1、1第 四 章 静 电 场重 点 和 难 点主 要 介 绍 电 流 的 种 类 ， 理 想 导 体 和 理 想 介 质 ， 电 动 势 ，电 流 连 续 性 原 理 以 及 能 量 损 耗 等 。关 于 恒 定 电 流 场 与 静 电 场 的 比 拟 可 以 略 去 。重 要 公 式在 无 外 源 的 导 电 媒 质 中 ， 恒 定 电 流 场 方 程 ：积 分 形 式 ： l 0dJS 0dJ微 分 形 式 ： 在 均 匀 导 电 媒 质 中 ， 恒 定 电 流 场 方 程 ：积 分 形 式 ： l 0dJS 0dJ微 分 形 式 ： 恒 定 电 流 场 边 界 条 件 ： 21tt nJ21
2、恒 定 电 场 边 界 条 件 ： ttEnnE21恒 定 电 流 场 的 能 量 损 耗 ： Jlp题 解4-1 已 知 一 根 长 直 导 线 的 长 度 为 1km， 半 径 为0.5mm， 当 两 端 外 加 电 压 6V 时 ， 线 中 产 生 的 电 流 为A， 试 求 ： 导 线 的 电 导 率 ； 导 线 中 的 电 场 强 度 ；6 导 线 中 的 损 耗 功 率 。2解 （ 1） 由 ， 求 得IRV36/1由 ， 求 得 导 线 的 电 导 率 为SmS1054.3105.36723（ 2） 导 线 中 的 电 场 强 度 为 V1033VE（ 3） 单 位 体 积 中
3、的 损 耗 功 率 ， 那 么 ， 导 线2EPl的 损 耗 功 率 为 W12LrEP4-2 设 同 轴 线 内 导 体 半 径 为 a， 外 导 体 的 内 半 径 为 b，填 充 媒 质 的 电 导 率 为 。 根 据 恒 定 电 流 场 方 程 ， 计 算 单 位长 度 内 同 轴 线 的 漏 电 导 。解 设 。 建 立 圆 柱 坐 标 系 ， 则 电0;,时 ，时 brVar位 应 满 足 的 拉 普 拉 斯 方 程 为 d12r求 得 同 轴 线 中 的 电 位 及 电 场 强 度 分 别 为EbarVln rebaVln1则 reEJbaVln1单 位 长 度 内 通 过 内
4、半 径 的 圆 柱 面 流 进 同 轴 线 的 电 流 为baVIsln2dJ那 么 ， 单 位 长 度 内 同 轴 线 的 漏 电 导 为3baVIRGln21mS4-3 设 双 导 线 的 半 径 a， 轴 线 间 距 为 D， 导 线 之 间 的 媒质 电 导 率 为 ， 根 据 电 流 场 方 程 ， 计 算 单 位 长 度 内 双 导 线之 间 的 漏 电 导 。解 设 双 导 线 的 两 根 导 线 上 线 电 荷 密 度 分 别 为 +和 ，利 用 叠 加 原 理 和 高 斯 定 理 可 求 得 两 导 线 之 间 垂 直 连 线 上 任 一点 的 电 场 强 度 大 小 为 r
5、DE12那 么 ， 两 导 线 之 间 的 电 位 差 为 aVadlnr单 位 长 度 内 两 导 线 之 间 的 电 流 大 小 为DIss EJd则 单 位 长 度 内 两 导 线 之 间 的 漏 电 导 为aVIRGln1mS若 则 单 位 长 度 内 双 导 线 之 间 的 漏 电 导 为aDaDlnmS4-4 已 知 圆 柱 电 容 器 的 长 度 为 L， 内 外 电 极 半 径 分 别 为a 及 b， 填 充 的 介 质 分 为 两 层 ， 界 面 半 径 为 c。 在区 域 中 ， 填 充 媒 质 的 参 数 为 ； 在 区 域cr1br中 ， 媒 质 参 数 为 。 若 接
6、 上 电 动 势 为 的 电 源 ， 试 求 ：2e 各 区 域 中 的 电 流 密 度 ； 内 外 导 体 表 面 上 以 及 介 质 表面 上 的 驻 立 电 荷 密 度 。4解 (1) 建 立 圆 柱 坐 标 系 ， 则 电 位 应 满 足 的 拉 普 拉 斯 方 程 为0d12r忽 略 边 缘 效 应 ， 设 媒 质 和 媒 质 内 的 电 位 分 别 为 1 和2， 那 么 211ln0dCrr4322l根 据 边 界 条 件 ， 得 知；211lnCaea43ln0Cbb432lccCcrcrdd21联 立 上 式 ， 求 得；cbaeClnl211 ecbaeClnl212；ce
7、ll123 ecell124代 入 上 式 ， 得 ecbaecbarlnllnl 21211 ececrllll 121225reEJLcbalnl122121 (2) r = a 表 面 上 面 电 荷 密 度 为 aLcbeEns lnl1221r = b 表 面 上 面 电 荷 密 度 为 bLcaeEns lnl122r = c 表 面 上 面 电 荷 密 度 为 cLbaeEnsc lnl122121 4-5 已 知 环 形 导 体 块 尺 寸 如 习 题 图 4-5 所 示 。试 求 与 两 个 表 面 之 间 的 电 阻 。arb解 建 立 圆 柱 坐 标 系 ， 则 电 位
8、应 满 足 的 拉 普 拉 斯 方 程 为0d12r该 方 程 的 解 为 21lnC令 ,0 ,0bVaY Xd a br (r,)0 习 题 图 4-56求 得 常 数 。 那 么 ， 电 场 强 度 为abVCln01rerEablnd0电 流 密 度 为 reJVl0电 流 强 度 为 abVdzabVIdln2ln0200SJ由 此 求 得 两 个 表 面 之 间 的 电 阻 为 dIVRl04-6 若 两 个 同 心 的 球 形 金 属 壳 的 半 径 为 及 ， 球1r)(2r壳 之 间 填 充 媒 质 的 电 导 率 ， 试 求 两 球 壳 之 间k0的 电 阻 。解 对 于
9、恒 定 电 流 场 ， 因 ， 可 令 。 将0JJ其 代 入 ， 得0J建 立 球 坐 标 系 ， 上 式 展 开 为 0d1d02rkr该 方 程 的 解 为 21lnC那 么 ， 求 得 电 流 密 度 为 reJ2101kCkr7两 球 壳 之 间 的 电 流 为 kCIs104dJ两 球 壳 之 间 的 恒 定 电 场 为 reE两 球 壳 之 间 的 电 位 差 为 krCrkUr211lndd2lE求 得 两 球 壳 之 间 的 电 阻 为 krIR210ln44-7 已 知 截 断 的 球 形 圆 锥 尺 寸 范 围 为 ，21r， 电 导 率 为 ， 试 求 及 两 个 球
10、形 端 面 之01r2间 的 电 阻 。解 由 于 两 个 球 形 端 面 之 间 的 导 电 媒 质 是 均 匀 的 ， 因 此 由 上例 获 知 02那 么；212dCrr求 得 电 流 密 度 ； 电 场 强 度reJ21reE21那 么 ， 电 流 102120 cos2dsind CrCIs J电 位 差 2121drrUrlE因 此 电 阻 210cosIR84-8 若 上 题 中 电 导 率 ， 再 求 两 球 面 之 间 的 电 阻 。r10解 由 于 媒 质 是 非 均 匀 的 ， 那 么 由，0dd102 rr求 得 21lnCr电 流 密 度 rreeJ2101C电 场
11、强 度 rE1电 流 102120 cos12dsind rCrCIs J电 位 差 12ldrUE因 此 电 阻 120lncosrIR4-9 若 两 个 半 径 为 及 的 理 想 导 体 球 埋 入 无 限 大 的 导1a2电 媒 质 中 ， 媒 质 的 电 参 数 为 及 ， 两 个 球 心 间 距 为 ，d且 ， ， 试 求 两 导 体 球 之 间 的 电 阻 。1ad2解 设 两 球 携 带 的 电 荷 分 别 为 Q 和 -Q， 考 虑 到 两 球 相 距 很远 ， ， 两 球 表 面 电 荷 分 布 可 视 为 均 匀 。 因 此 ，21,两 球 的 电 位 分 别 为，111
12、4adQ 22241ad则 两 球 之 间 的 电 位 差 为 2121214adaU9那 么 ， 两 球 之 间 的 电 容 daUQC214根 据 静 电 比 拟 ， 两 球 之 间 的 电 阻 应 为 daR2144-10 知 半 径 为 25mm 的 半 球 形 导 体 球 埋 入 地 中 ， 如 习 题图 4-10 所 示 。 若 土 壤 的 电 导 率 ， 试 求 导 体 球)S/m(106的 接 地 电 阻 （ 即 导 体 球 与 无 限 远 处 之 间 的 电 阻 ） 。解 已 知 半 径 为 a 的 孤 立 导 体 球 与 无 限 远 处 之 间 的 电 容 为 ， 那 么
13、根 据 静 电 比 拟 ， 埋 地 导 体 球 的 电 阻 R 为C4aCR 41对 于 埋 地 的 导 体 半 球 ， 表 面 面 积 减 了 一 半 ， 故 电 阻 加 倍 ，即6103. 2a4-11 恒 定 电 流 通 过 无 限 大 的 非 均 匀 电 媒 质 时 ， 试 证 任 意一 点 的 电 荷 密 度 可 以 表 示 为 E解 已 知 恒 定 电 流 场 是 无 散 的 ， 即 ， 那 么0J又 由 于 介 质 中 电 通 密 度 在 某 点 的 散 度 等 于 该 点 自 由 电 荷 的 体密 度 ， 即 EED =10-6S/m0 2a习 题 图 4-1010由 上 两
14、式 求 得 E4-12 若 一 张 矩 形 导 电 纸 的 电 导 率 为 ， 面 积 为 ， 四ba周 电 位 如 习 题 图 4-12 所 示 。 试 求 ： 导 电 纸 中 电 位 分 布 ； 导 电 纸 中 电 流 密 度 。解 (1) 建 立 直 角 坐 标 ， 根 据 给 定 的 边 界 条 件 ， 得0 ,0byyax0, , Vaby导 电 纸 区 域 中 电 位 的 通 解 为ykDykCxkBxkAyy nnn nn cossichs,1 00 由 边 界 条 件 及 得0y0 bychs100 nnnkCxBxkACBxA 0sincos100 bkDbnn nn由 此
15、求 得 常 数 ： ， 其 中0nC,210， 其 中bknn0n0nba = 0 = V0XY习 题 图 4-1211代 入 上 式 ， 得 10 coshsh,nnybnxBxbABxy 由 边 界 条 件 ， 得0,Vya 1 00 coshshnn VybnabaA 0co10nyB由 此 求 得 常 数 ： ,321 ,nn其 中 ,0aVA , ,n其 中那 么 ， 导 电 纸 中 的 电 位 分 布 为xay0,(2) 由 ， 求 得 导 电 纸 中 电 流 密 度 为xeEV0xeE,Jay04-13 已 知 电 导 率 为 的 无 限 大的 导 电 媒 质 中 均 匀 电 流
16、 密 度。 若 沿 Z 轴 方 向 挖 出 半0Jxe径 为 a 的 无 限 长 圆 柱 孔 ， 如 习题 图 4-13 所 示 。 试 求 导 电 媒 质中 的 电 位 分 布 。（ 提 示 ： 当 时 ， 电 位 ）r cos0rJ解 由 于 所 讨 论 的 空 间 是 无 源 的 ， 故 电 位 应 满 足 拉 普 拉 斯 方程 。 取 圆 柱 坐 标 系 ， 则 其 通 解 可 表 示 为02 Y Xa 0 JXXZ习 题 图 4-1312 100 cossincossinl,n nn BArBArDrCz (1) 在 区 域 中 ， 圆 柱 孔 的 影 响 可 以 忽 略 ， 则，
17、又 ， 得0EJxe0 cos000 rJJx可 见 ， 当 时 ， 电 位 函 数 为 的 函 数 ， 因 此r表 达 式 中 系 数 均 应 为 零 ， 且 。 那z,nADC,0 1n么 coscos1cs, 11 BrBrrz当 时 ， 即 ， 得 r01J01J(2) 由 于 圆 柱 孔 内 不 可 能 有 电 流 ， 所 以 其 表 面 不 可 能 存 在 法向 电 场 ， 因 而 表 面 不 可 能 存 在 电 荷 。 因 此 ， 当 时 ，ar。 由 此 获 知 ，0 r0cos12Bara可 见 ， ， 即 。121B 2012aJ综 上 可 知 及 ， 其 余 常 数 均 为 零 。 那01J201B么 ， 导 电 媒 质 中 的 电 位 分 布 函 数 为cos,20raJzr
