1、习题 1-1(A)1填空题(1)函数 26yx的定义域为 ;4x(2)函数 的定义域为 ;2393(3)函数 的定义域为 ;25lg4xy14x(4)函数 的定义域为 xN 时，lin0有 ，则： nxanxa故 limnxa举例：数列 的极限为 1，而数列 无极限nx1,(),n 5设 ， ，证明： 21limna2linalimnxa证明：由极限定义可知， 1121,2nN 使 当 时 ，22,nNx使 当 时 ，1n取 12max,N则当 nN 时， ，则nlimnxa7求极限 22211li( )n解：由于 2) ()nnn2lim(li1nn而22li()linn由夹逼准则可得 21
2、1li( )=n n8设 ，证明：数列 的极限存在，并求12 1=+nnxx， ， , nx其极限证明：显然 21121 11,+2,lim,0.2+2+2likkk nnnnnnxx xxxaxa 设 对 某 正 整 数 有 则由 归 纳 法 可 知 ， 对 任 意 的 正 整 数 ， 有 即 数 列 单 调 递 增 .又 易 知 该 数 列 有 上 界 ， 所 以 由 单 调 有 界 准 则 可 知 ： 数 列 收 敛 .设 且 在 两 端 取 极 限 得 ：求 得 ， 故10求下列极限(1) ；2+3-4lin解： 2234-lim=li1+nn(2) ；32-56li4n解： 3223
3、156-+-+limli4nnn(3) ；3(1)()lin解： 3123()()()2() 1li limn nn(4) ；21m解： 2213()lilili2nnn(5) ；1(+)4解： n1-()2lim()=lim2nn(6) ；10203()lin解： 102010203 13()()limlimnnn12设数列 收敛，证明： 中必有最大项或最小项nxnx证明：由数列 收敛，则此数列有界，即 nxM则 中必有最大项或最小项nx13设 ，且 ab，证明：存在某正整数 N，使得当 nN 时，limna有 nxb证明：由 ，存在某正整数 N，使得当 nN 时，lin对 ，有0,nxax
4、a则nx取 为无穷小，则 nxb16设 证明：数列 收敛，并求其极限112,3,12,nn ， nx证明：显然 x 12 111,3+2,lim,0.3+23+23likkkknnnnnnxx xxxaxa 设 对 某 正 整 数 有 则由 归 纳 法 可 知 ， 对 任 意 的 正 整 数 ， 有 即 数 列 单 调 递 增 .又 易 知 该 数 列 有 上 界 ， 所 以 由 单 调 有 界 准 则 可 知 ： 数 列 收 敛 .设 且 在 两 端 取 极 限 得 ：求 得 ， 故17设 ，证明：数列 发散1=()si2nxnx证明：数列 有两个子数列：=0 ，2kx(1,)，121=()
5、kkxn(,2)而 ，数列 发散lim0n1kx数列 发散x习题 1.3（P47 ）1. 答案：D解：例： 在 处没有定义但是有极限。21limxx2. 设 0,)(2xf（1） 作出函数 的图形)(f（2） 根据函数图形写出 ;)(,f（3） 极限 存在么？)(lim0xf解：（1）略（2） 1)(li)(li)(00xffx2xx（3）因为 ，所以极限 不存在)(ff )(lim0xf3. 解：当 时，函数 的极限不存在。0xxey1（不论它多么大） ， ，使得当 时，MlnM|0|x有 ，故它的极限不存在。exf1|)(|4. 解： 4)2(lim)(li22xfx 53)(2fx5.
6、解：（1） 当 时，无穷小,3)1(2)(xxf 0（2） ，当 时，无穷大)3(19)(2xxf 3（3） ，当 时，无穷大fln0（4） ，当 时，极限为 0，无穷小)21()xx（5） ，当 时，极限为 0，无穷小farct6. 设 0,sin)(2xxf解： affxx )(lim)(li)0( 20 0)1sin(l)sin(l)(li)( 000 xff xxx因为 存在，则 ，则 ，)(li0fx)(ffa)(lim0xf7. 解：（1） 021mxx（2） )(li8. 证：因为 ，则 ， ，使得当 时，有Afx0 0)(|0x，则|)(|f AxfAxfAxfxf |)(|)
7、(|)()(|则 Afx)(lim09. 解：（1） ， ，使得当 时，02|1|x有 ,故2|1|)(|xf 1)2(lim1x（2） ， ，使得当 时，0|)(|x有 , |2|)|24|42|)4(| 2xxxf故 42limx（3） ， ，使得当 时，有00|1|x |1|1|)(|2|1|2)(| 2 xxxxf故 lim1x（4） ， ，使得当 时，有00|0|x，故|1|sin|1si|)(| xxxf 01sinlm0xx（5） ， ，使得当 时，有00XX，故2221|1|)(| xxf 21lix（6） ， ，使得当 时，有00，故Xxxf 1|sin|)(| 0sinlm
8、xx10. 解： ， ，使得当 时，有0M0|，故Mxxf 1|1|1|)(| x1li011. 解：（1）A ，故|2cos|0|2cos|lim0x（2）C ，故|1artn|li0x 1artntli0xx（3）A考虑 a=0 的情况， BCD 错误。习题 1.4（P54 ）1. 解：（1） 042)42(lim33 xx（2） 20423lim0x（3） 131li332x（4） 2)()2(li21 xxx（5） 61)32()3)(73limxx（6） )1()1)(1(1li 6266230 xxxx 3（7） 2)1(lim)1(2lim)1(lim22 xxxxxx（8） 2
9、134li1342li xxxx（9） 8273)12(3lim)12(lim)12(3lim 525535 xxx xxx（10） )13)(13(4li34li 222222 xxxx 38lim)(lim22 xx（11）因为 有界，则 ，故1|sin|0sinlmx 1sinlisnlixxx（12）因为 ， ，则|co|xlixe0coliex2. 解（1） 令 ， ， ，则3xu3u1ux 321)(1lim)(lim1lilim212331 uuuux（2） 令 ， ， ，则4x46x412li)(2lilili2416 uuux（3） 令 ， ， ，则3x31x 91)(lim
10、)1()lim)(li)1(2lim 222212311 uuuuux（4） 令 ， ，则2xu0 43)1(li)1()(li1li1li 224330 uuuuux3. 解： xxxxxnnn )(lim)(lim 2242 nnn 1li1)()(1li 22424. 解： 01li1li)(li222 xxxxxx ）（）（则 ， ，故 ，015. 解： 时， 有极限， 没有极限。当 ， 没有极限，)(f)(g0)(gf不一定有极限（ ， ， ） 。)(xgf 0xxf1g)(6. 解： 时， ， 都没有极限。 不一定有极限（例如：0)(f ） ， 不一定有极限（当 时， 时)(xfx
11、gxgxf)(没有极限；当 时， ， ，gnf)1(1(ng， ） 。1)()(2nnf 3,27. 解：（1） 12lim)1)(2lim13li)13(lim121 xxxx xxxx（2） hhhhh (li)(lili 0020（3） nxxxn )1(lili 11（4） 2lim)2(li 22xx（5） )321)()(31li31li44 xxxx 321li)321)(2li 44 xx（6）因为 ，|arctn|x0arctnlimx8. 解； 43)(li3)(li3li 3323 axkxx则 且 = ，则 ，4a)(ak21k习题 1-5(A)1. (1) D (2)
12、 B 2. (1) e-1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(-1)m-n (6) ex+1mn3. (1) 0sin343lmixx原 式(2) 2li5()x原 式(3) 0licos1nx原 式(4) ()mx原 式(5) 201(3)9lim4x原 式(6) sin2(-)1-lim0sinxx原 式(7) 2li1()xxe原 式(8) 04lim原 式4. 解：24li(1)8xaax e原 式3ln4a5. (1) 错，无穷小是极限为零的变量，无穷大是其值无限增大的变量(2) 错(3) 正确(4) 正确(5) 错，反例见例 3.8(6) 错，反例： 1limsn
13、x(7) 错，6. 解： ，故它们是等价无穷小11lilixx7. 解： ，故 是 的高阶2200()(cos)limlinxx2(1cos)xinx无穷小8. 解： ，故 与 是同阶无穷小12331lili()xxx1x3，故 与 是等价无穷小112limli()xx1x2()9. (1) 2033li6x原 式0，mn(3) 220211()()(4)li 3xoxxo 原 式(4) 230026()tan(cos1)limlim3xxx原 式(5) li1()x原 式(6) 22limn原 式(B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) 21lim()x原 式(2) 2
14、20014lilixx原 式(3) 35lim(1)xe原 式(4) 20sinli()1xx原 式(5) 136sin0lim()xxe原 式(6) 0li9()93xx原 式12. 证明： 10li()xxe10lim()xxe原极限不存在13. 解：1402sinlim()01xxe140sili()2xxe 原式=114. 解：11()lim()limtxttxtxxf e15. 证明：(1) 设 t=arctanx，则 0t时 ，0arctnlili1taxt:(2) 220001sec1coscoslimlilim1xxxsec12x:16. 证明：(1) 因为 ，故有lim:(2
15、) 由 有li1()o所以 ，故有1limlilim()()oo:(3) 因为 ，所以:()因为 ，所以 ，所以:()o所以 ，故有()limli1o习题 1-6(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) -1, 1 (2) k3. (1) 2(sin)14原 式(2) 0lmxk原 式(3) n1原 式(4) 214li()xxe原 式(5) 230lim(1)xx原 式(6) 2lin()lin(1)lne原 式(7) (3)2li(1xx原 式(8) 20lim3x原 式4. (1) (1)1)2xfx=1 是可去间断点， x=2 是无穷间断点(2) x, |
16、x|1f(x)= -x, |x|1 f(x)= , x=1 121, |x|1f(x)= ax2+bx, |x|0;F(b)=f(b)-bf(x2),则有 f(x1) f(x2),由介值定()fx理知：至少存在一点x 1,x2,使得 f()= 1()fx若 f(x1)0, 取 = ，对 x1,x20,1，当|x 1-x2|时，3就有：|x 13-x32|.故 f(x)=x3 在区间0,1上一致连续21. 习题 21 （A）1. 单项选择题。（1） C解： 0 0()1()(03limlih hfffff（2） A解：2211122111()2lililixxxxxx所以 在 x=1 处不连续。
17、()f（3） C解：函数 在 x=0 处可导，则函数在 x=0 处连续。()fx00()()limlixxfab2001()sinxxff当 b=0 时，保证 在 x=0 处连续；()f又 ； 0 0()()()lilix xxfabf a ，2 0 01sin()()limlx xfff bx 为保证 在 x=0 处可导，a=b。()f2. 填空题。（1） 02()fx析： 00000()(2)(2()limlih hffxfxfxh:（2） 05()fx析： 00000 (5)(5)()lilih hffxfxfxh:（3） 04()fx析：00 0000()(3()(4()limhfhf
18、xxfhfxf :（4） 2()f析： 20 0()()(2()lixxfxfffxffx （5） 13析：00 000()()1()()3limxxfkxfkfxf 13k（6） 02()fx析： 0000)()()lixfxffx原 式 0000 ()()()2)mlimx xffffxx （7）4析： 2(/)vstms3. 用导数定义证明下列等式成立。（1） (cos)inx证明： 000s()s2ini2sii()2sinlmlhhhhxxh（2） 1(l)x证明： 00ln()l1ln()1l1imihhxxxe（3） 2 2()1x证明： 21x2022()(1)1)limxx xx22201()1limxxx4. 求下列函数的导数。（1） 7yx解： 6（2） 74yx解： 347yx（3） 2.5解： .1.()yx（4）92034解：8593636()yx（5） 8x解：35yx352788()5. 计算题。（1） 解： ， 333(cos)sin2xxy可知，在 处的切线及法线斜率分别为132k123k
