1、第十四课 数据结构树12.0 树型结构12.1 树的应用12.2 二叉树及其应用12.3 霍夫曼二叉树12.4 线段树12.0 树型结构（一）树的定义树是一种数据结构，它是由 n（n=1）个有限结点组成一个具有层次逻辑关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：(1)每个结点有零个或多个子结点； (2)每一个子结点只有一个父结点； (3)没有前驱的结点为根结点； (4)除了根结点外，每个子结点可以分为 m个不相交的子树； （二）树的有关术语(1)节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； (2)叶节点或终端节点：度为零的节点
2、称为叶节点； (3)非终端节点或分支节点：度不为零的节点； (4)双亲节点或父节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； (5)孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； (6)兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； (7)树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； (8)节点的层次：从根开始定义起，根为第 0层，根的子结点为第 1层，以此类推； (9)树的高度或深度：树中节点的最大层次； (10)堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟； (11)节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点； (12)子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为
3、该节点的子孙。 (13)森林：由 m（m=0）棵互不相交的树的集合称为森林；（三）树的物理存储一般使用数组来线性存储树中各节点的数据本身，但为了记录各节点之间的父子关系，需要附加存储父亲或孩子节点所在的位置。1、 双亲表示法：可以存储为： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11优点：（1） 节省空间。（2） 便于从下向上访问（记录了从孩子到父亲的逻辑关系） 。（3） 便于随时插入新的子树。缺点：不利于从上向下的访问。 （未记录父亲到孩子的逻辑关系） 。例如：利用所给边集创建双亲表达树输入：第一行两个整数 n，m ，表示节点个数和边的条数下面 m 行，每行 2 个整数，表示两个节点存在父
4、子关系输出：如上的双亲表示法的树program maketree; /时间复杂度 O(nlogn)const maxn=12;var inf,outf:text;bian:array1maxn,12of integer; /存储边集tree,num:array1maxnof integer; /存储树、各节点的度t:array1maxnof boolean; /哈希n,m,i,j,k:integer;/procedure init;beginassign(inf,maketree.in); assign(outf,maketree.out);reset(inf);readln(inf,n,m)
5、;for i:=1 to m dobeginreadln(inf,biani,1,biani,2);A B C D E F G H I J K1 1 1 2 4 4 5 5 5 7inc(numbiani,1); inc(numbiani,2); /统计各节点的度end;end;/procedure make;begini:=1; k:=0;fillchar(t,sizeof(t),true);while k1 do i:=i mod n+1; /查找度为 1 的节点j:=1;while not(tjand(bianj,1=i)or(bianj,2=i) do inc(j); /找到包含该if
6、 jn then break; /节点的边tj:=false;if bianj,1=i then treei:=bianj,2;if bianj,2=i then treei:=bianj,1;dec(numbianj,1); dec(numbianj,2);inc(k);end;end;/procedure print;beginrewrite(outf);for i:=1 to n do write(outf,i:3); writeln(outf);for i:=1 to n do write(outf,treei:3);close(outf);end;/begininit;make;pr
7、int;end. 2、孩子表示法：（一般二叉树使用）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11A B C D E F G H I J K2 5 6 8 113 7 94 10优点：（1） 便于从上向下的访问。（2） 便于随时删除子树。缺点：占用空间过大且不确定（使用链表时例外） 。3、混合表示法：既记录双亲关系又记录孩子关系。12.1 树的应用（一）并查集并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。并查集的存储一般采用双亲表示法。一般为了提高使用效率，会附加储存一些信息，如：该节点下属节点个数、该节点到达根的距
8、离等。1、基本操作：一开始时，所有元素都分属于各个独立的集合。（1）查找某结点的根：function get_father(x:integer):integer; /传入待查找的结点序号beginwhile fatherxyy then fatherxx:=yy;end; （3）判断两个结点是否属于一个集合：function same(x,y:integer):boolean;beginif get_father(x)=get_father(y) then same:=trueelse same:=false;end; 2、并查集的优化：并查集在使用时，一旦结点多起来，就有可能退化成为一条链，
9、这时，查找结点的祖先或判断两个结点是否是同一集合的复杂度就会称为 O(n)。（1）合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。（附加存储集合中根的深度 ranki）procedure join_rank(x,y:integer);var xx,yy:integer;beginxx:=get_father(x);yy:=get_father(y);if rankxxrankyy then fatheryy:=xxelse fatherxx:=yy;if rankxx=rankyy then inc(rankyy);end;（2）路径压缩我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接
10、到它上面。function get_father(x:integer):integer;var xx,y:integer;beginxx:=x;while fatherxxxx dobeginy:=fatherx;fatherx:=xx;x:=y;end;end;3、例题：(1) 亲戚(Relations)或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及.在这种情况下，最好的帮手就是计算机。为了将问题简化，你
11、将得到一些亲戚关系的信息，如同 Marry和 Tom是亲戚，Tom 和 B en是亲戚，等等。从这些信息中，你可以推出 Marry和 Ben是亲戚。请写一个程序，对于我们的关心的亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。输入格式 输入由两部分组成。第一部分以 N，M 开始。N 为问题涉及的人的个数(1 N 20000)。这些人的编号为 1,2,3,N。下面有 M行(1 M 1000000)，每行有两个数ai, bi，表示已知 ai和 bi是亲戚.第二部分以 Q开始。以下 Q行有 Q个询问(1 Q 1 000 000)，每行为 ci, di，表示询问 ci和 di是否为亲戚。对于每个询问 ci, d
12、i，若 ci和 di为亲戚，则输出 Yes，否则输出 No。样例输入与输出输入 relation.in10 72 45 71 38 91 25 62 333 47 108 9输出 relation.outYesNoYes(2) 银河英雄传说【问题描述】公元五八一年，地球居民迁移至金牛座 第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。宇宙历七九九年，银河系的两大军事集团在 巴米利恩星域 爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令 莱因哈特 率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将 杨威利 组织麾下三万艘战舰迎敌。杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难
13、免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成 30000列，每列依次编号为 1, 2, , 30000。之后，他把自己的战舰也依次编号为 1, 2, , 30000，让第 i号战舰处于第 i列(i = 1, 2, , 30000)，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为 M i j，含义为让第 i号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第 j号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。然而，老谋深算的莱
14、因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。该指令意思是，询问电脑，杨威利的第 i号战舰与第 j号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。最终的决战已经展开，银河的历史又翻过了一页【输入文件】输入文件 galaxy.in的第一行有一个整数 T（11，则序号为 i的结点的双亲结点的序号为 i/2(“/”表示整除)；如果 i
15、1，则序号为 i的结点是根结点，无双亲结点。（2）如果 2in，则序号为 i的结点的左孩子结点的序号为 2i；如果 2in，则序号为 i的结点无左孩子。（3）如果 2i1n，则序号为 i的结点的右孩子结点的序号为 2i1；如果 2i1n，则序号为 i的结点无右孩子。五、二叉树的物理存储：1、对于满二叉树或完全二叉树，一般采用一维数组，只存储结点数据即可，其逻辑关系可根据二叉树的性质直接确定。对于下标为 i的结点，其双亲结点位置的下标为 i/2，其左孩子结点位置的下标为 2*i、右孩子结点位置的下标为 2*i+1。如：堆、线段树的存储。2、对于非满二叉树，如果使用第一种方法存储，则空间过于浪费，
16、一般采用地址标记法存储，且由于二叉树的度是不超过 2的，因此，主要采用孩子表示法。如：可记录为：结点数据 A B C D E F G H I双亲地址 0 1 1 2 2 3 3 5 5左子树地址 2 4 6 8右子树地址 3 5 7 9实际使用时，可根据需要省去双亲地址的记录。六、二叉树的基本操作：var tree:array1maxn,13of integer;1、初始化一棵空二叉树：Fillchar(tree,sizeof(tree),0) ;2、将新数据作为结点插入到树中，根据数据属性，大于根则插入到右子树、小于根插入到左子树中。基本框架：procedure make_tree(待插入数
17、据; 结点地址); /递归子程序，主程序调用时地址为 1。beginif 待插入数据的属性需查找数据 thenbegin if 需查找数据的属性tree_dd thenbeginif stree_dd thenbeginif treed,1=0 then /比当前根小的里面找不到begininc(max); /max为全局变量，记录树中最大结点序号tree_dmax:=s;treed,1:=max;find:=0;endelse find:=find(s,treed,1); /转到左子树中继续查找end elsebeginif treed,2=0 then /比当前根大的里面找不到begininc(max);tree_dmax:=s;treed,2:=max;find:=0;endelse find:=find(s,treed,2);end;endelse find:=d; /如果找到，返回数据所在结点序号end; /如果找不到，返回函数值0例一：
