1、电磁场与电磁波复习资料填空题1梯度的物理意义为 描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向，等值面、方向导数与梯度的关系是空间某一点的梯度垂直过该点的等值面；梯度在某方向上的投影即为方向导数。2用方向余弦 写出直角坐标系中单位矢量 的表达式cos,cs leozyxl ee3某二维标量函数 ，则其梯度 = 梯度在正 方向的投影为xu2uyex2x-1 。4自由空间中一点电荷位于 ，场点位于 ，则点电荷的位置矢量为4,13S3,P，场点的位置矢量为 ，点电荷到zyxeS43 eyx2场点的距离矢量 为 。Rzyxe55矢量场 ，其散度为 3 ，矢量场 在点 处的大小eAzyx A2,1为 3
2、 。6直角坐标系下方向导数 的数学表达式 梯度的表达式lu cosscoszuyxu为 任意标量的梯度的旋度恒为 0 ，任意矢量的旋度的散度zyxeue恒为 0 。7矢量散度在直角坐标系的表达式为 在圆柱坐标系的表达式zAyxAdivZYX为 在球坐标系的表达式为zrArdivZ1)(8矢量微分运算符 在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的表达式分别为。zeyxe ze1sin1rer9高斯散度定理数学表达式为 ， 斯托克斯定理数学表达式为。10矢量通量的定义为：P16 页 1.4.2 节第三段第一句即定义散度的定义为 P17 页 1.4.3 节第二段即定义环流的定义为矢量场对于闭合曲线 C 的
3、环流定义为该矢量对闭合曲线 C 的线积分。旋度的定义为矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为 M 点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向11矢量的旋度在直角坐标系下的表达式为 。)(sin1)(is)(2 FrrFVSFdSCFlddzyxzyx xyzxyFeFe12矢量场 为无旋场的条件为 ，该矢量场是由 散度 源所产生。F0F13矢量场 为无散场的条件为 ，该矢量场是由 漩涡 源所产生。14电流连续性方程的微分形式为 。15在国际单位制中，电场强度的单位是 V/m（伏/ 米） ，电位移的单位是 C/m，磁场强度的单位是 A/m ，磁感应强度的单位是 特斯拉
4、，简称特（T） ，介电常数的单位是法拉/米(F/m)； ，磁导率的单位是 亨利每米（H /m） ，电导率的单位是 西门子/米（S/m） 。16在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量成 正 比，与场点到源点的距离平方成 反 比。17从宏观效应来看，物质对电磁场的响应可分为 极化 ， 磁化 ，传导 三种现象。18线性且各向同性媒质的本构关系方程是： ， ，EDHB。EJ19麦克斯韦方程组的微分形式是： ，tJHt， ， 。0BD20麦克斯韦方程组的积分形式是： ， Sl SdtDJd)(， ， 。SdtlElS0SBSQ21求解时变电磁场或解释一切宏观电磁现象的理论依据是 麦克斯韦方程组。2
5、2在两种媒质分界面的两侧，电场 的切向分量 0 ；磁场 的法EttE21 B向分量 0 ；电流密度 的法向分量 0 。nB21 JnJ23一般介质分界面的边界条件分别为 ， ， SttH2121tt 21nsnD2124两种理想介质分界面的边界条件分别是 2.7.13141516 ，理想介质与理想导体分界面的边界条件分别是 2.7.9101112。25静态场指 不随时间变化的场 ，静电场 、恒定电场 、恒定磁场；分别是由静止电荷、在导电媒质中恒定运动电荷 、恒定电流产生的。tJ26静电场的基本方程积分形式为： ， ；相应qdSD0ldSE的边界条件为： ， 。微分形式为：02t1tEn21，
6、。D27恒定电场的基本方程积分形式为： ， ；相应0dSJ0dlEC的边界条件为： ， 。微分形式为：2n1J2t1tEJ， 。0E28恒定磁场的基本方程积分形式为： ，SCdJlH 0dSB；相应的边界条件为： ， 。微分02n1BJHt2t1形式为： ， 。JH29理想导体（媒质 2）与空气（媒质 1）分界面上，电磁场的边界条件为：2.7.910111230电位满足的泊松方程为 ；在两种纯介质分界面上电位满足的边/2界条件为： 3.1.19 ， 3.1.20 。31在静电场中，电场强度 与电位 的微分关系为 ，积分关系为EE，电场强度的方向为 高 电位指向 低 电ld(p)参 考 点位。3
7、2对于时变电磁场，磁场 与矢量位 的关系为 ，电场强度BAAB与标量位 的关系为 。EtE33在磁场中，定义矢量位函数 的前提条件是 。 的散0A度定义为 ，这个条件叫洛仑兹规范。0tA34一般介质中电磁波的波动方程为 ，022tE。均匀平面波的波动方程为 5.1.12 ， 5.1.34022tH。35标量位函数的达朗贝尔方程为 ，矢量位函数的达朗贝尔22t方程为 。JtA2236时谐电磁场的亥姆霍兹方程组为公式 4.5.2137用电场矢量 、 表示的电场能量密度的公式为 。EDewDE2138空气中的电场强度 ，则其位移电流密度mVztex/2sin10 dJ。20/2cosmAztex39
8、磁场强度 ，其复数形式为 。ztHeycos zjmyeH40均匀平面电磁波在真空中的传播速度 ，则在 的电介质中scv/1038004传播时，传播速度为 m/s 。815.41均匀平面波在理想介质中传播时， 的相位与 的相位 同相位 。HE42沿 Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为 :)()( kzjymkzjxmyxeEe)()( kzjymkzjxmyxeeH43电磁波的极化是在空间任意给定点上，合成波电场强度矢量的大小和方向都可能随时间变化的现象。其三种基本形式分别为直线极化 、圆极化 、椭圆极化计算题：1矢量 ， ，求zyxeeA32zyxeB35（1） B（2）解：（1） zyx
9、e427（2） 103BA2标量场 ，在点 处zeyxz2,0,1P（1）求出其梯度的大小（2）求梯度的方向解：（1） zeyxezyxPe32梯度的大小： 14P（2）梯度的方向n1432zyxen3矢量函数 ，试求zxeyA2（1） （2）解：（1） yxzAAy2（2） 20xezyzeAzyx4某矢量函数为 yxeE2（1）试求其散度x23（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？解：（1）zEyxE12（2） 002yxzeEzyx可见，该矢量函数为无旋场，故它可能是某区域的电场强度。 5按要求完成下列题目（1）判断矢量函数 是否是某区域的磁通量密度？yxezB2（2
10、）如果是，求相应的电流分布。解：（1）根据散度的表达式zByxB将矢量函数 代入，显然有0故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （2）电流分布为：zxzyxeyeeBJ21010206矢量函数 ，试求zyxeA2（1） （2）若在 平面上有一边长为 2 的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量y穿过此正方形的通量。A解：（1）zAyxA12（2） 平面上面元矢量为 dxyeSz穿过此正方形的通量为10xySdA7放在坐标原点的点电荷在空间任一点 处产生的电场强度表达式为rreqE204（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。解:（1） zeyxrrer 303020由力线方程得dzyx对
11、上式积分得yCz21式中， 为任意常数。21,C（2）电力线如图所示。8一个点电荷 位于 处，另一个点电荷 位于 处，其中 。求q0,aq20,a0a（1） 求出空间任一点 处电位的表达式；zyx（2） 求出电场强度为零的点。解：（1）建立如图所示坐标空间任一点的电位1204rq其中， 1zyaxr222（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的 的左侧，q设位于 处，则在此处电场强度的大小为x22014axqE令上式等于零得221ax求得 39设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为 ，求l（1） 空间任一点处的电场强度；（2） 画出其电力线，并标出其方向。解（1）由电荷
12、的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向 ，在底面半径为 长度为rer的柱体表面使用高斯定理得：L002/LrLESdESdls 侧侧侧 可得空间任一点处的电场强度为：（2）其电力线如图所示10真空中均匀带电球体，其电荷密度为 ，半径为 ，试求a（1） 球内任一点的电位移矢量（2） 球外任一点的电场强度解：（1）作半径为 的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， r根据高斯定理，有324rDa（2）当 时，作半径为 的高斯球面，根据高斯定理，有arr324rD3电场强度为raE30 Izrelr0211设真空中无限长直导线电流为 ，沿 轴放置，如图所示。求Iz
13、（1）空间各处的磁感应强度 B（2）画出其磁力线，并标出其方向。解：（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心 任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为r沿柱面切向 ，由安培环路定律：eIrHldc2得： e于是空间各处的磁感应强度为：rIB200(2) 磁力线如图所示方向：与导线电流方向成右手螺旋。 12设半径为 的无限长圆柱内均匀地流动着强度为 的电流，设柱外为自由空间，求aI（1） 柱内离轴心 任一点处的磁场强度；r（2） 柱外离轴心 任一点处的磁感应强度。解（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心 任一点处的磁场强度大小处处相等，方向r为沿柱面切向 ，由安培环路定律：eIarHldc 2 整理
14、可得柱内离轴心 任一点处的磁场强度rIaeH2ar（2）柱外离轴心 任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向 ，由r e安培环路定律：IrBldc02ar整理可得柱内离轴心 任一点处的磁感应强度rIe2013海水的电导率为 4 S/m ，相对介电常数为 81 ，求频率为 1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为 其振幅值为传导电流的振幅值为故14真空中均匀带电球体，其电荷密度为 ，半径为 ，试求a（1） 球内任一点的电位移矢量（2） 球外任一点的电场强度解：（1）作半径为 的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， r
15、根据高斯定理，有324rDa（2）当 时，作半径为 的高斯球面，根据高斯定理，有arrmcosxEetd0rmsin()xDJeEt3dm0r4.51cmJE3dmc1.250324arD3电场强度为raE3015电偶极子电量为 ，正、负电荷间距为 ，沿 轴放置，中心位于原点，求qdz（1）求出空间任一点 P 处的电位表达式z,yx（2）画出其电力线。解：（1） 空间任一点 P 处的坐标为 z,yx则该点处的电位为：10204rqz,yx其中，2221/dzyxr（2）电力线图如图所示16同轴线内导体半径为 ，外导体半径为a，内、外导体间介质为空气，其间电压为b U（1）求 处的电场强度r（2
16、）求 处的电位移矢量ba解：零电位面00电力线（1） 导体内部没有电荷分布，故内导体内部 处ar的电场强度处处为零。 （2）设单位长内导体表面电荷密度为 ，由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电l场大小处处相等，方向为沿柱面径向 ，在底面半径为 长度为 的柱体表面使用高rerL斯定理得： 002/LrLESdESdls 侧侧侧 可得 任一点处的电场强度为：barelr02再由 abdrrdEUlbalbar n200得 任一点处的电位移矢量为：abrUeD/ln0017无限长同轴电缆内导体半径为 ，外导体的内、外半径分别为和 。电缆中有恒定电流流过（内导体上电流为 、外导体上电bc I流为
17、反方向的 ） ，设内、外导体间为空气，试求：I（1）求 处的磁场强度bra（2）求 处的磁场强度。c解：（1）由电流的对称性可知，柱内离轴心 任一点处的磁场强度大r小处处相等，方向为沿柱面切向 ，由安培环路定律：eIrHldc2bra可得同轴内外导体间离轴心 任一点处的磁场强度rIeH2bra（2） 区域同样利用安培环路定律cr此时环路内总的电流为零，即02Irldc处的磁场强度为cr0H18已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，内外导体间填充介电常数为 的均匀电介质，求同轴线单位长度的电容。解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内ll外导体间任一
18、点的电场强度为内外导体间的电位差 得同轴线单位长度的电容为19.如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。解 设长直导线中的电流为 I ，根据安培环路定理，得到 穿过三角形回路面积的磁通为由图中可知()2lEe1ddbblaaUln(/)2ba1(F/m)ln/C02Be0001ddd2dbzbSIIz ()tan(3)()z20一个位于 Z 轴上的长直导线，在其旁边放置一个矩形导线框，矩形线框与直线电流共面，位置参数和尺寸参数如图所示，求长直导线与矩形线框的互感系数 M。解：设长直导线中通过的电流为 I，根据安培环路定理，得： reB20穿过矩形回路面积的磁通为： abIhr
19、hdISdbaln2100则长直导线与矩形线框的互感系数为： abhIMln2021已知自由空间（参数为 ）中的磁场强度为,00，式中 均为常数。求该空间中的电场强度 和位mAkztHemx/cos kHm,E移电流密度 。dJ解 自由空间的传导电流密度为 0，故得22两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电S荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程dm2m()cossin()(A/)xyz
20、xxyyDeeHtHetkzktkzm00m1dsin()cos()V/yyDEtekHtkzkez21d()0,()xxb2(),()ax方程的解为 利用边界条件，有x=0 处x=a处 处x=b 处 012)()(sxb所以由此解得 , 0,)(101DabCS0202,bDaCSS最后得：23在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为jkzyxeEeE0043（1） 试写出其时间表达式；（2） 说明电磁波的传播方向处， 1122()xCD1(0)2a1222a0120()(),()(),Sxxbbaa 011()()()SxabExe022()()Sxa解：（1）该电场的时间表达式为： tjeEtzR,kEetzEyx cos43,00（2）由于相位因子为 ，其等相位面在 xoy 平面，传播方向为 z 轴方向。 jkz
