1、第十二课 数据结构线性表12.0 数据结构概述12.1 线性表12.2 栈12.3 队列12.4 串12.0 数据结构概述是否掌握数据结构，是区分一个程序设计人员水平高低的标志，也是在高中阶段信息学竞赛中，能否获得一等奖的分水岭。无论在国内还是国外， 数据结构一直是大学计算机专业的一门专业基础课，但是，对于学习程序设计的中学生，在学习完一门程序设计语言后，为了学习更多的算法以进一步提高编程能力， 数据结构就成了必须突破的对象。掌握数据结构的目的，是充分利用数据之间的内在联系，降低数据的检索、插入、删除、更新、排序等操作的时间复杂度，从而提高算法的效率。从而，避免了大量的穷举式操作。一、什么是数
2、据结构：简而言之，就是“数据+结构” 。1、 数据：数据是客观事物的符号表示。是我们在解决问题的过程中，对客观事物对象所进行的定量、定性的数值或文字表达，以便于我们输入计算机中进行模拟、计算、处理。例如：我们要对这次期中考试成绩进行总分计算、名次排序、优秀率等统计，就需要将考试结果用分数量化，并加上姓名等信息后，输入到计算机中进行处理，我们将所有输入的这些内容，成为一个“期中考试成绩数据” 。数据元素、数据项：数据项：数据中补课分割的最小单元。例如：上例中的某个学生的语文成绩。数据元素：是数据的基本单位，是由若干个数据项组成。例如：上例中某一个学生的考试各科成绩。2、 结构：数据中各数据元素之
3、间的关系，分为逻辑结构和物理结构。逻辑结构：数据之间的内在关系。例如：一家人参加旅行团去某地旅游，在旅行车上，无论他们是否坐在一起，他们之间的父子、母子等内在关系依然存在。物理结构：数据在计算机中的存储方式，又称为存储结构。物理结构的种类：顺序存储、链式存储、索引存储、散式存储。顺序存储：把逻辑相邻的结点存储在物理相邻的存储单元内链式存储：结点之间的逻辑关系由附加指针来表示。索引存储：存储结点信息的同时，建立索引表。散列存储：按结点的关键字直接计算出存储地址。物理结构与逻辑结构之间的关系：（1） 逻辑结构是具体问题抽象出来的数学模型，物理结构是逻辑结构的计算机语言的实现。（2） 有什么样的逻辑
4、结构，就应该选择相应的物理结构。（3） 选择的物理结构要方便基于逻辑结构上的数据运算。（4） 物理结构不等同于逻辑结构，反之，逻辑结构也不等于物理结构，因此，对数据结构的设计，不仅要进行逻辑结构的设计，也还要进行物理结构的设计。数据的运算：各种逻辑结构上的运算集合。常用的有：检索、插入、删除、更新、排序。二、数据结构的分类：序号 名称 结构特点 常用物理结构1 集合 无任何关系的一组数据例如：互不相识的若干人乘坐同一辆公交车。顺序索引2 线性表 元素间存在严格的一对一的关系例如：按顺序排列的 26 个英文字母，B 前面只能是 A，后面只能是 C。顺序散列3 树 元素间严格的一对多关系例如：磁盘
5、中的文件夹和文件。顺序索引、散列4 图 元素间为多对多的关系例如：一个班级同学之间的关系。一个人可以有多个朋友，也可以是多个人的朋友。顺序索引12.1 线性表一个线性表是 n 个数据元素的有限序列。线性表是最常用且最简单的一种数据结构。一、线性表的结构特点在数据元素的非空有限集中，（1）存在唯一的一个被称做“第一个”的数据元素；（2）存在唯一的一个被称做“最后一个”的数据元素；（3）除第一个之外，集合中的每个数据元素均只有一个前驱；（4）除最后一个之外，集合中每个数据元素均只有一个后继。a1 ai-1 ai ai+1 anai是 ai+1的直接前驱元素，a i+1是 ai的直接后继元素。线性表
6、中元素的个数 n 定义为线性表的长度，为 0 时称为空表。在非空表中的每个数据元素都有一个确定的位置。a i是第 i 个元素，把 i 称为数据元素 ai在线性中的位序。二、线性表的操作：1、 求长度：L:=a0;2、 清空：a0:=0;3、 判断线性表是否为空：(a0=0)=true4、 线性表存在且未满：a0b)and(finda0 then find:=0;end;三、线性表应用实例：1、 顺序表倒置：算法思路：把第一个元素与最后一个元素交换，把第二个元素与倒数第二个元素交换。一般地，把第 i 个元素与第 n-i 个元素交换，i 的取值范围是 0 到 n/2（n 为顺序表的长度） 。pro
7、cedure invert;var i,tmp:integer;beginfor i:=1 to a0 div 2 dobegintmp:=an-i+1;an-i+1:=ai;ai:=tmp;end;end;2、 两顺序表合并：procedure merger(a,b:var;var c:arr);var p1,p2,p,i:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);p1:=1; p2:=1; p:=0;while (p1bb0 thenbegininc(b0); bb0:=ai;end;end;12.2 栈一、栈的定义：栈(Stack)是操作限定在表的尾端进行
8、的线性表。二、栈的结构特点：1、栈是一种特殊的线性表。2、栈的一端（栈底）是封闭的，禁止进行任何操作。3、栈的中间不允许插入和删除等操作，但可以发生查找等操作。4、 栈的插入和删除等操作全部在另一端（栈顶）进行。从以上特点可以看出，先入栈的元素将被压 在后入栈的元素底下，只有后入栈的元素出栈后才能出栈。因此，栈又称为“先进后出表（LIFO） ”或“后进先出表（FOLI） ”。如右图，表的底端（栈底）是封闭的，进栈和出栈操作都只能在栈顶进行。我们只需要一个栈顶指针就可以了。当 top=0 时，称为空栈。三、栈的物理结构：一般采用数组存储，a1 为栈底，an一端为栈顶，可以很方便地实现栈顶的进栈操
9、作和出栈操作。四、栈的基本运算：1、 初始化空栈：top:=0;2、 求栈的长度：L:=top;3、 判断栈是否溢出：(topmaxn)=true4、 判断栈是否为空：(top=0)=true5、 进栈操作：if top0 thenbeginb:=atop;dec(top);end;7、 取栈顶元素：（只取栈顶数据，不改变栈的大小）if top0 dobegininc(top);atop:=n mod 8;n:=n div 8;end;end;2、行编辑：一个简单的行编辑程序的功能是：接受用户从终端输入的程序或数据，并存入用户的数据区。允许用户输入出错时可以及时更正。可以约定为退格符，以表示前
10、一个字符无效，为退行符，表示当前行所有字符均无效。procedure editline(var st:arr);var top:integer;begintop:=0;repeatread(inf,ch);case ch of#:if top dobegincode:=1;while (scode=0)and(scode()and(ch()and(sftops() dobegincha:=pops;a:=popd;b:=popd;c:=jisuan(b,a,cha);pushd(c);end;dec(tops);end;end elsebeginss:=copy(s,1,code-1);del
11、ete(s,1,code-1);val(ss,a,code);pushd(a);end;end;while tops=max then 回溯 p:=false；endif ；until p=true；until step=0；回溯过程如下：Procedure BACK；step:=step-1 ；if step0 then 栈顶结点出栈else p:=true；procedure back; /回朔过程begindec(step);if step0 then begin栈顶结点出栈；p:=false;end else p:=true;end;/procedure dfs(step);begin
12、step:=0;repeatinc(step);j:=0; p:=false;repeatinc(j);if 新产生结点复合条件 thenbegin新产生结点入栈；if 子结点是目标结点 then 输出else p:=true;end else if j=max then back;until p;until step=0;Borland/Turbo Pascal 编译器是 16 位的编译器，最多只能设置 64KB 字节的栈空间，因此，使用模拟递归进行回朔是非常必要的。在 Freepascal 是 32 位的编译器，理论上栈空间是没有限制的，所以，现在已经不提倡使用结构复杂的模拟递归了。12.
13、3 队列（Queue）一、队列的定义：队列是只允许在一端进行加入，而在另一端进行删除的运算受限的线性表。（1）允许删除的一端称为队头（Front） 。（2）允许插入的一端称为队尾（Rear ） 。（3）当队列中没有元素时称为空队列。（4）队列亦称作先进先出（First In First Out）的线性表，简称为 FIFO 表。队列的修改是依先进先出的原则进行的。新来的成员总是加入队尾（即不允许“加塞“） ，每次离开的成员总是队列头上的（不允许中途离队） ，即当前“ 最老的“成员离队。二、队列的操作：为了便于队头和队尾位置的记录，需要开设两个下标指针变量：头指针：head，指向当前队头元素的前一
14、个 位置（即最后出队的元素位置） 。尾指针：tail， 指向当前队尾元素所在的位置。1、初始化队列（置队空）：head:=0; tail:=0;2、判断队列是否为空：head=tail=true3、 判断是否已满（即是否溢出）队列溢出有两种：1 2 m m-1 m-2 maxn假性溢出： * * * . . . *head tail 此时，如果有新元素需要入队，由于数组以使用到最大下标无法入队，二实际上数组中仍有队头之前的 m-1 个空位置。这种溢出称为假性溢出。假性溢出的克服方法：采用环形数组，即使 tail 到达maxn 时，自动返回到 1。1 2 m m-1 m-2 maxn真性溢出：h
15、ead tail或：1 2 m m-1 m-2 maxntail head 第一种情况为链式队列，队头指针指向 1，而队尾指针已到达 maxn，当再有元素需要入队时，因无法入队而发生溢出，其解决办法只有扩充 maxn 的值。第二种情况为使用循环队列，队头指针已循环到队尾指针的左边，并已把 head 前面的空位置占满，如果再有元素入队，则会发生叠加到队头元素上。其解决办法有二：扩充 maxn 和附加备用队列。判断是否溢出操作：链式队列：tailmaxn=true循环队列：(head=tail)and(ring_headmaxn thenbegininc(ring_head);head:=(hea
16、d-1) mod maxn+1;end;deq:=ahead;end;/procedure join(d:integer);begininc(tail);if tailmaxn thenbegininc(ring_tail);tail:=(tail-1)mod maxn+1;end;atail:=d;end;/procedure main;begind:=deq; bd:=1;for i:=2 to n dobeginfor j:=1 to i dobegind:=deq;join(d);end;d:=deq;bd:=i;end;end;/procedure print;beginrewrit
17、e(outf);for i:=1 to n-1 do write(outf,bi, ); write(outf,bn);close(outf);end;/begininit;main;print;end. 12.4 串串是一种特殊的线性数据。一般对于串的操作既可以按数组的方式进行，也可以使用专用函数或过程，其时间代价基本相同。（1） 求串长 O(1) length（2） 两串连接 O(n) 加法远算（3） 复制子串 O(n) copy（4） 插入子串 O(n) insert（5） 删除子串 O(n) delete（6） 数转串 O(n) str（7） 串转数 O(n) val（8） 串匹配 O
18、(mn) pos从以上看出，串的匹配算法时间复杂度非常大。这里学习对串的模式匹配的算法改进。一、 pos 函数的算法效率低下的原因：传统的字符串模式匹配算法（BF 算法）就是对于主串和模式串双双自左向右，一个一个字符比较，如果不匹配，主串和模式串的位置指针都要回溯。这样的算法时间复杂度为O（nm） ，其中 n 和 m 分别为串 s 和串 t 的长度。例如：在串 S=”abcabcabdabba”中查找 T=” abcabd”先是比较 S1和 T1是否相等，然后比较 S2 和 T2是否相等我们发现一直比较到 S6 和 T6才不等。如图一：图一当这样一个失配发生时，T 下标必须回溯到开始，S 下标
19、回溯的长度与 T 相同，然后 S 下标增 1,然后再次比较。如图：图二极端的例子是：在 S=“AAAAAAAAB“(100 个 A)中查找 T=”AAAAAAAAAB”, 简单匹配算法每次都是比较到 T 的结尾，发现字符不同，然后 T 的下标回溯到开始，S 的下标也要回溯相同长度后增 1，继续比较，所以，时间复杂度为 O(mn)。二、 对传统算法的改良探讨图二中，S6和 T6失配后， S 和 T 的下标同时回朔是效率低下的根本原因（接下来的比较很多是无意义的） ，对比两个串发现，当发生失配时，下一次有效比较发生在S4和 T1(如图三)，而真正有意义的比较则发生在 S6对 T3。图三通过考察得出
20、，最好的策略是：1、 S 串的下标不回朔，停留在上次失配的位置 i。2、 T 串回朔 k 个位置，使 T 串与 S 串中对齐第 i 个字符之前的子串相配。因此，只要能求出 T 串中每个位置的 k 值，就可以在模式匹配过程中，对 S 串从头扫描到尾（不回朔） ，当发生 Si和 Tj失配时，只将 T 串回朔 k 个位，接下来就可以继续比较 Si与 Tk，直到完全匹配或 S 串到末尾。就能实现 O(n)的效率。三、 KMP 算法：1、 求 k 值：当 Si与 Tj失配时， T1Tj-1与 Si-j+1Si-1一定已匹配成功，则两串的红色1 i-j+1 i-k+1 iST1 j-k+1 j区域完全相同
21、：Si-k+1Si-k+2Si-k+3Si-1=Tj-k+1Tj-k+2Tj-k+3Tj-1。（1）当 T 串回朔到下标为 k 的位置时，Tk与 Si对齐进行下一次比较，而 S 串中红色1 i-j+1 i-k+1 iST区域和 T 串中蓝色区域完全相同。即有：Si-k+1Si-k+2Si-k+3Si-1=T1 T2T3 Tk-1 （2）由（1） （2）两式得出：Tj-k+1Tj-k+2Tj-k+3 Tj-1= T1 T2T3Tk-1（3）即 T 串的蓝色区域和红色区域完全相同，由此得出，要求出 T 串中 j 位置的 k 值，只需要找出 j 位置前有多少个字符（红色区域）与自身串首的字符（蓝色区
22、域）相同即可。 0 当 j=1时Kj= maxk|1lp then main:=i-lpelse main:=0;end;/procedure print;beginwrite(outf,m); close(outf);end;/begininit;makenext(p);m:=main;print;end. 习题：1、 读入一个算术表达式，判断其括号是否配对正确。2、 给定一个栈、一个无序数据队列 A 和一个空队列 B，无序数据队列中的数据可以有两种操作，进栈（a 操作）或出栈进入到队列 B 中（b 操作） ，判断 A 栈中的数据能否通过 A、B 两种操作在 B 队列中排序，如能，输出操作序列，如不能，则输出-1。例一：输入：1 2 3 4 5输出：ababababab例二：输入：5 4 3 2 1输出：aaaaabbbbb例三：输入：5 2 4 3 1输出：-13、编程找出 s1 和 s2 的最长公共子串。 （串长10000） 。4、集合的前 N 个元素：编一个程序，按递增次序生成集合 M 的最小的 N 个数，M 的定义如下：(1)数 1 属于 M；(2)如果 X 属于 M，则 Y=2*X+1 和 Z=3*1 也属于 M；(3)此外再没有别的数属于 M。
