1、第七章 假设检验7.1 设总体 ，其中参数 ， 为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些2(,)N2是复合假设：（1） ； （2） ；0:,1H0:,1H（3） ； （4） ；33（5） .0:解：（1）是简单假设，其余位复合假设7.2 设 取自正态总体 ，其中参数 未知， 是子样均值，如对检验问题125, (,9)Nx取检验的拒绝域： ，试决定常数 ，000:H1250,):|cxc c使检验的显著性水平为 0.05解：因为 ，故(,9)N9(,)25在 成立的条件下，000053(|)(|)21.cPcP，所以 =1.176。5()0.97,1.63ccc7.3 设子样 取自正态总
2、体 ， 已知，对假设检验125, 20(,)N，取临界域 ，0010:,:Hn(,):|cxc（1）求此检验犯第一类错误概率为 时，犯第二类错误的概率 ，并讨论它们之间的关系；（2）设 =0.05， =0.004， =0.05，n=9，求 =0.65 时不犯第二类错误的概率。020解：（1）在 成立的条件下， ，此时0H20(,)nN0000()cPc所以， ，由此式解出01cn010cn在 成立的条件下， ，此时1H20(,)N0101010001()()cPcnnn由此可知，当 增加时， 减小，从而 减小；反之当 减少时，则 增加。（2）不犯第二类错误的概率为010.951()6.32()
3、(.05).74n7.4 设一个单一观测的 子样取自分布密度函数为 的母体，对 考虑统计假设：fx()fx0 11201:():HfxHf他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足 ，并求其最小值。min解 设检验函数为（c 为检验的拒绝域）1()0x他0111001022()()()2()4PcxxEddx要使 ，当 时，2min140x()当 时，1所以检验函数应取 ，此时， 。14()0x1072(4)8xd7.5 设某产品指标服从正态分布，它的根方差 已知为 150 小时。今由一批产品中随机抽取了 26 个，测得指标的平均值为 1637 小时，问在 5%的显著性水平下，能否认为该批
4、产品指标为 1600 小时?解 总体 ，对假设， ，采用 U 检验法，在 为真时，检验统计量2(,150)N0:16H0H0-.2578xun临界值 1/20.97516u，故接受 。/|H7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64 ，根方差保持在 0.06 ，改变加工工艺后，测得 100 个零件，其平均电阻为 2.62 ，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01。解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量 ，则 未知， ，E2(0.6)D假设为 ，统计量 0:2.64H-3.un由于 ，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。1-/20.951|u7.7 有甲乙
5、两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？解 此问题可以归结为判断 是否服从正态分布 ，其中 未知，即要检验假设12x2(0,)N2。0:H由 t 检验的统计量 0*.80.3972nts取 =0.10，又由于， ，故接受0.95()1.46|tt0H7.8 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为 0.973 根，每台布机的平均断头率的根方差为 0.1
6、62 根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低 20%，在 200 台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为 0.994 根，根方差为 0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平 0.05。解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量 ，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为 0.994及 ，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验2*2ns0.1601:.973:0.973HEHE由于 未知，且 n 较大，用 t 检验，统计量为D0*.4.201.85616nts查表知 ，故拒绝原假设，不能推广。0.95t(1).647.9 在十块土地上试种甲乙两种作物，所得
7、产量分别为 ， ，假设作物1210(,)x 210(,)y产量服从正态分布，并计算得 ， ， ， 取显著性水平30.97x.9y*6.7xs*.ys0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？解 甲作物产量 ，乙作物产量 ，即要检验21(,)N2(,)N012:H由于 ， 未知，要用两子样 t 检验来检验假设 ，由 F 检验，统计量为21 201:H（取显著性水平 0.01）2*2 0.956.74.86(,)6.41FsF故接受假设 ，于是对于要检验的假设 取统计量0:H12:2*2*11 ()0.9()()nxytnss又 时， ，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。0.
8、10.95(8)2.7|tt7.10 有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）：甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为 。0.5解：假定甲产品直径服从 ，由子样观察值计算得 ，21(,)N2x。1*22(0.37).09ns乙产品直径服从 ，由子样观察值计算得 ， 。2(,)0.y2*.3967ns要比较两台机床加工的精度，既要检验2
9、01:H由 F-检验12*2.90.254367nFs时查表得： ，0.50.975().0.250.975160.1953().2F由于 ，所以接受 ，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。0.25.(7)0H7.11 随机从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度为（cm）2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值 的 90%的置信区间（1） ；0.cm（2） 未知解 （1）由子样函数 ， ，可求 的置信区间(0,1)UnN:0.
10、95(|)pUu置信下限 0.952.1un置信上限 0.95.（2）在 未知时，由子样函数 ， 可 求*(1)ntts:0.95(|1).0ptn得 置信区间为置信下限 *0.95(1)2.75nts置信上限 *0.95().3nt7.12 包糖机某日开工包糖，抽取 12 包糖，称得重量为9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3 假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量 求置信水平为 95%的区间估计。解 由于 未知，用统计量 ，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信*(1)ntts:上限为 ，下限为*
11、0.975(1).256nt*0.975.284nts7.13 随机取 9 发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计 （米/秒） 2，设炮口速度服从正态*1n分布，分别求出炮口速度的标准差 和方差 的置信水平为 90%的置信区间。2解 选取统计量 ， 可得 的置信区间为：*2(1)(1)ns:2*2*21/()(,(5.6749,32.1)nnss因为 *2*2221/ / 1/ /()()()() 1nnnnsssspp 故，标准差的置信区间取方差的根方即可。7.14 假设六个整数 1，2，3，4，5，6 被随机地选择，重复 60 次独立实验中出现 1，2，3，4，5，6 的次数分别为 13
12、，19，11，8，5，4。问在 5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：。0:()(2)(6)Hpp解：用 拟合优度检验，如果 成立202621()(5)iiinp:列表计算 的观察值：2组数 i 频数 inipiinp2/iiinp123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07215.20.95()由于 ，所以拒绝 。即等概率的假设不成立。20.95()H7.15 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录 43 根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.
13、5 4.6 4.7 4.8击穿频数 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和 拟合优度检验） 。2解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面 拟合优度检验假设20:(,)HN其中 为 和 的极大似然估计，其观察值2,24.37x221()0.48niisx所以要检验的假设0:(4.37,0.842)HN分组列表计算 统计量的观察值。2组 距1ixi频数 in标准化区间 1iyi 1()iipyinp2/iiinp4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265 -1.25-1.25 -0.79-0.79 -
14、0.34-0.34 0.570.57 1.030.31 0.10560.10870.15260.34880.13280.1515 4.54084.67416.561814.99845.71046.5145 0.04641.15740.21520.59940.01470.3521221().485niip用 查表 由于 ，所以不能否定正态分布的假0.220.90.9(6)(3)6.120.9(3)设。7.16 用手枪对 100 个靶各打 10 发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数 ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ix频 数 ： 0 2 4 10 22 26 18 12 4
15、 2 0if在显著水平 下用 拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。.2解 对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布 来描述，其中 未知，可求其极大似然估计为(;10,)bKpp10.5ixfx设 是十发射击中射中靶的个数，建立假设 10010:()(.5),10KHpk用 拟合优度检验法列表如下：2iinipinp2/iiinp01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.00976
16、50.0009770.0980.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.0982102()3.17iinp取 ， =0.520.9()20.95()6.由于 ，所以接受 。2.)H7.17 在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为 440，测得断头总次数为 292 次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数 0 1 2 3 4 5 6 7 9锭数（实测） 263 112 38 19 3 1 1 0
17、 3 解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数 。其中 未知，求其极大似然估计为 ，建立假设(;)pK: 290.64x，由 拟合优度检验。列表0:;.6H2i断头数 Kinipinp2/iiinp1234501234-8268112381980.51690.34110.11260.02470.0047227.41150.0949.5310.8972.0685.5689.6682.6846.02617.0162520()40.96iinp取 ， = ，0.520.9(1)2.95(3)7.81取 ， =. 0.4由于 ，所以拒绝 。即认为每只锭子纺纱条件不相同。20.9(3)H
