因为 A,C,D 的矩阵的秩都为 1，B 的矩阵的秩等于 2.故答案应为 B.例 38 设 A 是 n 阶方阵，且 ，证明 A 可逆.答疑编号 118020215：针对该题提问正确答案测试点 若 AB=E 则 A,B 都可逆,且证 因为 ,即 ，所以故 A 可逆，且 .例 39 设 A,B 都是 n 阶方阵，B0,AB=0.证明 A 是奇异阵.答疑编号 118020216：针对该题提问正确答案证明 应用反证法 假设 A 不是奇异阵
20、，即 A 可逆，在 AB=0 的两边左乘 ,得 B=0.这与已知 B0 矛盾.故 A 是奇异阵.类似地,可知,若 A0,AB=0 ,必有 B 是奇异阵.第二章的内容较多，涉及到的概念，公式也多，考题比较细。但都很基本，所以只要全面复习，就一定能从容应对。第三章 向量空间主要知识点一、n 维向量线性运算的定义和性质;设 是一组 n 维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得 则称向量组 线性相关。否则，称向量组 线性无关。二、n 维向量组的线性相关性1.向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理;（1）m 个 n 维向量 线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.线性
21、无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.（2） 如果向量组 线性无关,而 线性相关,则 可由线性表示,且表示法唯一.（3） 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）（4） 若向量组 线性无关,则接长向量组必线性无关.2.判断向量组的线性相关性的方法（1）一个向量 线性相关 ；（2）含有零向量的向量组必线性相关；（3）向量个数向量维数时， n 维向量组 线性相关；（4）向量个数 向量维数时, 向量组必线性相关；（5） 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线
22、性无关；（7）向量组线性无关 向量组的秩所含向量的个数 ，向量组线性相关 向量组的秩所含向量的个数；（8）向量组 线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组有（没有）非零解.三、向量组的极大无关组及秩1.极大无关组的定义2.向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法四、子空间的定义，,基、维数、向量在一组基下的坐标真题解析例 1.已知 其中， 则 _.答疑编号 118030101：针对该题提问答案 .测试点 n 维向量线性运算的定义和性质解 因为 ,所以故 （请验算）例 2.若向量组 线性相关，则实数 （ ）A.0 B.1C.2 D.3答疑编号 11803
23、0102：针对该题提问正确答案B测试点 n 个 n 维向量线性相关 相应的行列式=0;解例 3.若向量组 线性无关,则 a 的取值应满足 .答疑编号 118030103：针对该题提问正确答案a0 且 a2.测试点 n 个 n 维向量线性无关 相应的行列式0;解所以 a0 且 a2.例 4.设向量 则 由线性表出的表示式为_.答疑编号 118030104：针对该题提问答案测试点 向量由向量组线性表示;组合系数的求法解 考虑该线性方程组的增广矩阵所以例 5.矩阵 的行向量组的秩=_.答疑编号 118030105：针对该题提问正确答案2测试点 矩阵的秩;向量组的秩之间的关系;例 6.设向量组 线性相
24、关，则必可推出（ ）A. 中至少有一个向量为零向量B. 中至少有两个向量成比例C. 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D. 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答疑编号 118030106：针对该题提问正确答案C测试点 向量组线性相关的概念例 7.向量组 线性无关的充分条件是A. 都不是零向量B. 中任意两个向量都不成比例C. 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合D. 中任意 个向量都线性无关答疑编号 118030107：针对该题提问答案 C测试点 向量组线性相关的概念; 充分条件;必要条件;充分必要条件.解 对于选项 A： 都不是零向量,但 线性相关.对于选项 B、D：
25、 中任意两个向量都不成比例,且其中任意 3-1=2 个向量都线性无关,但 线性相关.故 A,B,D 都不正确.例 8.设向量 ，下列命题中正确的是（ ）A.若 线性相关，则必有 线性相关B.若 线性无关，则必有 线性无关C.若 线性相关，则必有 线性无关D.若 线性无关，则必有 线性相关答疑编号 118030108：针对该题提问正确答案B例 9 设 是一个 4 维向量组，若已知 可以表为 的线性组合，且表示法惟一，则向量组 的秩为（ ）A.1 B.2C.3 D.4答疑编号 118030109：针对该题提问答案 C测试点 （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性
26、相关和线性无关的概念解 因为 可以表为 的线性组合，且表示法惟一，必有 线性无关,因为于是有 ，故 线性无关，又 可以表为 的线性组合，所以 为向量组 的一个极大无关组，故向量组 的秩为 3.例 10 向量空间 为实数的维数为_.答疑编号 118030110：针对该题提问正确答案2测试点 向量空间维数的概念解 容易看出 是 V 的一个基。例 11 已知向量组 是 的一组基，则向量在这组基下的坐标是_.答疑编号 118030111：针对该题提问答案 (3,2,1).测试点 向量在一组基下的坐标解 考虑该线性方程组的增广矩阵为得所以 在这组基下的坐标是(3,2,1) （即 ）例 12 设向量组（1
27、）求向量组的秩和一个极大线性无关组；答疑编号 118030112：针对该题提问（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。答疑编号 118030113：针对该题提问测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法解所以原向量组的秩为 3， 为所求的极大无关组。 .例 13.设向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关.答疑编号 118030114：针对该题提问测试点 向量组线性无关的定义; 任意矩阵用可逆矩阵左（右）乘以后,其秩不变;向量组 A 能用向量组 B 线性表示与矩阵乘法的关系.因为 线性无关,故 ,所以只能 .这表明若 ，必有 .据向量组线性无关的定义，知
28、也线性无关.例 14.设向量组 线性无关，而向量组 线性相关。证明：向量 必可表为 的线性组合。测试点 关于线性相关性的几个定理测试点 线性相关性的定义因为向量组 线性无关，必须且只需所以当 n 为奇数时，D=20，齐次方程组（1）只有零解，没有非零解，故向量组线性无关.反之，若当 n 为偶数时，D=0 ，齐次方程组（1）有非零解，故向量组 线性相关；所以若 线性无关，必有 n 为奇数。综合以上两方面知向量组 线性无关的充要条件是 n 为奇数.例 16.设向量组 线性无关，且 .证明：若 0，则向量组 也线性无关.证 1 不妨设 都是列向量，则因为 线性无关，故矩阵 的秩等于 3，又因为，故矩
29、阵 可逆，所以矩阵 的秩也等于3，故向量组 的秩也是 3，所以向量组 也线性无关。所以该方程组只有零解，没有非零解，这表明为使（1）式成立，必须且只需，即向量组 线性无关. 证毕.第三章的重点是向量组的线性相关性，特别是如何求向量组的极大无关组。第四章 线性方程组一、线性方程组的三种表示方法二、齐次线性方程组1.齐次方程组解的性质设 , 都是 Ax0 的解，则 C1C 2 也是 Ax0 的解（ C1， C2为任意常数）2.齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组 AX0 有非零解的充分必要条件是 r（ A） 未知数的个数（即矩阵 A的列数）.2） n 个未知数 n 个方程的齐次方程组 AX0 有
30、非零解的充分必要条件是| A|0.3）设 A 是 mn 阶矩阵.若 mn，则齐次方程组 AX0 必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要）3.齐次方程组解的结构1）齐次方程组 AX0 的基础解系的概念重要结论:齐次方程组 AX0 的任意 n r（ A） 个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；2）齐次方程组 AX0 的基础解系的求法3）齐次方程组 AX0 的通解公式三、非齐次方程组 1.非齐次方程组解的性质（1）设 1, 2都是 Ax b 的解，则 1 2是它的导出组 Ax0 的解.（2）设 1, 2都是 Ax b 的解，则当 k1 k21 时， k1 1 k2 2也是 Ax b 的解.（3）设 是 Ax b 的一个解， 是它的导出组 Ax0 的解,则 是 Ax b 的解.2.关于非齐次方程组解的讨论定理：n 个未知数，m 个方程的线性方程组 AX 中，（系数矩阵 A 是 mn 阶矩阵）是增广矩阵.则
