1、第二次作业答案 1/12线性代数2010 年上半年第二次作业答案一填空题（4x5=20 分）1.设 3 阶矩阵 ，3 维列向量 ，知 线性相关，1204A,1TaA与则 = -1 .解：考察线性相关的定义。首先，212313044akaA其中，k 为任意的常数，这是由线性相关的定义所得的，从而得,23,41aka2.设向量组 线性无关，则 满足的关系式为 123,0(,0)(,)cbab,abc0abc解：由线性无关的定义及等价条件定理 3.5 的推论 1， 线性无关当且仅当23,为列向量的矩阵的行列式不等于零，即123,0020abcacbabc因此，必须满足关系式 3. 设 是非齐次线性方
2、程组 的解， 也是 s,21 bAxskk21的解，则 应满足的关系为 1 bAxsk 12sk解：由题目条件得有 ，要使得 也是解，则应该有：,12,.iAbs sk2，而我们知，12()skk 1212.()s s sAkkAkb 因此，要求 112sk4.设向量组 ，则该向量组的秩为 1234,34,(,45),(,6),(,57)第二次作业答案 2/122 。解：考察如何求解一个向量组的极大无关组和秩，见教材 P138，23123412341234506679A 第 一 行 乘 以 加 到 第 二 行第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行第 一 行 乘 以 -4加 到 第 四 行231
3、23400 第 二 行 乘 以 加 到 第 三 行第 二 行 乘 以 加 到 第 四 行因此，矩阵非零行行数为 2，故 rank(A)=2， 即向量组秩为 2。5.已知 是非奇异矩阵 的一个特征值，则矩阵 必有特征值为 3/4 2A1()3A。解：参看教材 P172 中例 5，虽然只是个例题，但其公式很重要，要记住。是非奇异矩阵 的一个特征值 224是 的 一 个 特 征 值224/3A1是 的 一 个 特 征 值1()是 (的 一 个 特 征 值因此，答案为 3/4。二.选择题（4x7=28 分）B1. 设 可由向量 1=（1，0，0）， 2=（0，0，1）线性表示，则下列向量中 只能是（
4、）A.（2，1，1） B.（-3，0，2）C.（1，1，0） D.（0，-1，0）解：由题知 由 线性表出，则存在常数 使得12,12,k1212(,0)kk则无论 如何取值， 的第二个元素必为 0，比较四个选项，只有 B 符合要求，故选12,kB。C2. 已知向量组 线性无关，则向量组（ ）.1234,A 线性无关; 1231,B 线性无关; 4,C 线性无关; 1231,第二次作业答案 3/12D 线性无关.12341,解：考察线性无关的定义。在 A 项中，若存在 使得1234,k1223344()()()()0kkk而上式左边= 14122334()kk由 线性无关知有 ，但举一例子，取
5、123,412即可满足条件，因此并不能推出 ，因此不是线性4kk14230kk无关，A 项错误；同理，B 中，1223344141234()()()()0kkk举一例子，取 ，即可满足条件，并不能一定推出1423kk因此不是线性无关，B 项错误；14230k同理，C 中，122334414123123()()()()000kkkk因此，是线性无关的，C 项正确；在 D 项中，1223344141234()()()()00kkkk举一例子，取 ，即可满足条件，并不能一定推出1423kk因此不是线性无关，D 项错误，故选 C。14230kB3. 下列所指明的各向量组中,( )中的向量组是线性无关的
6、. A.向量组中含有零向量B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出C.存在一个向量可以被其余向量线性表出D.向量组的向量个数大于向量的维数解： 考察线性相关和无关的性质。首先，零向量与任何向量都是线性相关的，因此线性无关的向理组中不可能有零向量，A 错；定理 3.7，教材 P132，向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线第二次作业答案 4/12性组合，即至少有一个向量可以由其余向量线性表出（见 P124 定义 3.5）,其逆否定题为：任何一个向量都不能被其余向量线性表出则是线性无关，B 正确；C 中是使得定理 3.5 线性相关成立的条件，故错误；D 中，向量组的维数即等于向量
7、组的秩，即是其极大无关组所含向量的个数，若向量组的向量个数大于向量的维数，说明极大无关组不是向量组本身，而只是其子集，说明向量组线性相关，D 错误，选择 B。A4.设 为 阶实矩阵，则对于线性方程组（I）： 和（II）： ，n 0Ax0TAx必有（ ）.A（II）的解是（I）的解， （I）的解也是（II）的解; B（II）的解是（I）的解， （I）的解不是（II）的解;C（I）的解不是（II）的解， （II）的解也不是（I）的解; D（I）的解是（II）的解， （II）的解不是（I）的解.解：设 ， 若 X 是（I）的解，则 ，所以表明 X 也是12nxX 0Ax0TxA（II）的解；另一方面
8、，若 X 是（II）的解，则有 ，Tx设 ， 则有 ，因此 12nnxbAX 0TTAb21()nTTTTiAXbX，因此，X 也是（I）的解0,1.,0ibn综上得，选 AD5设 A 为 n 阶方阵，则（ ）AA 的特征值一定都是实数;BA 必有 n 个线性无关的特征向量;CA 可能有 n+1 个线性无关的特征向量;DA 最多有 n 个互不相同的特征值.解：特征值是由 来计算的，而知 是 的 n 阶多项式，有 n 个根（有可0IAIA能是重根） ，但是在复数域 C 中，并不一定都是实数，请见定理 4.4（教材 P175） 。只有实对称矩阵的特征值才都是实数（定理 4.11 教材 P189）
9、，故 A 错；第二次作业答案 5/12选项 B 中，知矩阵 A 有 n 个特征值（可能有重根和复根） ，但不一定每个特征值都有对应的特征向量，设 A 的特征值为 ，则12,.si nsi ii=1是 n重 根 ,则 有对应的特征向量的基础解系最多只有 个，即通常一个特征值最多对应一个特征向量ii（重根就按 个特征向量来算） ，且由 P174 定理 4.3 知不同特征值对应的特征向量是线in性无关的，因此知 A 最多只有 n 个线性无关的特征向量，且不是一定的，故 B、C 都错误；D 中，由上我们设 A 的特征值为 ， ，因此 s 的最12,.si nsi ii=1是 n重 根 ,则 有大只值只
10、能是 n，即每个特征值都是一重根，互不相同的。故选 D。D6.设矩阵 为 n 阶矩阵，且 与 相似， 为 n 阶单位矩阵，则有（）,ABABIA、矩阵 ； IIB、 与 有相同的特征值和特征向量； C、 都相似于一个对角矩阵； 与D、对任意常数 ，矩阵 相似。ttIAtB与(说明：D 中，应为 相似，在作业说明栏中有说明)与解：主要考察矩阵相似的定义，及其等价定义。教材第四章第二节，P176 页，与 相似：则存在可逆矩阵 P，使得 ；则有相同的特征多项式AB1，从而有相同的特征值；有相同的秩；其行列式相等， 。II AB因此， ，只是行列式值相等，并不能推出两个矩阵相等，故 A 有误BB 中，
11、只有说一定有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故 B 有误；C 中，相似于一个对角矩阵是一个矩阵可对角化的条件，在题中并未说到 A 可对角化，故 C 有误；因此选 D，对于使得 的矩阵 P，同样使得1PAB111()PIAI I因此，选 DC7.下列叙述中，错误的有（ ）A、若向量 正交，则对于任意实数 也正交与 ,ab与B、若向量 与向量 都正交，则 与 的任一线性组合也正交12， 12，C、若向量 正交，则 中至少有一个零向量与 与第二次作业答案 6/12D、若向量 与任意同维向量正交，则 是零向量解： 对于 A，因 ，则0T()()0TTab对于 B，因 ， ，则121212120
12、Tkkk对于 C，设 ,则 ，但是 均为非零向量，C 错。(,)()TT与对于 D，设 ,则 ，同理可证121(0,)Tnx， ， ， 1x，故 是零向量。选 C。230nx三 （12 分）已知向量组 .123,1,k(1) 试求 为何值时，向量组 线性相关？k3(2) 试求 为何值时，向量组 线性无关？12,(3) 当向量组 线性相关时，将 表示为 和 的线性组合。123,312解：设有数组 ，使得k120kk写成方程组即等价于：1230k，其系数矩阵的行列为：123k则 以 X=为 未 知 量 的 齐 次 线 性 方 程 组，5kD1（1） ，则方程组不是仅有唯一解，即有非零解，因此向量组
13、 线0123,性相关（2） 当 ，则齐次线性方程组有唯一解，此解必为零解，即 5kD123kX=0此时，向量组 线性无关123,（3） 当 k=5 时，向量组线性相关，则系数矩阵的秩小于 3，为第二次作业答案 7/12A 初 等 行 变 换1123025 初 等 行 变 换 10-2因此有以下方程成立：， 则可取 为自由未知量，取 =1，则有1320k3k3k21,k因此即： 1230因此将 表示为 和 的线性组合为：31 312四.(14 分) 已知线性方程组1234512345357xx求：（1）对应齐次方程组的基础解系； （2）该方程组的通解。解：对方程组的增广矩阵作初等变换，具体过程如
14、下： 1021(|)343575Ab211024 第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行第 一 行 乘 以 -3加 到 第 四 行01210 第 二 行 乘 以 -1加 到 第 三 行第 二 行 乘 以 2加 到 第 四 行 10201 第 二 行 乘 以 -1加 到 第 一 行（1） 从而得出对于齐次方程组 AX=0 来讲，有34520xx134522x两个等式，五个未知量，故让 为自由变量，故为求基础解系，分别令345,34510,x从而求得基础解系：第二次作业答案 8/12123234512,01xXXx故齐次线性方程组解的形式为 12312312345 210XxcXcc（2） 要求得
15、线性方程组的解，需先求一个特解，我们由10201令自由变量 都等于零，则可以得一个特解为：345,x01X从而方程组的通解为： 123012312345 02100xXcXcccx 五.(12 分) 求矩阵 的特征值和特征向量.210A解：首先求特征值： 210IA204012 -2第 一 行 乘 以 加 到 第 二 行第二次作业答案 9/12所以 4(2)1)*02即 4(得到特征值为 123,1(1)当 时则方程1420()4IAXX，因此取 为自由变量，令2030124 第 一 行 乘 以 -1加 到 第 二 行 3x31x则得特征向量基础解系为，所以特征向量为12X12Xc(2)当 时
16、，则方程2420420()03IAX 1第 一 行 乘 以 2因此取 为自由变量，令 ，则得特征向量基础解系为3x31x21/X所以特征向量为 2/1Xc(3)当 ，则方程3120()0IA2()01IAX1042 第 一 行 乘 以 2加 到 第 二 行因此取 为自由变量，则得特征向量基础解系为3x 31/X第二次作业答案 10/12所以特征向量为 31/2Xc故总结如下：矩阵的特征值有 1234,1与之相应的特征向量分别有 ， ， .1c2/3/2c六. (14 分) 设 ，求正交矩阵 P，使 为对角矩阵.01/2/A APT1解：第一步：求特征值，1/2/2/ 18/I2221110*2
17、()()8822223111*4()838602(1)023,第二步：求特征向量，当 时，利用1()0IAX1 1/2/1/2/ 3/ 04/IA 1第 一 行 乘 以 加 到 第 二 行2第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行第二次作业答案 11/121/2/304 第 二 行 加 到 第 三 行 231034 第 二 行 乘 以 加 到 第 一 行132*04x两个等式，三个未知量，故一个为自由量，取 为自由变量，令 ，3x31x得出特征向量基础解系为 1当 ，利用231()0IAX/2/ 1/2/1/2001/1/IA 第 一 行 乘 以 -1加 到 第 二 行第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行23()0x因此一个等式，三个未知量，有两个自由变量，取为 ，对 取值23,x23,x231,0x得出特征向量基础解系为 231,0第三步：作正交化，对 作正交化，231,0利用施密特方法得出正交化后的特征向量 210323 /1Ta第二次作业答案 12/12第四步，对所有特征向量作单位化，得出最后的形式为，113T32 1/211, 600令 ，12321(,)60P则以特征向量作为列向量而成的矩阵，就是我们所求的矩阵，使为对角矩阵.且有：APT11102T1230
