1、高等学校攻读硕士学位研究生入学考试高等代数试题集锦陈德华编嘉应学院数学学院二 00九年七月2目 录bjsfdx北京师范大学(2003,2004)gxdx广西大学(2004,2005,2006,)gxsfdx广西师范大学(2003,2004,2005，)gzdx广州大学(2003,2004,2005，)hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)hnlgdx华南理工大学(2005，2006,2009，)hnsfdx华南师范大学(2002，2003,2007，)hnsfdx 湖南师范大学(2000，2001,2002，)hzkjdx华中科技大学(2004,)hzsfdx华中师范大学(2006,)km
2、lgdx昆明理工大学(2008,)lzdx兰州大学(2002,)nkdx南开大学(2003,2005,2006)stdx汕头大学(1998，1999,2000,2002,2003,2004,2005，)sxdx三峡大学(2006,)sxsfdx陕西师范大学(2005,)szdx深圳大学(2004,)xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)xbdx西北工业大学(1999(1),1999(2), 2000(1),2000(2)，2004，)xmdx厦门大学(2004,)xndx西南大学(2006,)zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)3北京师范大学2003年1(1) 计算排列
3、 87162534的逆序数，并依次写出将上述排列变成12345678的所有对换。(2) 设 个数码的排列 的逆序数是 ，那么排列 的nnii,121 k12,iin逆序数是多少？请说明理由。2设 001010)(nJ是数域 上的一个 阶若当块，试写出与 可交换的域 上的全体 阶矩阵。Fn)(nJFn3一个大于 1的整数若其因子只有 1和本身，则称之为素数。证明 是素p数当且仅当任取正整数 ，若 ，则 或 。ba,p|a|bp|4已知 xefxefxef aaa cos,sin,cos321 bbbx inco1in2654是六个实函数，它们生成的子空间记作 。说明维商 是 上的一个线性变换，V
4、DV并求 在基 下的矩阵。D654321,ff5设域 上的 维线性空间 的一个线性变换 在基底 下的Fnn,21矩阵为 001100121naaA4(1) 求 的特征多项式；(2) 维向量空间 有循环基底吗？若有，试求之；nV(3) 求 的极小多项式并说明理由。6设 是一个数域， 是 上的未定元，二阶 矩阵FF)()(221aA其中 ， 是域 上的一元多项式环。运用带余除法证明2,1jiaij可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以 中A F的多项式加到另一行(列)上)化为 )()(21cOC的形式，且 。)(|21cz2004年1试用 元初等对称多项式 表述下列多项式n
5、nkxkii,21,1 L(1) ；21)(,x(2) ，此处 表示对脚标进行所有可能的 元置换后对不同的项2 n求和；(3) 。41x2设变换 定义为2:Rzyxz2(1) 证明 是一个线性变换；(2) 求出 在下述基底下的矩阵： 10,0132ee5(3) 求出 在下述基底下的矩阵：10,2,13(4) 写出从 到 的过渡矩阵。321,32,e3已知线性方程组 2421312bxa(1) 求出系数矩阵的秩；(2) 给出方程组有解的充分必要条件。4令实二次型 ,其中 ,AXxn21),( 21 )(,)(nnij xXa设 与 分别是 的最大与最小特征值。则对任意的 个实数12A均有nbb,
6、 )()()()( 22122121221 nnnn bbbAb 5令 是一个 维欧氏空间， 是 的一个标准正交基， 是V, V的一个线性变换， 是 关于这个基的矩阵，证明nijaA)(.,21,),(njijiji 6设 是 维向量空间 的一个线性变换， 是 的nVsrxxp)()(极小多项式，此处 和 是不同的复数。令 0)(|)ker(,0)(|)ker( rrrr VVV证明：(1) 和 都是 的不变子空间；(2) ；(3) 的极小多项式是 ， 的极小多项式是 。V| rx)(V| sx)(6广西大学2004年1计算行列式 nnnxaxaaD321321其中， 。iaxi ,21,2已
7、知 是一个非零矩阵，且 的每一个列向量都是方程组BB03231x的解。(1) 求 的值；(2) 证明 。|B3设 是两两互异的整数，试证明多项式na,21 1)()()(21naxaxf在有理数域上不可约。4设 是 矩阵，且 ( 是 级单位矩阵)，BA,nEBA2，证明 不是可逆矩阵。0|5设 是一个 维欧氏空间， 是 中一个固定的向量，证明V0V(1) 是 的一个线性子空间；,0),(|1(2) dim 。n6设 为 级实对称矩阵， ， 的秩等于 。AA2 )0(nr(1) 证明存在正交矩阵 ，使TOEr1其中 是 级单位矩阵；rE7(2) 计算 。|2|nEA7设 为两个 矩阵， 的 个特
8、征值两两互异，若 的特征向量恒B,AnA为 的特征向量，证明 。B8证明数域 上的 维线性空间 的任一子空间都是某一线性变换的核。FnV9设 是数域 上的 维线性空间， 是 的线性变换， 是 的两V21,V个非平凡子空间，且 ，试证明 是可逆线性变换的充要条件是21。)(212005年1计算行列式 xaxaDn00110012102已知矩阵， 2103A130B矩阵 满足 ，求 。XXB23当 为何值时，线性方程组ba, 4231xba有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解。4设有 个 维向量 ，其分量满足sn )(,(21nsiainii sjij j,1|证明这 个向量线
9、性无关。s85设 是 维线性空间 的两个子空间，证明21,WnV(1) 若 均是 的两个非平凡子空间，则存在 ，使21, V同时成立。211,(2) 若 ，则 或 。1)dim()di(2121 W211W6设 ,2,0|),( 2121 niPkxkxPxV inn |),(212 nn证明，若 ，则 。021nkk 21V7设 ， ，且 与 不全为零，证明)()(1xfdxf)(xgd)(fxg是 ， 的一个最大公因式的充分必要条件是 。)(dg 1)(,8设 都是 阶实对称矩阵，证明BA,n(1) 若 都是正定矩阵且 ，则 是正定矩阵；BA(2) 如果 与 均为半正定矩阵，则 。B9设
10、是 维线性空间 的两个子空间，且其维数之和为 ，证明存21,WnVn在 的线性变换 ，使 Ker ， 。V12)(W2006年1. 设 ，证明 当且仅当 。ba)(|)(xfbax0)(bfaf2.设 为 4阶方阵且 ， ，求A6|A),4321。|2,3,2| 41133. 设 为 阶方阵， 是 维列向量且 ， ，n321,n011A， ，试证明 线性无关。212A323A4. 设 为 阶方阵，证明秩( ) 秩( )。nA1n5. 求齐次线性方程组905412531x的解空间的一组标准正交基。6. 若 ，则称 是 的一个左逆，证明nmnEABmnBnA(1) 有左逆的充要条件是 的列向量线性
11、无关；(2) 的左逆唯一当且仅当 可逆。nm nm7. 设 为 阶方阵，且存在可逆阵 使 ，证明BA, PAB1(1) 有相同的特征值；(2) 相同的特征值的特征子空间的维数相等。,8. 设 为 维线性空间， 是 上的线性变换，证明 是数乘变换充要条VnV件是 中每个一维子空间都是 子空间。9. 设 为实満秩方阵，求证A(1) 正定；(2) 存在正交阵 使 ，其中 。QP, ),(211ndiagA nii ,21,010. 设 为 阶方阵，则存在与对角矩阵相似的矩阵 与幂零矩阵 使An BC且 。CBAB10广西师范大学2003年1. 计算题1) 求 阶行列式 的值nnDxzyxzyn2)
12、令 表示数域 上三元列空间，取 ，设 是 的一3F 731A3F个线性变换，对任意 ，有 ，求 Ker ，Im 及它们的维数。3)()()(3) 设矩阵 ，又 ， 有一个特征值 ，且属于acbA01351|A0的一个特征向量为 ，求 的值。00,c2. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。1) 设 是三个 矩阵，若 ，且 ，则 ；CBA,nOCBCA2) 若 阶行列式 ，则 中一定有一行是其余各行的线性组合；n0D3) 若欧氏空间中的向量 构成一个正交组，则 一定r,21 r,21线性无关；4) 用正交变换方法将一个实二次型 化为标准型，此标准型),(21nxf是唯一的。3. 设
13、 是有理数域上的多项式，已知 不可约且 的一个根)(,xgf )(f)(xf(在复数域内的根)也是 的根，证明 的所有根都是 的根。)(xfg114. 设在实平面上有三条不同的直线， ，0:1cbyaxl 0:2acybxl 0:3baycxl证明它们相交于一点的充要条件是 。5设 是向量空间 的线性变换，且 ，但 不是恒等变换 。令V2 ，)(|vvU )(|vVW证明 都是 的子空间，且 。W, 6证明每个循环群都同构于整数加群 的一个商群。Z7假定 ，令 ，证明 。GNH, ,|NnHhG8证明整数环 的一个理想 是最大理想当且仅当 是由一个素数生成的。ZII9设 和 是环 的两个理想，
14、且 ，令 ，证明IJRJI|JaI是 的理想且 。IJRJI2004年1. 填空题1) 若 整除 ，则 ， ；2)1(x124BxAAB2) 已知 及 ( 为单位矩阵)，则 02E2 |B；3) 设 是线性方程组 的 3个解向量， ，秩 ，又321,bAX0b2A， ，103 0123012则 的通解为 。bAX4) 若向量组 中的每个向量都可以由它的一个部分向量组s,2112唯一地线性表示，那么向量组 的秩是 。iti,21 s,212. 计算题1) 计算 阶行列式的值n baabaDn 2) 设 ， ， ，其中4RV),(321LW),(212L021，求1020313与 的基和维数。1W
15、23) 已知实二次型 ，求23231212321),( xxxxf 出正交变换 ，化二次型为标准形，进而写出此二次型的典范形。UYX3. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。1) 是数域，如果 在 中没有根，则 在 中是不可约多项式。F)(xfF)(xfF2) 是两个 矩阵，如果齐次线性方程组 的解都是齐次线性BA,nm0A方程组 的解，则秩 秩 。0xAB3) 如果向量组 的每个向量都可以由向量组 线性表r,21 s,21示，当 时， 一定线性相关。srr,4) 是一个欧氏空间，如果 是 的一个线性变换，且保持内积不变，即VfV对于任意 ，有 ，则 一定是正交变换。, ),()
16、,(f f4. 证明题1) 证明多项式 和 互素的充分必要条件是对任意的正整数 ，)(xfg n和 都互素。)(xfn)(gn2) 是数域 上的 维向量空间， 是 的线性变换。VFnfV13(1) 取 的一个基 ， 在这个基下的矩阵为 ，定义 ，Vn,21f A|f证明 的值与基的选择无关；|f(2) 。00|Kerf3) 设 都是正定矩阵，证明BA,(1) 方程 的根都大于零；|X(2) 方程 的根都等于 1 。0|BA2005年1. 填空题1) 设 ， 在 中的所有不可约因2432)(24 xQxxf )(fx式是 ；2) 已知实 3阶方阵 满足 ( 表示元素 的代)(ijaA3,21,j
17、iAij ijija数余子式)，且 ，则 det ；01a3) 设 线性无关，则向量组 的秩432, 14321, 等于 ；4) 设 是向量空间 的一个线性变换，如果 在 的一组基 下的VV321,矩阵是 ，写出 的所有 不变子空间 01。2. 计算题1) 计算 阶行列式的值n nnnn axxaxxD 1111 2222 1111其中 。021na142) 试求作一个齐次线性方程组，使它的解空间由下列 4个向量生成：，T)0,21(1T),621,(2，453 94其中， 表示 的转置。T3) 已知二次型 ，通过正交变换)0(232),( 321321 axxxf化成标准型 ，求出参数 及所
18、用的正交变换矩阵。3215,yyyf 3. 判断下列命题的正确性，并请说明理由或举出反例。1) 设 ，则满足等式 的 和)(),(xdgxf )()()(xdvgxufu只有一对，其中 表示 与 的首项系数为 1的最大公因式。)(xv,fxf2) 设有 个未知量 个方程的线性方程组n1 1,12,11, 22 12nnnnnbxaxa有解，则行列式 01,2,1, 22 112nnnbaa反之也成立。3) 都是 阶实对称矩阵，且有相同的特征多项式，则 与 相似。BA,n AB4) 设实二次型 的秩为 ，则 一定是正定的。),(21nxf ),(21nxf4. 证明题1) 设 是整系数多项式，
19、( 是整数)，证明不存)(xf pff)3()1在整数 ，使得 。mp22) 设 是一个 阶方阵，则 的充分必要条件是秩 秩AnIA2 )(IA15(其中 为 阶单位阵)。nIA)(I3) 设 ， 是 维欧氏空间 中的两组向量，证明存m,21m,21nV在正交变换 ，使得 的充分必要条件是fifi)(，其中 表示向量 与向量 的内积。jijiji ,)(),( ),(16广州大学2003年1令 是数域 上向量空间 的一个线性变换，如果 分别是属FVs,21于 的互不相同的特征根 的特征向量，那么 线性无关。s,21 s,2设 ，其中 为互异的整数，1)()()( naxaxf na21求证 在
20、 中不可约。xQ3数域 上 维向量空间 的一个线性变换 满足 (单位变换)，证FnV2明 ，这里 和 分别是属于特征根 的特征子空间。1V114已知实矩阵 满足条件3)(ijaA(1) 其中 为 的代数余子式；,2,iajij ijija(2) ；01试求行列式 。|A5设 为 的 个线性无关的解向量，秩rn,10 )0(bX1rn，求对应的齐次线性方程组 的一个基础解系。rA6 取怎样的数值时，线性方程组k2321321kxk有唯一解，没有解，有无穷多解？7设 ，求正交矩阵 ，使 为对角矩阵。61AUA8设 元实二次型 ， 为实对称矩阵，nXxfn21),(，证明 在条件 下的最大(小)值恰
21、为 的最大(小)的21),(nxXf12i A17特征值。2004年1设 ， 求343)(24xxf 3210)(3xxg及 使 。),(gxf,vu )()(, gvfuf2计算行列式 1321n3 为何值时，实数域 上的线性方程组ba, Rbxxa543215432156有唯一解，无穷多解，无解？4求齐次线性方程组 017842633524321xx的基础解系，并写出解空间。5判断下列矩阵 102A的可逆性，如可逆，用初等变换法求其逆矩阵。6设 ， ， ， ，)0,12()1,(2),02()7,31(2， ，求 与 的交的维数及一组基。),(1LVLVV7线性空间 的线性变换 在基 下的
22、矩阵为321,1812A求 的特征值及特征向量。8设 是 维线性空间 的一个线性变换， ，证明 的特征值只能nVI2为 。19设 是正交矩阵且 ，证明 是 的一个特征值。A1|AA10设 是一个 阶可逆实矩阵，证明存在一个正定对称矩阵 和一个正n S交矩阵 ，使得 。US2005年1 适合什么条件时，有qpm,(1) ；qpxx32|1(2) 。4|2计算行列式(1) ；abcddaD(2) ，其中 。xzyxzyxDn 1000101 yz3假设向量 可以由向量组 线性表出，证明表示法是唯一的r,21充分必要条件是 线性无关。r,214讨论 取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无穷多解，有
23、解时ba,求出其解。1963221414321bxxa5设 级方阵 满足条件 ， 为单位矩阵。nBA, ABI(1) 证明 为可逆矩阵；I(2) 证明 ；(3) 已知 ，求 。2013BA6设 ，求 3级可逆阵 ，4 级可逆阵 ，使3APQA017设 是 维线性空间 的一组基， 是以 矩阵，n,21 VAsn，证明 的维数等于 的秩。s)(),(21 ),(21sL8()()91020哈尔滨工业大学2009年1. 设 是一个数域， ， 。证明若 ,则P()fxgPx(),1fxg。(),()1fxgfx2在 中，线性变换 对于基3R123(,0)(,1)(,10)的象为 12(5,3)(,6)
24、3(5,9)求 在 上的矩阵 。123,A3 设矩阵 。且 与 相似。042,B3abAB求 ；(1),ab求一个可逆阵 ，使 。2P1AB4称矩阵 为幂零矩阵，如果存在正整数 使得 。试证Am0A若 为 阶复幂零矩阵，则 ；(1)n0n若 为 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 ， 都可逆。2 knE5设向量组 线性无关，并且可由向量组 线(1)r,2 (2)s,21性表出。那么， 并且，以适当地排列组 中向量的次序，使得组 替换rs(2)()组 地前 个向量后所得到地向量组 ， 与组 等价。(2) r,1s,216设 其中 均为 阶矩阵，且 是可逆对称矩阵，,ABXCD,CnA。证明存在可逆矩
25、阵 ，使 为分块对角阵。BTX7设 是 维欧氏空间 的子空间，且 的维数小于 的维数。证明12V、 nV1V2中必有一非零向量正交于 中的所有向量。2 1218令 表示数域 上一切 阶方阵，所组成线性空间，设nMFn，证明|,SA|TA都是 的线性子空间；(1),n。2nS9设 和 都是 阶正定方阵，则方程 的根都是正的，并且当AB|0AB且仅当 时，所有的根都等于 1。11设 ，试证 。,nCP()()(rBCrr22华南理工大学2005年1证明，如果 ，那么1)(,xgf 1)()(),( xgfxf2问 取何值时，方程组有唯一解、无限多解、无解？并在有解时给出解的结构。 2321321)
26、1()(xx3判断下面的矩阵 是否可对角化A612304证明秩为 的矩阵可表示成 个秩为 1的矩阵之和。)1(rr5设 为 阶实对称矩阵， 分别为其最大与最小特征根，证明对于任An,意的 ，这里 是 的转置矩阵。XXR,6设 为正交矩阵， 的特征根均为实数，证明 为对称矩阵。AA7设 为实对称矩阵，证明 的特征根全部相同的充要条件是存BA、 B、在正交矩阵 ，使得 。 TT18设 是一实矩阵， 的转置矩阵，证明n是(1) 齐次线性方程组 与 同解；0AX(2) 秩 秩 ；)()(3) 方程组 (其中 是任一 维列向量)一定有解。 Bs9设 为欧氏空间 中的一个单位向量，定义V,2)(其中 表示
27、 与 的内积，证明,23(1) 是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；(2) 对任意的 ，若 均为单位向量，则存在镜面反射 ，使得V, ，并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。)(10设 是一个 阶矩阵，证明 与 相似。AnA2006年1设 是数域 上的多项式，证明 当且仅当对于任意)(,xgfF)(|xgf的大于 1的自然数 ， 。n)(|xgfn2设 是一个 阶实矩阵，证明 是正交矩阵，当且仅当A1)(AE是反对称矩阵。3求下面的矩阵 的列空间在 中的正交补的一个标准正交基4R121A4设 为数域 上的互不相同的数而 为数域 上的任na,10Fnb,0F意的数。证明在 上存在唯一
28、的 次多项式 使得 。n)(xf iafii)(5设 为 阶复矩阵，证明 为对称矩阵的充要条件是存在 阶复矩阵 ，AAB使得 ，这里 表示 的转置矩阵。BB6设 为正定矩阵，则存在正定矩阵 使得 。由此证明每一个可逆S2A实矩阵 都可以表示为一个正交矩阵与一个对称矩阵的乘积。7设 是欧氏空间而 是 的有限维子空间，证明 在 中一定有正交VWVWV补。8设 表示数域 上的 阶矩阵的向量空间，对于 ，定义)(FMnnA( 的转置矩阵)。)A是(1) 证明 是一个线性变换；(2) 求 的全部特征子空间；24(3) 证明 可以对角化。9设 是数域 上的互素的多项式， 是 上的 阶矩阵，证明)(,xgf
29、FAFn齐次线性方程组 的解空间 的解空间与 的解0XA0)(Xf 0)(XAg空间的直和(其中 表示 维列向量)。n10设 。(1)将 在实数域上分解因式；(2)证1)(234xxf )(xf明 在有理数域上不可约。由此证明 不是有理数。)(xf 52cos2009年1设 是 中的非零多项式，且 ，这里 ，)(,xgfP)()(1xgsxm1。证明不存在 ，且 ，|)(,fsxs ),(1Prf0r使得r )()()(1xgsfxrgfm2设 表示数域 上所有次数 的多项式及零多项式构成的线性空间，nxP n令多项式 ，其中 ，且)()()() 111 niii axxaf ni,2是数域
30、中 个互不相同的数。na,21(1) 证明 是 的一组基；)(,)(,21xffxnnP(2) 在(1)中，取 为全体 次单位根，求由基 到基a,21 1,nx的过渡矩阵 。)(,)(,21xffxnT3设 阶方阵 满足 ，且 的秩 。A2Ar)(1) 证明 ，这里 的迹 定义为 的主对角线上的元素之和；rt)(tr(2) 求 的值。|E4设 是欧氏空间 的一组标准正交基，设321,V， ， 。321321),(21LW25(1) 求 的一组标准正交基；W(2) 求 的一组标准正交基；(3) 求 在 中的内射影(即求 ，使 )，32WW,并求 到 的距离。5设 是数域 上的 维线性空间 的线性
31、变换， ，证明PnV)(,xPgxf(1) ；)0()()0()( 111 gfgf(2) 当 与 互素时，有x )0()()()( 111 gff6设 为 元实二次型，若矩阵 的顺序主子式AXxfn21,(nA都不为零，证明 可以经过非退化的线性替换化为),(k),(21nxf下述标准型 221nyy这里 ，并且 。nii ,21,07设数域 分别为数域 上的 与 矩阵，又BA,Pnms是 维列向量空间 的P 上 s 0| 1Wn1nP子空间，证明r r)di(WB)(A8设 为定义在数域 上的 维线性空间 上的一个双线性函数，),(YXf PnV证明 可以表示为两个线性函数jinijxaA
32、1， 之积的充要条件是 的度量矩阵 的inixbf11)( iiycf2)( ),(YXfA秩 。26华南师范大学2002年1计算行列式 xaaxaaDnnn 43213212设 是数域 上的多项式，)(,xgfF， 。证明 是 的最大公因式当且)(1dxf)(1xgd)(xd)(,xgf仅当 。,x3设 是复数，并且是有理数域 上的一个非零多项式的根，令cQ。证明 中存在唯一的首项系数为 1的多项式 ，0)(|)(fxQfJ J )(xp使得对于任意 。)(),(, xqxpJ4设 是 矩阵， 是 矩阵，证明存在 矩阵 满足AnmBssnX的充要条件是秩 秩 。BX),(A5设 是数域 上的
33、线性空间， 中一组向量 生成的子空间VFVt,21是 。证明,|),( 212121 FxxxL ttt (1) 是所有包含 的子空间中的最小者；,t t,(2) ；,),()(dim 112121 mkmkLL与(3) 若 是 中两组线性无关的向量，则k,21V是直和当且仅当 线性)(),(21 mkL mk,2121无关。6设 是实数域 上 阶对称矩阵，对于ARn27，定义 。证明 在此定nn Ryx2121 ),(,),( A),(nR义下构成欧氏空间的充分必要条件是 为正定矩阵。A7设实数域 3维线性空间 上的线性变换 定义为3，设 分别为其特征值 的特征)42,(),( zyxzy
34、321,V321,子空间。(1) 求 ；321VU(2) 能否对角化；(3) 证明 可以对角化，求出 的一个基，使 在此基下的矩阵为对U| UU|角形，并写出此对角形矩阵。8已知二次型 通过正交替换化为标准形)0(231321 bxxf，求出参数 和相应的正交矩阵。23215yyfb2003年1. 证明行列式等式 nijijnnn nAxaxa121221121 |其中 ， 是 在 中的代数余子式。|ijaAijij|ij2. 设 是数域 上的多项式， 是一正整数，证明)(,xgfFm)(|)(| xgfxgfm3.(1) 设 是 矩阵， 是 矩阵， ，证明线性方AsBns21),nX程组 与
35、 同解的充要条件是秩 秩 。0BX)(A(2) 设 是 实数矩阵，证明秩 秩 秩 。sm A4. 设 是实数域， 为所有 2阶实方阵构成的线性空间。对于固定的实R2数 ，定义 上线性变换 ，dcba, T28XdcbaT:(1) 求 在基 ， ， ， 下的T01E012 03E104矩阵；(2) 若 ，将线性变换 对角化并给出变换的矩阵。12dcbaT5. 设实对称矩阵 的特征值全大于 ，与 同阶的实对称矩阵 的特征值AaAB全大于 。b证明 (1) 和 都是正定矩阵；aEbB(2) 的特征值全大于 。a2007年1回答问题(1) 设 是数域 上的多项式，在什么条件下，由)(,xgfF可推出
36、；)(|),(|xhgxf |h(2) 下列变换那些保持矩阵的秩不变：初等变换 ，相似变换BA，转置变换 ，右乘变换 ，正交变换 ；AT1ACT(3) 写出 阶方阵 可逆的五个等价条件；n(4) 在欧氏空间 中，写出向量组 正交化后得到的正交向量组Vm,21；m,21(5) 写出实二次型 的规范形，并对此规范形写出符号差和秩。),(21nxf2设线性方程组 4231231xk取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；在有解时写出它的通解。k293设 阶方阵 ，)1(nA11a关于 ，讨论矩阵 的秩。aA4设多项式 ，证明1)(4xf(1) 无有理数的根；xf(2) 在有理数域 上不可约。)(
37、Q5设 是有限维向量空间 上的线性变换，证明V(1) 若 是由 生成的子空间，则),(21tLWt,21；),)(,()21tLW(2) 若 且 是可逆的，则sWV21。)()()(21sV6设向量空间 ( 是数域)的基4F线性变换 关于基),01(),01,0),0( 4321 的矩阵是432, 102A又有基 ),(),(),12(),12( 43(1) 求 的像 关于基 的坐标；04321(2) 求基 到基 的过渡矩阵。4321, 4321,7设 是有限维的欧氏空间，证明V(1) ；0,030(2) 对于 的子空间 ，由 可得 ；VWU,U(3) 。)(8已知二次型 的秩是 2，求参数yzxbzyxzyf 23),(22 ，并指出方程 表示什么曲面。b4x
