1、1习题 44-1.设 有一个特征值 2，求 的一个特征值AEA2解 若 的特征值为 ，则 的特征值为 ，2计算得 .24-2.设 是 3 阶方阵，已知方阵 ， ， 都不可逆，求 的全部特A3征值解 由 ， ， 都不可逆，知AEAE， 即 ， ,0000得 的特征值为 1,34-3.已知矩阵 的特征值为 ， ，求 xA41732112x解 由特征值的性质知，即1237，所以 84x44-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量若可以对角化，求出可逆矩阵 ，使 为对角矩阵：PA1（1） 3042解 由特征方程,142303EA(1)2(3)0解得矩阵 的特征值 .123,对于特征值 ，解方
2、程组，()EAXO即 ，1232403x得基础解系2，1所以矩阵 对应于特征值 的线性无关的特征向量为A11对应于特征值 ，解方程组2，()EAXO即 ，123340x得基础解系，23所以矩阵 的对应于特征值 的线性无关的特征向量为A4323对应于特征值 ，解方程组3，()EAXO即 ，123403x得基础解系，314所以矩阵 的对应于特征值 的线性无关的特征向量为A433314有 3 个线性无关的特征向量A， ， ，12314所以 可以对角化令，1231,4P则 可逆，且有123PA（2）解 由特征方程,45273694EA(1)0解得矩阵 的特征值 123,0对应于特征值 ，解方程组，()
3、EAXO即 ，123350869x得基础解系，1所以矩阵 的对应于特征值 的线性无关的特征向量为A141对于特征值 ，解方程组230，(0)EAXO即 ，123450769x得基础解系，213所以矩阵 对应于特征值 的线性无关的特征向量为A230213只有 2 个线性无关的特征向量，所以 不可对角化AA（3） 1340967解 由特征方程,7261091043EA2()10解得矩阵 的特征值 123,对应于特征值 ，解方程组，()EAXO即 ，123601024x得基础解系5， ，1201所以矩阵 的对应于特征值 的线性无关的特征向量为A12， .1201对于特征值 ，解方程组3，()EAXO
4、即 ，1238601024x得基础解系，356所以矩阵 对应于特征值 的线性无关的特征向量为A31356有 3 个线性无关的特征向量，所以 可以对角化，AA令，12313,056P则 可逆，且有11PA4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵：6（1） 123解 令，12331,23A由于 ，所以 不是正交矩阵12,0（2） 9748解 因为，1818491049779TA E故 是正交矩阵4-6.求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵：PA1（1） 542A解 由特征方程为，2254(10)EA得 的特征值为 A1230,1对于 ，解方程组，()EXO7即，12380254x得属于特征值 的一个特征向量1
5、0，(,2)T将 标准化，得1.(,)3T对于 ，解方程组21，()EAXO即，1231024x得属于特征值 的一个极大线性无关特征向量组21， ,(,0)T3(20)T将 正交化，得32,， ，(,10)T3(2,45)T将 标准化，得32,， ，5(,0)T35(,)13T令，123254, 1503P则 为正交矩阵，且有 P101PA8（2） 201A解 由特征方程为，2101()3(1)00EA得 的特征值为 1234,1,对于 ，解方程组，()EAXO即，1234010x得属于特征值 的线性无关的特征向量为12，(,0)T(0,1)T已正交只须将 单位化，得12,12,， ；1(,0
6、,)T22(0,)T对于 ，解方程组3，()EAXO即，12342100x得属于特征值 的线性无关特征向量3，(1,)T将 单位化，得39.31(,)2T对于 ，解方程组4，()EAXO即，12342100x得属于特征值 的线性无关特征向量41，(,)T将 单位化，得4，1(,)2T令，12342102,2102P则 为正交矩阵，且有 .P131PA4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式：（1） .321214xxf解 二次型的系数矩阵为，02A矩阵的特征方程为10，201(4)1(2)0EA故 的特征值为 1234,对于 ，解方程组，()EAXO即，12304x得属于特征值 的一个特征向量
7、1，(2,)T将 标准化，得1.1(,)3T对于 ，解方程组2，()EAXO即，1230x得属于特征值 的一个特征向量21，(,)T将 标准化，得2.12(,)3T对于 ，解方程组，(2)EAXO即11，123402x得属于特征值 的一个特征向量3，(1,2)T将 标准化，得3.(,)3T令，123213,23Q则通过正交变换 112233xy即可将二次型 化为标准形式 .f 2212313(,)4gyy（2） .134828xx解 二次型的系数矩阵为，041A矩阵的特征方程为，041(5)(3)01EA故 的特征值为 2345,12对于 ，解方程组15，()EAXO即，1234500415x
8、得属于特征值 的一个特征向量1，(,)T将 标准化，得1.1(,)2T对于 ，解方程组5，()EAXO即，1234500415x得属于特征值 的一个特征向量2，(1,)T将 标准化，得2.(,)2T对于 ，解方程组3，()EAXO即，123400341x得属于特征值 的一个特征向量313，3(1,)T将 标准化，得.3(,)2T对于 ，解方程组4，()EAXO即，123430041x得属于特征值 的一个特征向量4，(1,)T将 标准化，得4.(,)2T令，1234112,112Q则通过正交变换 1 12 23 34 41122xy 即可将二次型 化为标准形式 .f 2213134(,)5gyy
9、y14（3） 1231423424fxxx解 二次型的系数矩阵为，0110A矩阵的特征方程为，31(1)0EA故 的特征值为 1234,对于 ，解方程组，()EAXO即,123410x得属于特征值 的线性无关的特征向量为123， ， ，(,0)T(1,0)T3(1,0)T将 正交化，得123,， ， ，(,0)T2(,10)T3(,1)T将 正交化，得123,， ， .(,0,)2T26(,0)3T33(,)62T对于 ，解方程组43，()EAXO即15，1234310x得属于特征值 的一个特征向量4，(1,)T将 标准化，得4.(,)2T令，123426312, 63102Q则通过正交变换
10、1 12 23 34 46360312xy 即可将二次型 化为标准形式 .f 2213134(,)gyyy4-8.试证：如果 为正定矩阵，则 也是正定矩阵AA证 因为 为正定矩阵，则 为是实对称矩阵，而，11()(T所以 也是对称矩阵.A设 的特征值为 ，则 的特征值为12,n 1A12,n16因为 为正定矩阵，所以 ，故 ，从而知 也是正定矩阵.A0i1i 1A4-9.判别下列二次型是否正定或负定：（1） .3231212321 4845xxxf 解 二次型 的系数矩阵为，2145A二次型 的三个顺序主子式f，123150,10,052A所以二次型 是正定的.f（2） .31212321 4
11、465xxx解 二次型 的系数矩阵为f，2604A二次型 的三个顺序主子式f，12 3550,260,40A所以二次型 是负定的.f（3） .423241312432167xxxx 解 二次型 的系数矩阵为f，0213427A17二次型 的四个顺序主子式f123 41010, ,21,10A所以二次型 是不定的.f（4） .42312124321 69xxxx 解 二次型 的系数矩阵为f，20139A二次型 的四个顺序主子式f,12 31210,20,0639,463A所以二次型 正定的.f（5） 312123214xxx解 二次型 的系数矩阵为f，21604A二次型 的三个顺序主子式f，12
12、 35120, 0,806A所以二次型 是负定的.f4-10求 的值，使二次型t 222)(),( wzxyxzyxtwzyxf 18是正定的解 二次型 的系数矩阵为f，10ttA二次型 正定的充要条件是它的四个顺序主子式都大于零，即f 21210, 0,tt,2 23 4(),(1)01tt At解联立不等式,20(1)tt得，t即当 时， 正定.2f4-11写出下列二次型的矩阵形式，并求该二次型的秩.（1） .22131234fxx解 二次型 的系数矩阵为,20A因为 ，所以该二次型的秩等于 2()2r（2） .22134134fxxx解 二次型 的系数矩阵为19,10A因为 ，所以该二次
13、型的秩等于()4r补充题B4-1设方阵 满足 ，证明： 的特征值只能是 或 1A2A0证 因为方阵 满足 ，即 ，所以 的特征值 满足 ，220即 ，所以， 的特征值为 或 (1)001B4-2证明：对称的正交矩阵 的特征值为 1 或 A证 因为 是正交矩阵，所以 又因为 是对称矩阵，所以 .所ATEATA以 满足 ，即 ，从而 的特征值满足 ，故 的特征值为 1 或2=E2- 201B4-3设方阵 与方阵 = 相似，求 的特征值AB2013A解 因为方阵 与方阵 相似，所以方阵 与方阵 有相同的特征值，所以只须求B方阵 的特征值即可由 的特征方程B，E得 的特征值为 ， A1232B4-4设
14、 与 相似，求 x01yByx,解 因为 与 相似，所以A,()trtB即20，21yx解得 0,B4-5设 ，其中 为 阶单位矩阵， 为 维列向量，且 ，2THEXEnXn1XT试证：（1） 为对称矩阵；（2） 为正交矩阵证（1） 设 ，则12naX,21 112 2212nTnn nnaaa 显然， 是对称矩阵TX从而，22TTTHEXEXH所以 为对称矩阵证（2） 因为 为对称矩阵，且 ，所以1TT T4TEX，1TE所以 为正交矩阵HB4-6如果 是满秩矩阵，则 是正定矩阵UUAT证 设 元二次型 ，则nTfX,()()()TTTfAXU因为 是满秩矩阵，则对于任意非零向量 ，都有 ，
15、0设 ，则12,0TnUXa，221()nfXaa所以 是正定二次型，即 是正定矩阵UAT21B4-7如果 是正定矩阵，则存在满秩矩阵 ，使 AUAT证 若 是正定矩阵，则存在满秩矩阵 ，使 合同与 ，即 ,BEB所以，11TTTBE令 ，则 ，其中 满秩1UAUB4-8设 为满秩矩阵， 为对称矩阵证明：如果 为正定矩阵，则 是MAAMT正定矩阵证 若 为满秩矩阵， 为对称矩阵，则,TTTAM即 也是对称矩阵AT如果 为正定矩阵，则二次型 对任意非零向量 ，有 ，TfXX0TfAX考虑二次型，()TTTgXA因为 是满秩矩阵，则对于任意非零向量 ，都有 ，即对于任意非零向量 ，M0MM由 是正
16、定二次型知f，()0TgXA所以 是正定二次型，从而 是正定矩阵ATB4-9如果 为正定矩阵，证明 都是正定矩阵*1,证 为正定矩阵，从而 是实称矩阵，即 ，则AAT11*()(,T故 都是实对称矩阵1,不妨设 的特征值为 ，则A,12,in的特征值为 ， 的特征值为1,i *A,12,in因为 为正定矩阵，所以 ，且 ，从而0,12,i n 0， ，10,2,i n ,ii22所以 都是正定矩阵*1,AB4-10设 阶实对称矩阵 为正定的， 为任意 个非零的实数，则nAnb,21是正定的jibaB)(证 是 阶实对称矩阵，所以 ，则 ，即 也AijjiaijjianjibaB)(是实对称矩阵
17、因为 为正定矩阵，则对任意非零向量 ，有二次型 X0TfXA设向量 ，而 为任意 个非零的实数，所以对于向量12,nxO nb,21，有Xb,()0TijijifAXax即二次型 为正定二次型，所以 是正定的BnjibaB)(B4-11设 是表示元素全为 1 的 阶方阵，设 是实系数多项式，令Jnfx,求 的全部特征值和特征向量()Af解 由 的特征方程，11()0nEJ 故 的特征值为 J1210,nn对特征值 ，解方程组 ()EJXO即，12410x 得特征向量 ， ， ， 1(,0,)T 2(1,0,)T 1(,0,1)Tn对特征值 ，解方程组n)nEJXO即23，12410xnn 得特
18、征向量 (1,)Tn而 ，若 的特征值为 ，从而 的特征值为 ，即)AfJA()fab， ，1210nab nab所以 的对应于特征值 的特征向量为 ，21 1(,0,)T， ， ， 的对应于特征值 的特征2(,0,)T 1(,)Tn Anab向量为 1nB4-12设 与 为同阶方阵，AB（1）若 与 相似，证明： 与 有相同的特征值；AB（2）举例说明，上述命题的逆命题不成立；（3）若 与 均为实对称矩阵，则（1）的逆命题成立证（1） 若 与 相似，则存在可逆矩阵 ，有 ，所以P1AB11()EBPEEP,1PA即 与 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值解（2） 例如 ， ， 与 有相同
19、的特征值，但 与 不相1010BABAB似，因为与 相似的矩阵只有 自身B证（3） 若 与 均为实对称矩阵，且有相同的特征值 ，则 与 都A12,n相似于对角矩阵 ，即存在可逆矩阵 ，有 ，存在可逆12(,)ndiag PA矩阵 ，有 ，所以Q1B，PA则 ，即 ，故存在可逆矩阵 ，有111()QAPB1RPQ，即 与 相似RBB4-13若 阶方阵 满足： n230E24（1）证明：对任意实数 ， 可逆；（2）求 的逆矩阵aAE4AE证（1） 由 ，整理得230,()AE即，整理得()(230aAE)(230aE()(A22)()aE因为对任意实数 ， ，所以230，2()Aa因此，存在矩阵
20、，使得 ，即对任意实数 ， 可2(3aEB()BAaEaAE逆，且 的逆矩阵为 )解（2） 由（）知 的逆矩阵为 4A2(4)231B4-14设矩阵 ， ，已知线性方程组 有解，但不惟1a1Ax一，试求： (1) 的值；(2)正交矩阵 ，使 为对角阵aQTA解（1） 对线性方程组 的增广矩阵进行初等行变换Ax12Aa 21100a，101()()aa 因为线性方程组 有解，但不惟一，知 ，Ax(3rA所以 且 ，可得 (2)10a(2)02a25解（2） 由()知，矩阵12A由特征方程，12(3)021EA得 的特征值为 1230,对于 ，解方程组，()EAXO即，123102x得属于特征值
21、的一个特征向量10，(,)T将 标准化，得1.1(,)3T对于 ，解方程组2，()EAXO即，1230152x得属于特征值 的一个特征向量2，(1,0)T将 标准化，得2.21(,0)2T对于 ，解方程组326，(3)EAXO即，1234012x得属于特征值 的一个特征向量3，(1,2)T将 标准化，得3.(,)6T所以存在正交矩阵，123126,0126Q使03TQAB4-15设 阶实对称阵 的特征值为 ，且 是123,1(,)T的属于特征值 的一个特征向量，记 ， 为 阶单位矩阵A154BAE(1)验证 是 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；B(2)求矩阵 解（1） 因为 ，所以
22、的特征值为 ，其中 为 的534AEB5341A特征值又因为 的特征值为 ，所以 的特征值为 （ 重根）123,2,因为 是 的属于特征值 的一个特征向量，所以 是 的属于1(,)T1 1(,)TB特征值 的特征向量.2下面先求 的属于特征值 的特征向量，因为 是实对称矩阵， 的属于不同特A23,AA27征值的特征向量是正交的，不妨设 的属于特征值 的特征向量为 ，A23,123,Tx则有,1,0即,123x解得， ,2(,0)T3(10)T所以 分别为 的属于特征值 的特征向量，从而 也是 的属于特征值3,A2323,B的特征向量1综上可知， 的属于 的特征向量是 ， 属于 的特征向量是B1
23、(,)T1， 2(,0)T3(1,0)T解（2） 因为 有个正交的特征向量，所以存在正交矩阵，1231, 0P使,11PB从而1易得 ，所以23P.112010120BB4-16.设矩阵 ，矩阵 ，其中 为实数， 为单位矩21A2()BkEAkE阵求对角阵 ，使 与 相似，并求 为何值时， 为正定矩阵B解 由 的特征方程28，2102()01EA得特征值 .123,记对角矩阵 ，0D因为 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 ，使得 ，所以 ，于是APTADTP2()BkE2()()()T TkDkEk()(T TPD，220()TkPk由此可得.22()0()k显然，当 且 时， 的全部特征值均为正数，这时 为正定矩阵.BBB4-17. 设 为 阶实对称阵，秩 ， 是 中 的代数余子式AnAnij()ijnaij，二次型 (,12,)ij 11(,)ijnjijfxx记 ，把 写成矩阵形式，并证明二次型 的矩阵为 1,TnXx 1,nf ()fX1A解 因为二次型 ，所以 的系数矩阵为 ，即11(,)nijnjijAfxx fijn,1121212 21212n nnnnnAAAA 29又因为 为 阶实对称阵， ，所以 ，故上式为 ，所以AnijjiaijjiA*A，即二次型 的矩阵为 11(,)()TTnfxXX ()fX1
