1、1高等数学第一章 函数、极限与连续第一节、函数1.1 函数分类概念分类 01sin)(ixxffm分 段 函 数初 等 函 数 类型分类 )()()(;,)(xfyxfydtdttayyFa抽 象 函 数积 分 上 限 函 数参 数 方 程 表 示 的 函 数隐 函 数研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性1.2 例题 （仅限于对应）引例 ，求xf1)()(xf解 )2,1(21xf例 1 ，求 。0)(xxf )(f解 )()(fff210201)(101)(1xxx例 2 ，且 ，求 ，并写出定义域。fexf,)(2)()(x解
2、 ， 。xx1)(2 1ln01例 3 设 满足 ，其中 均为常数，且 ，求 的(f cbfaf)(cba, |ba)(xf表达式。解 ，消掉 得 。)2()(11 cxbfxaf )(xf )(2bxacf小结：上述四例均强调或说体现“对应” ，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略1.3 习题1 设 ，则 1 。1|0)(xf )(xf2 设 ，则 （D ）)(2f )(f（A） （B）0)()(2xxf 0)()2xxf（C） （D）)(2f )(2f3 设 ，则 （B）1|0)(xxf )(xf（A）0 （B）1 （C ）
3、（D） 。1|01|0x4 是（D ）)(|sin|)(cosxexf3（A） 有界函数 （B）单调函数 （C ）周期函数 （D）偶函数5 设 连续，则下列函数中为偶函数的是（D ） 。)(xf（A） （B） （C） （D）dt02xdtf02)(xdtft0)(xft)(6设 ，求 。22,()00xxgf()gfx2,()fxx7设 若 ，求 。()()nfff 2()1xf()nfx21nxf第二节 极限2.1 内容总结1基本型： 型 ，“0落 必 达 法 则约 掉 “零 因 子 ”落 必 达 法 则同 除 分 母 最 高 阶 项型“2等价代换 当 时x，1)ln(arctrsintas
4、in xexaxln， ，l12o13重要极限（ ）1sinlm0xsinl )1(lim)(li10 exexxx 其他 )0(lian )1limnk1liaan 0liana极限不存在例： 0li;lili 1101xxxee4用泰勒公式求极限5用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2.2 例题基础题目一、 （ 型） ； “047lim9xx4二、 （ 型） ；“50235023694)16(94limxx三、 （等价代换）1 ；214lim2sn4li 2323 xxx2 5li)51l(li 2323 nnn（ ）xxl,si3 21lim1cosli)1(cosln
5、im1colni 0x20x0x0x 22 eex（注意 的处理。 ， 。 ）l“xcs4 123li123li)23(li 1n1nn nnn2llimlinn )l(lnaeaan5求130()limarcsixne原式1112000220 0 ln()()()lilimli()arcsin3()l lli li1xxxn nn n xeexxe xexxexxx 1limli)1(lim)ln(0)1ln(00 2)1(li21li)ln(i0020 eeee xxx li1li00xxxx ee56 求 20)1ln(cos(sari3limxxx 20 0arcsin1ri 3osl
6、i liml()(1s)l(n nx00arcin13lmlcos3()2i(1osinnxx四、幂指1)1sinl(talimsinlta2tan2 2li)(sil xxxx e xxxesinco1li)1(sintalim22 0silicol22exx2求 301li1x2cosln33 20 000coslncos1sin13limimilim(2co)6xxx xxxe x 3求 341sincos20li1xxxtdsinsin22200343430l11 sin()cos1imlmlmsincos2 co 330limxxx xtdtdxxxxteeee五、泰勒公式 61)(
7、!3lisinl 3030 xxox )(!2)(!421limcosli 440420 xxe oxx1)(!li 440 xxo6（注对泰勒公式只需熟悉 展开式）)1(,ln,cosi, xxex 六、夹逼定理与单调有界1 表示取整函数x2lim0解 1 当 时， ，x212)1(x，故li,2li00xx 2lim0x当 时， ，1x)1(，故2li,2lim00 xxxx 2li0x从而 li0x解 2 ， 表示小数部分x2limli00 xx2对于数列 ，已知 ， ，证明 。n0xnnx121 1limnx证：由归纳法易证， ，n又 ，即 当 时有下界121)(21nnn xxx n
8、x17同时 ，即 单减，从而 收敛。021)(211 nnn xxx nxnx设 ，对递推式取极限得 ，解得 ， （舍） 。anlim)(a1a注： 为两点递推式，写成 连续型函数，若 ，则)(1xf xfy0)(xf为单调数列，若 ，则 不是单调的，据此可以调整证明目标。nx0nx3求 _ 2limta4n4ennnnnn ee2tat2ta1ltllimi2ta1li2ta1li 4设 ， （ ）证明极限 存在并求极限1x1x,xli nxlim证明 ，假设 ，则 ，221nx112nnn即数列 单调增加，nx，假设 ，则 ，故112nnxnx由单调有界原理 存在，设 ，则 ，得nlima
9、li 2a即 =2nxli5. 已知 ， ， 。 （1）证明数列数列 收敛；（2）求121nnx,2 nx的极限值。nx解（1） ，由此可417.2,4.21,5.21,2 331 xxx见 ，设 ， ，1324,xx2312,nn21 212n nnx ，由 知 ， 收敛，令2 2211n nnx.5nx21nx2n， ；其中 ，limnxa2linb,.ab8由 ，有 （1）212nnx1ab由 ，有221nn由（1）-（2）得 ，解得 知 收敛，且极限是()0ababnx21专题训练类题目一、重要极限与幂指型极限例 1 21limcos1in0)sin1l(cos0cos120 022l
10、lim)in(lim eeexe xxxexxx x 例 2 ),(li02babxxx 222200 0111limlnlimn(1)lim(1)()0i xxx x xx abaababbxeeeeabbabxaxbaa xxxxxx 1ln21)lnlln2l(li1li)(1lim20020 例 3 )cos2ln(i1im100 )cos(iltt ttxxet2)sin2co(lim1sil 00 eetttt 二、等价代换例 1 )1ln(2i)(si)2ln(cosi 0ttxxx例 2 )23(lim)3(lim2 xxxx )12(li)13(lili xxxxx92)(1
11、lim31li xxx例 3 0)(2aann)1(li)(li 1212 nnnnaan l)(lim12三、反问题例 1 ，求 值2lieax解 原式 ，故 。21limexaxx1例 2 ，求 。0)(li236bx ,解 原式 ，由此，有1li2362xaxx 1a回代原式 1)(lim)(limli362363xbx xx0li62x例 3 已知 ，求常数 。301li2xaebba,由原式有 ，30()()1lim1xx即 30()()li 2xeba由罗比塔法则有 ，20(1)1lixeba10由分母极限为零，有 0lim(1)10xbeab再由罗比塔法则有 ，0()1li62x
12、xe由分母极限为零，有，因此0li(1)210xxbeb,ab例 4 ，求常数 。30sinlim()xbactd ,c解 当 时，分子 ，又 ，si0x故分母 ，3ln(1)xbt又 ，故积分极限为零，故 b=0，3l()0t，332000sincoscoslimlilim(1)(1)xxxbaaatd从而 a=1, 2c例 5 ，求 。)1,0(1)sin(lim0 aaxfx 20)(limxf解 当 时， ，故 ，sin(lf则 从而 sin)(xf，21ln)(imlsi)(1ilim2000 axffafxxx由此 。fn2)(l例 6 在 有二阶导数，且()fx0130()li1
13、xxfe，则 _， ，_， _. f()f()f11， 3)(1lnimeexfx3)(1ln(imxfx 0)(xf2(l0f0 0 4)f()f()f2.3 练习1. 求 （1）2 求 （ ）sin0limxe21limln()xx23求 （1）4.已知 ，求1402sili|xxe30()sili1xxfe（6）0li()xf5 设函数 在求 的某邻域内具有二阶连续导数，且()fx0。证明：存在唯一的一组实数 ，使得当 时，(),()0,()fff123,0h是比 高阶的无穷小。 （3，-3,1 ）123(0)hhf2h6求 21limtann 1e7 设数列 与 满足 ，则下列断言正确
14、的是xnyli0nxy（A）若 发散，则 必发散 （B）若 无界，则 必有界n nxny（C）若 有界，则 必为无穷小 （D ）若 为无穷小，则 必为无穷小 nxny1nn（D）8设数列 满足 ， ，n10x1si(,2)nnx（1）证明 存在并求之；（0） ；（2）求limn 21limnxn16()e9. 设 ， ， ，证明 存在并求此极限。0x12()nnx(,) lin2三、连续函数121定义： ，称 在 点连续。)(lim00xfx)(f0x)(fy（本质上 ）)(li)lixf2、问题分类1）讨论函数的连续性2）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（ ）)(lim)
15、lixf3、例题例 1 讨论 的连续性。nnxxf2li)(解 当 时，01|0| )1(lim1li)(2 222xxxf nnn考查 三点；（除以上三点外，函数连续）,； ， 为第一类间断点lim)(li211xfx 1)(lim)(li11xxf x；)(000xf是第一类间断点（可去间断）同法 ； ， 是第一类间断点。1)(li01fx 1)(lixf例 2 设 ，xtfsinxtilm)(讨论 的间断点及其类型。xf解 )(li)(sinsicolimsin|)l|(limsinlsi kxeetx xtxxtttt t在 点 ， 为可去间断点。0fx)0013在 点 kx),321
16、(不存在，xkxkxefsinlm)(li为第二类间断点（无穷间断点） 。例 3 设 0sin)(2xbaxf在 点连续，求 与 的关系。0x解 ， ，axf)(lim)(li20f)(bxbfxx00snli于 点连续，则 。)(a例 4设 ，0,1lim0,tan)(xtxxftt（1）求 的间断点并判别类型)(xf（2） 在下列哪个区间（1） ；)2,(（2） ；（3） （4） 内有界)0,(),(1（A） （1） （2） （B） （3） （4） （C） （1） （3） （D） （2） （4）解：(1) 时，xxftan)(间断点： 为第二类（无穷）间断点,k，为第一类（可去）间断点21
17、x时， ，011lim)( xxtxt ef14为第一类（跳跃）间断点1x时。 ， ，故 是第二类（无穷）间断点。01)(f)0(f0x（2）选（D）例 5函数 ，看到这0,4sin16,arcsi)ln()(23xxexf，问 为何值 在a)(xf（1） 连续；（2） 为可去间断点；00x（3） 为跳跃间断点；（4） 为第二类间断点。解： ，axfx 6arcsin)1l(im)(li 300 424sili)(li200 xefxx令 ，得 或 ，当 时，26a1a16)0()0(ff在 连续，当 时， ， 为x26)0(2)(0fff 2a可去间断点，当 或 为跳跃间断点，无第二类间断点
18、。1a例 6设 在 连续， ， ，证明：)(xf,00)(f 12)(lim1xf（1） 存在 ，使 ；)1,2()(f（2） 在 上最大值大于 1.)xf0证明：（1）由 及 在 连续，12)(lim1xf)(xf1,015得 1)2(f令 ， ，xfx)(021)(21f，0)(由连续函数介值定理知存在 使 ，)1,(即 ；)(f（2） 由 ，012lim1x由保号性定理知 时，)21,(),(有 ，故 在 上最大值大于 1。1)(xf)xf0例 7 证明 ，恰有三个实根93证 令 ，则 于 上连续，)(xf )(xf),而 ， ， ，013092f 01f27)4(f由零点存在定理 ，
19、， ，),3(1x),(2x)4,(3x使 0),0)(21 ffxf即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。例 8 设 在 上连续，且对 都)(xf,ba,bax使 ，证明在 上 。,1bax|)(|21|xf0)(f证： 在 上连续。则 有界，即 ，)(f,fM使 。Mx|又 ， 使 ，,ba,1|)(|21)(|xff故又 使 ，.2x |)(| 21xf16同理 ，使,baxnMxfxfnn21|)(|)(|0令 ，则有 。例 9 设 在 上连续，且 ，)(xf1,)1(0f证明 ，使 。,0)3(0xff证 设 ，)(xF假设
20、，则)(， ，0)31(0f 0)32(1)(fF)2(3fF相加 ，)1()(f与 矛盾，即 恒大于 0，不可能。)1(0fxF同理 （恒）也不可能，即 必有大于 0 的点，也有小于 0 的点，由连续x)(x性和介值定理， ，使 ，1,32,00即 。)1()0xff1. 求函数 的间断点并判别类型。xtxtfsinilm是 第一类（可去）间断点， ）是 第二类（无穷）0(x)(f ,21(k)(xf间断点）2. 函数 ，问函数 在 是否连续？若不连续，修改函1,1,2sin)l(co)(xxf)(xf1数在 处的定义，使之连续。3. 设函数 在 上有定义，且满足 ，如果 为连续函数，)(x
21、f),)(2xff)(xf证明 在 上位=为常数。17第二章一元函数微分学及其应用2.1 导数概念的三类问题一、 “分析”形式问题例 1 在 处可导，求 。)(xf0 hxffh )2()(lim00解 原式 xfh)(li 2)( 0000 xfff)(30xf例 2 可导， ， 。)f2a3)(f求 。nnaf)(1lim解 原式 naffafnfnnee1)(l)(lim)(l)1(li 。axf)(l 23)()(afxfa例 3 设 在 点可导，且 ，F00F求 。20tan)cos1(limxx分析： )0(21tancoscos1)0(lit02 FxxFx 例 4 设 有连续导
22、数，且 ，)(f )(f求 。)(lnsim0xfx分析：原式 10)(ln)(lsisin)0(li0 xffxffx18例 5 设 是周期为 5 的连续函数，且于 的某邻域)(xf 1x内满足 （*）)(8)sin1(3)sin1(fxf 其中 是当 时比 高阶无穷小量，且 于)(x0xf1处可导，求曲线于 点的切线方程。)6(,f分析：由(*)式，令 )06()1(ffx（凑定义）： xxffffsin)(8si)(3)n13i1令 ， ， 。08)1(4f 2)6(f切线方程： ， 。)(6XfY 012)6(0XYY例 6设 在 可导，则 )(xfaxaffx)(lim0 )(af例
23、 7 设对非零 有 ，且y,)(yff，求af)1(）0)(xf由已知可知 hffxfh)(lim)(0hxffxffhh )(1()li)(1li 00 xafxffh )()(lim0例 8 设 ，则在 处1)(li2afax（A） （B） 不存在0)f )(f19（C） 为极小值 （D） 为极大值 （D）)(af )(af例 9当 时， 是 的_几阶无穷小0xxetan（A）1 （B） 2 （C）3 （ D）4 （C）例 10 ，求)()2(1)(nf )0(f21 nxxx!)()(lim)0(li)0(ff xx 例 11设 ，则 在 可导的充要条件是ff（A） 存在；（ B） 存在
24、；20cosh)1(lihhef)1(li0(C) 存在 （D） 存在。20inlimfhffh2lim0)0(cos1cos1)(licos)1(li 2020 fffhh 20220 0sh)(limcosh1)(limlili) fhf fxfhx hefehf fxfh hhx )1(li1)(li )(li)li00 0 *例 12 函数 不可导点的个数为|)2()3xxf（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3 （C） |)1(|)()( xfxxff |)(|)1(2lim00201|)(|)(2lim)1(0xffx练习1. 设 在 的某邻域内连续， ，则在)(f 2cos
25、1)(lim0xfx处 （A）不可导， （B）可导且0x f（C）取得极大值 （D）取得极小值 （D）2.当 时，下列四个无穷小中，那一个是比其它三个更高阶的无穷小？（A） （B ） （C） （D） （D）2xxcos112xxtan二、 “隐式”导数问题例 1 在 点连续，且 ，求 。)(f03)(lim0fx )0(f解 ，由分母 ，则 （连续）3lim0xlix则 )()(li)(0fxff例 2 设曲线 在原点与 相切，fyxysin试求极限 。)(lim1nfn解 在 点两曲线相切， ，0x0sin)(f1|)(sixf。2)0(2)(lim)2(li1 fnffnfn练习已知曲线
26、在原点与 相切，求 （ ）()yfx1xye3lim()nf3例 3 求经过原点且与曲线 相切的直线方程。59设切点 ，59,0x21切线方程 )()5490200xxy将（0，0）带入方程，得 ，18解得 或 ，切点为 ，带入即可3x0 )53,1(),和例 4 求对数螺线 在点 处的切线方程er2,(er将极坐标方程化为为参数方程 ，点sincoyx),(2的直角坐标为 )2,0(、1sincoi22 edxy切线方程： x三、导数物理解释问题（速度，变化率） （相关变化率）例 1 有一底半径为 Rcm，高为 h 的锥形容器，现以Acm /s 的速率向容器内注水，试求当容器内水位上升到 时
27、，3 2h水面上升的速率和液面面积的变化率。解 设坐标系如图 yy dyhRdxv0202)1()(tttA2令 ，则 ；2hy2hydt224)1(/RAA22)1()(hRxSdtydtyst )1(2令 ，则 。hhARt 42222注：体会物理解释， “以 速率注水” ， “水面上升速度“sAcm/3Adtvdty“面积变化率“ dts例 2 一动点 P 在曲线 上运动。已知 P 点横坐标的249xy速率为 30cm/s。当 P 点运动到 点时，从原点到 P 点的距离),3(的变化率是多少？（设坐标轴长度单位为 1cm） 。解 方程 两边对 求导，得 ，249xytdtxty89。dt
28、y380记 ，则 ，对 求导，得SOP22yxtxdtttts 3802，)2(1yxd。scmts /8230435)4,3( 例 3 设雨滴为球状体，若雨滴聚集水分的速率与其表面积成正比。证明雨滴半径增加的速率为一常数。证 , ,则 。3RV2244Rkdtdtkdt例 4 一梯长 5m，它的一端沿直立墙下滑，另一端在地面上移动，假设其速率为 0.3m/s，当下端离墙 1.4m 时，问上端向下移动的速率是多少？取墙角为原点，地面为 轴，梯子在地面上移动的一端的x运动方程为 ，在墙上移动的一端的运动方程为)(tx )(ty，则由题意知 ，求 ， 满足方程3.0dtdty)(,t，上式两边对
29、求导得25)(2ytx 02dtytx即 )/(875.3.0415.)(24.14.1 smdtxdx 例 4 有一平底容器，其内侧是曲线 绕 轴旋转而成的旋转曲面，)(yx容器的底面圆的半径为 2m，根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体in/3时，液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体） ，求曲min/223面 的方程。 )(yx解： 时刻液面高度为 ，液体体积为 ，液面面积t)(tyydV02)()(，已知 )()(2ySdtStV,3 )(2)()32ytydtS即 ，解得2)0()(6yex62二、导数计算（的四个重点）重点掌握：隐函数求导（含二阶导数）
30、；分段函数求导；积分上限函数求导；参数方程所确定函数求导。1复合函数求导例 1 ，求 。xylnsi2dy解 ；xxxxd )ln1(2siln)1(l1coslsi 2 例 2 ， ，求 。23xfyartn)(f 0xdy解 ，2)(1fd0x 43)1arctn(3)1(2f例 3 ，求 。xfcos)( f解 法（1）方程两边对 求导 xxf 2sin)si(co。f4)(4法（2） ， ， 。xf2cs)(o 1s212xxf)(2隐含数求导例 1 ，求 。2lnartyy;解 ，两边对 求导得)l(ctxx 2211yxyx24整理 (1) (2)yxy yx(1)两边对 求导：
31、，21322 )(1yxyxyx例 2设 ，求 。eyx)0(解 令 得 ，方程两边对 求导： （1）0x0)1(yxeyx对（1）再求导得： （2）)1(2yeyx当 时 ， ，代入（2） ， 。xy )0(3参数方程求导, .)(tyxtxyd 32 ttttxyydx例 1. ，求 ， ， 。te2123y解 ， ， 。ttdxy2 ttedxy3221 tttedxy5234例 2 且 ，求 。)(tftfct2y解 ， 。ttfdxy)( )(12tfdx例 3设 是由方程组 所确定的函数，01sin3ytexy求 。02tdxy解 ，方程两边对 微分得1,3yx0cossin)26
32、(dytetdyey25从而 ， ， ， 。1sincoteyyt et0| )26(sin1(cotedxyy 2|0edtytxdt)(2 32)(i()costtyty 6sin1)6sin(coetee yytyy 将 代入得 。1,30xt dxt23|024绝对值函数与分段函数求导1设 ，则使 存在的最高阶导数|)(23f)(nf ?n解 0,4|323xxf由于 2lim)(li)0( 30ff xx 4li)(li)( 300 ff xx因而 ，从而)(f 0,6,12)(xf类似地可求得 ，以及0)(f ,12,4)(xf而 0limli)0(0xfff xx 4)(0因而
33、不存在。)(f可见， 存在的最高阶数为 。)(n 2n例 2设 在 0 点可导，求 之值。32)(xbaxf ba,解 要在 点连续，则0)()(fff26， ，则)0(3)2(lim)(li00 fxxfx baxfx )(lim)(li00 3，2li)li 200 ff xx，aff xx 00li(li)(由于在 可导，所以 2a5、积分上限求导，xadtfF)( )(fF， 。)(xG )()xfxxGduffufd00 ,(),(,例 1 ，求 。xdtfFln1)()(xF解 ，xtfln1)()( )1()(l)()( 2ln1 xfxfdtfxFx ；)()(ln)ln1ff
34、tfx例 2 连续 ，求 。(fxdttfF02)(xF解 令 ，utx2 xtxtfdtfF02202 )()(1)(1)(2 )x u；()()(2xff例 3设 由方程 确定，y012yude求（1） ；（2）过 点切线方程（3） 。0x02|xy解 在 ，对方程求导 （1）1,0yx )1()eyx27再求导 （2）0)1(22)(2)( yeyxexyx将 代入（1） ，,0|0x切线 ，将 代入得xey)(,0y1)(ey代入（2） ，得 ，2例 4 时， 与xxdtftF023)()(为等价无穷小，且 连续，求 。1sin50(f解 402254023 )(lim1sin)(li
35、mxdufutxxdtft xx xfxfuf xxx 8)(li4)(li8)(2li 2020302，14f)(f6关于高阶导数例 1 ，求 。xxf44sinco)()(fn解 ，x2cossi)(co222 。cs()(xxfnn例 2 ，求 。xytan1csoti22)(ny解 xx2si1sicsin33 )n(21)( yn例 4 ，求 。l2x)06(解 ，(43)1ln( xo)l(2xy )(12165xo28则 ，即 。)0(!61)(!41yf !641)(6注：1. 高阶导数直接用公式的已推广到 )1ln(,)(,cos,inbxexax例 5 已知 具有任意阶的导
36、数，且 ，)(xf )(2ff当 n 为大于 2 的正整数时，求 )(ny解： ， ，)(xff )(2)(23xffxf，故,33)( 42x )(!1)(xfn例 6 求函数 在 处的 n 阶导数)1ln()(2xxf0，)0(nf解 )(!)(!2)()0( nonxfxffxf ，)()1()1ln( 2232 nonx)l(2y )()(2143 nonx则 ，即 。1)0(!1nfn !2)0(1nfn2结合泰勒公式如 3，4 尤其 4 应注意。例 5、 三阶导数存在，求 ， 。)(xydyx32,x解 ，dx1322 1yyydxdx33。52621yy293 结合罗比塔法则例
37、6 设 其中 具有二阶连续导数， ，0cos)(xagxf )(xg1)0(g（1）求 的值使 连续;(2)求 ；（3）讨论 的连续性a)(f)(f )(f1） ，sinlimcosli00 gxgxgxx 2) ，2)co()()f 21)0(2cos)(lim2)0(sin)(lim0sli0 0 gxg xgxffx xx3) 2)cos(inlixgfx xx ins)(cs)(li )0(212o0 fgg在 上连续)(f),练习 1 设 可导， ，则 是 在 处可导的)(xf |)1ln(|)(xxfF0)(f)(xF0（A）充分必要条件 （B）充分条件但非必要条件（C） 必要条件
38、但非充分条件 （D ）即非充分也非必要条件 （A ）2.设函数 连续且 ，则存在 ，使得)(xf0)(f（A） 在 内单调增加 （B） 在 内单调减少,)(xf)0,（C）对任意 有 （D ）对任意 有 )(x)(fx)0(fx（C）3 设 其中 有二阶连续导数，且 ，(),0xgefx， ()gx()1g，求 ，并讨论 在 内的连续性。(0)1g()f()fx,)30（ 在 连续）2()(1),0()10,xxgef ， ()fx,)4 设 在 可导，则函数 在 不可导的充要条件是()fxa|()|fa（A） 且 （B） 且0()f ()0f()fa（C） 且 （D ） 且 （C ）()f5
39、 求 的 n 阶导数。 （ ）253yx 1()1!()2!2)nnnyxx三、微分中值定理与 Taylor 公式1内容小结1）费马引理： 在 点处取得极值，并且在 处可导，)(xf0 0x那么 。(0f2）罗尔定理： 满足（1）在闭区间 上连续；)(xf ,ba（2）在开区间 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，,ba即 ，那么在 内至少有一点 ，)(ff),( )(使得 。03）拉格朗日中值定理 满足（1）在闭区间 上)(xf ,ba连续；（2）在开区间 内可导，那么在 内至,ba)(少有一点 ，使 )()(ff4）柯西中值定理 满足（1）在闭区间 上连续；xf ,ba（2）在开区间 内可导；（3）对任一 ，),(ba)(x，那么在 内至少有一点 ，使)(xF0)()(Ffabf5）泰勒中值定理 含有 的某个开区间 内具xf0,b
