1、1高 等 数 学 期 末 复 习 指 导 （ 第 一 学 期 使 用 ） 卫 斌 教 授 编 写 惠 州 学 院 数 学 系 2高等数学（上）期末复习指导惠州学院数学系 卫 斌 教授 本学期我们学习了高等数学 （上册）的第一至第六章，内容为一元函数微积分学根据本科生对该课程的教学要求，按章编写了期末复习指导，供同学们复习时参考关于期末考试的说明：（1）期末总成绩分为两部分，平时成绩（作业、期中考试）占 30，期末考试成绩占 70（均以 100 分制，教务系统录入后，自动统计） 两项合计 60 分为及格，并取得相应学分，60 分以下为不及格，可随下一届同学在相应学期补考（2）考试题型为：一、填空
2、题（共 15 分，每小题 3 分） ； 二、单项选择题（共 15 分，每小题 3 分） ； 三、计算题（共 40 分） ； 四、应用题（共 12 分） ； 五、证明题（共 12 分） ； 六、综合题（共 6 分）.下面分章复习：考试大纲 第一章 函数与极限（25 分）编号 考点 分值 考试形式1 求定义域. 3 选择/填空2 极限存在与左、右极限之间的关系 6 选择/填空/计算/综合3 用极限的四则运算求极限 6 计算4 用两个重要极限求极限 6 计算5 讨论连续性、判别间断点的类型 6 选择/填空/计算6 无穷小、无穷小的阶 6 选择/填空/计算/证明7 等价无穷小替换求极限 6 计算8 最
3、值定理证明,会用介值定理讨论方程根的存在性 8 证明3（一）函数的概念函数是高等数学（微积分）的研究对象函数是两个数集之间的一种映射，或者说是一种对应规律 ,记作 .构成函数有三因素：定义域 ，对应规律:fDR(),yfxDD和值域；把前两者叫函数的两要素f【例 1】 （选择题）：设 ，则 （ ）.2(1)1fxx()fx； ； ； .2().A.B2.4c2().1Dx解 2()4()fxxx则 ，故选（A ） 2()4【例 2】 （填空题）已知函数 ，则 2(1)fx()fx令 ，即 ，那么 ，即 1xu221uu2()f【例 3】 （选择题）下列各对函数中（ ）中的两个函数相同； ；5(
4、),ln,()lnAfxgx2().ln,()lnBfxgx； 2.,C.,D解 （A）中 与 的定义域都是 ，且对应规律也相同()fx0x【例 4】 （选择题）设 为奇函数， 为偶函数，则复合函数（ ）是奇函()g数； ； ； ().fx().Bfx().Cfgx().Dgx解 设 ，则 .f ()f【例 5】若 是连续的奇函数，证明 是偶函数.()ft 0()xftd证 因为 是奇函数，故 ，记 ，由定积分的换元()ft()(ftft0()xFftd积分法知 0000()()()()(),tuxxxxdFffufuftFx 换 元 同 时 换 限4所以 是偶函数.0()xftd【例 6】
5、（填空题） 判断函数 的奇偶性 .cosinxye【例 7】 （填空题）函数 的定义域是 31lgar25x解0022 4031431 3535x xDxx或 或【例 8】 （填空题） 的定义域为 ，则 的定义域是 .()f0,(ln)fx（二）数列的极限1.数列极限的定量 定义：对 恒成立，()N,nNa则称数列 的极限是常数 ，记作 或 nxalimnxa,()nx2.收敛数列的性质 （见讲义）定理 14 3.数列收敛的判别定理：准则 夹逼准则准则 单调有界数列必有极限（三）函数的极限1.（ ）定义；X( )定义.（见讲义）2.左、右极限： ；000lim()li()lim()xxxfAf
6、fA3.极限的局部保号性变量（数列、函数） 的极限是 的描述性定义（定性定义）：ya变量 在其变化过程中，总有那么一个时刻 ， 变到这个时刻以后，会无限趋近y Ny于某个常数 ，即 与 之距 能任意小，并保持任意小，通俗讲：就是到了“要a多小有多小” ，就是“小到不能说” ，甚至到了“一说就不小了”的程度，但是 ，ya这时我们就说，变量 以常数 为极限，记作 .yalimya（四）无穷小与无穷大1.无穷小（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小量（2）无穷小的阶（比较）50,lim. 称 是 比 较 高 阶 的 无 穷 小 .记 作 ， 称 是 比 较 低 阶 的 无 穷 小c， 称 与 是 同
7、 阶 无 穷 小1， 称 与 是 等 价 无 穷 小（3）无穷小的运算性质（见讲义） 特别是：有界函数与无穷小之积为无穷小求极限时 时，可用无穷小替换，0 记住几个等价无穷小： sinxarcsinx tarct1el()2.无穷大：绝对值无限增大的变量叫无穷大.无穷小与无穷大的关系：非零无穷小的倒数为无穷大，反之，无穷大的倒数为无穷小.（五）两个重要极限第一个重要极限：是弦弧之比的极限，是 的未定式，它的标准形式是0“00()0sin()sinlmllm1sixxx第二个重要极限：是 的未定式，它的标准形式是“111() ()0() ()0li()lili)limx xx xxx xe 注意
8、：这里 ，即它们互为倒数111()()xx x（六）函数的连续性1.三个等价定义：其中 ，则称函数 在 点处连续00lim()xf()f0函数在区间连续的定义初等函数在其定义域内是连续的2.闭区间上连续函数的性质有界性 最值定理 零点定理3.函数的间断点及其分类 注意:求函数的极限时一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势.如各项的极限都存在（定式）时用四则运算法则即可求出它们的极限；如果遇到有理分式出现未定式时，可先消去不定因子后化为定式，然后求出极限，这叫求极限的初等方法（还可利用连续性和无穷小替换法及极限准则） ；对 型的未定式则使用罗必达法则 0“,【例 9】填空题：函数 的垂直渐近线
9、是 .32(1)xy6复习： ，则直线 是函数 的水平渐近线；lim()xfcyc()yfx，则直线 是函数 的垂直渐近线.cx解 ，故 为垂直渐近线.321li()x1【例 10】填空题：设 在 处连续，则 .24,()xfa2xa解 2222()lim()lilimli()4.xxxxf由于 在 处连续，即 ，即,fa()flixf.a【例 11】综合题： 确定常数 与 的值，使得函数 处处连续.ab1sin6,02()3),xfxab解 当 时， 和当 时 ，显然它们都是连续0xsin6()2xf01()xfx的，又 ，1100000silim()l3,lim()li)lim()bxxx
10、xxxf fbe当 时， ，要使 在 点也连续，则faf3ln3.bea【例 12】设 是在 时取非负的连续函数，试求常数 .()xc，在 上连续,0xfgec(,)解：显然 是分段点， .0)fglim()li(1,xxgec要使 在 上连续，需有,)0(cf因此 使得 .1)0(fc(),x【例 13】选择题：7若 则 是 的（ ）.21cosin,0()xfx()f可去间断点； 跳跃间断点；().A().B振荡间断点； 连续点.CD【例 14】单项选择题：当 时，下列变量中（ ）是无穷小量0x； ；sin().A1().sinBx； 1.xe .l解 为无穷小， ，即 为有界变量，因而它
11、们0limsn(x1sinx1sinx之积为无穷小） ，故选 .B【例 15】选择题：当 时， 是 的（ ）.0xsi2低阶无穷小； 高阶无穷小； 等价无穷小； 等阶非等价无穷小.().A().().C()D【例 16】单项选择题：设 在 处连续，则 ）.()x020lim(xtd； ； ； ().1.2B().().解 原式 ，故选 .0“ 20()limli()xx罗 法 C【例 17】填空题：要使函数 在 处连续，则需定义 1()xf0(0)f的值为 .解 0 01limlim(1)x xxx分 子 有 理 化 02lix计算题:【例 18】求极限 .sinlm2coxx8解 原式 （由
12、于 为无穷大， 为无穷小，“1sin1lm.co22xx分 子 分 母 同 除 x1x，即 为有界变量，故 为无穷小）sin1,cssi, sinco,【例 19】求极限 .0nlixtd解 原式 .（第一个重要极限）0“silm1x罗 法【例 20】求极限 20(arctn)li.1xxdt解 ，故原式220lim(arctn),limxxdt 0.【例 21】求极限 .1coslix解 原式0“2s2sinlimli.ncoxxx半 角 罗 法公 式或（ .cos212li lim)2snx x 【例 22】求极限 .31li()xx解 原式23“12limli().xxx e第 二 个
13、重 要 极 限【例 23】求极限 .1(2)3linn解 原式 1()lim.23nx9【例 24】求极限 .0ln(13)imta2x解 原式0“cosli.()x罗 法【例 25】求极限 20tanli.x解 注意到 ，则有 sin:0“222300 0tatasec1tan1limllimli.33xxxx罗 法【例 26】证明：函数 在（ ）之间至少有两个零点.4()f,证明 在闭区间 上连续，4()fx2,2)4160,()40f4(8f因此 ，由闭区间上连续函数的零点定理知)0,()2f，使得 即 在（ ）之间有两个零点.12(,12()0f()fx2,考试大纲 第二章 导数与微分
14、（15 分）编号 考点 分值 考试形式1 导数的定义式； 3 选择2 导数的几何意义-切线方程，法线方程； 3 填空3 连续与可导的关系，判定（已知可导或连续，求参数） ； 6 选择/计算4 反函数的求导； 6 选择/填空/计算5 复合函数的求导； 6 选择/填空/计算6 参数方程的情形下求一阶、二阶导数； 6 计算107 隐函数求导； 6 选择/填空/计算8 对数求导法； 6 填空/计算9 微分的计算； 6 填空/计算10 复合函数微分； 6 填空/计算11 微分在近似计算中的应用； 6 应用下面复习一元函数微分学微分学： （意为差的计算）diferntalcus（一）导数的概念1.函数在一
15、点的导数与导函数的定义00 00()()()limli limxx xfxffxyf（导数是函数的差与自变量的差之比的极限，即差商的极限，平均变化率的极限即变化率）由于函数在一点的导数是由极限定义的，函数在一点的极限有左右极限之分，同样函 数在一点的导数也有左、右导数之分左导数： 000()()limhfxffx右导数： x它们之间的关系是： 000()()fxAffA 函数在区间内的导数是点点可导，是一个函数，称导函数：0()limxdyffxyf一个点的导数 是导函数 在 处的函数值，即 0()f0 00()xdyf2.导数的几何意义与物理意义表示曲线 在点 处的切线的斜率0()fx()y
16、fx0,)y表示路线函数 在时刻 的瞬时速度ststt3.函数连续与可导的关系：函数 在点 可导，必连续，反之则不然举反例： 在 处连()yfx0 yx0续，但不可导因 为曲线尖点处无切线114.导数的四则运算法则(参见讲义 )5.导数的基本公式：16 个，背会，熟记(二)求导方法1.复合函数的求导法锁链法则：在搞清复合关系下，由外向内逐次对中间变量求 导，直至对自变量的求导为止，注意：要分步写，别漏层；2.反函数的导数原函数导数的倒数；3.参数方程 ，其中 为参变量或参数的一、二阶导数公式：(),xtyt； ()dtxx 23()().ytt4.隐函数求导法由方程 确定隐函数 ，求 有二种方
17、法：(,)0Fy()yxdy（1）求导法：方程两边对 求导，解出 （一般是 的函数） ；,x（2）利用一阶微分形式不变性：方程两边取微分，从中解出 . dy5.取对数求导法 适于：（）幂指函数 ， （）若干个幂的连乘、除.()xf（三）高阶导数，即一阶一阶导数求下去，并总结出一般规律.1()()nndyyx公式： .Leibz()()0nkkuvCuv（四）微分1.定义：函数 的微分是函数改变量 的线性主要部分，用微分（()yfxy）的第一个字母 表示： diferntald()Axfd2.可导与可微是等价关系： ，故导数也叫微商yx3.微分法则（参见讲义）4.一阶微分形式的不变性：不管 是自
18、变量还是中间变量，函数 的微分u()yfu总可以表为 的形式.()dyf【例 27】单项选择题：函数 在点（1，2）处的切线方程是（ ）.lnyx12； ；().1Ayx().1Byx； .CD【例 28】单项选择题：若 在 处可导，则有（ ）.()fx0；02().lim()hAfx；000()(ffB；().li ()hxhCfx000().ffD【例 29】填空题：曲线 在 处的切线方程为 .231xty【例 30】 过原点的切线方程为： .xye解 设切点的坐标为 过 的切线斜率为 由于点0(,)Py0(,)xy0(),xxke在曲线上，故 ，从而过点 的切线方程为：0(,)Pxye0
19、(,)P0()xy由于原点 在切线上，故代入上式得： ，(,)O000()1,xexye即切点为 ，于是所求切线方程为： ，即01Pe 1y.e【例 31】综合题：已知 ，讨论 在 点处的连续性与02,()xtedf()fx0可导性.解 右极限 0()limxtfe左极限 ， 又02x(0)f故 在 处连续.()fx右导数 0 0 00“()()limlilim)xt xx xedff e 罗 法 则 （左导数 ，又 0 02()()lilixxff ()f13故 在 处可导.()fx0【例 32】单项选择题：设函数 ，且 ，则 （ ）.(tan)kxfe()4fek； ； ； ().1A()
20、.1B.2C.D解 ， (tan)tcoskxkfex()fke已知 ，那么 ，故选 .4f 1,ek【例 33】单项选择题：下列凑微分等式中（ ）是正确的； ；2().sin(si)Axdx().()dxB； .1.lC 21.arctnDx【例 34】计算 的微分.（利用一阶微分形式不变性）2sinxye解 21si2()i)xddx 21sin1(i)(snxedx2 21 1sin sin2(i)cos()(i)co()x xe 21sin2i.xdx【例 35】 ，则2i()y22cosin()cs.yxx【例 36】 由 所确定，求 .f1e0解 根据隐函数求导法则，先求导函数方程
21、两边对 求导，得x（乘法法则）()ye解出 ， 时， 故 1yx01,y(0).e【例 37】 求 .2,解 22(1)xyx14223211()xyx【例 38】填空题：设函数 在 处可导，则 ，,()1fxaba. b解 由 在 处可导，即 ，又可导必连续，()fx1()ff所以 0(1,0)1,()f fab则 ab又 2111()()limlilim()2xxxff 11()lilixxabf a所以 ，又由 ，得2a.【例 39】设 ，求 .sinxy2xdy解 （利用一阶微分形式不变性）si()(i)dsinl2(xx sinlnco2()xd sincold2sin2l()0.x
22、dy【例 40】设 ，求2cox.dy解 2(lns)(lncos)(cos)2tan.yxdxdx【例 41】求由方程 所确定的隐函数 的导数.3xyay解 方程两边对 求导，得2x解出 .2()ayx【例 42】设 由方程 确定，求 .22(1)ln()0xyxy(0)y15解：方程 两边同时对 x 求导22(1)ln()0xyxy将 代入上式得 0,25().8【例 43】求由参数方程 所确定的函数 的导数 .14xty()yxdy解 221()8.()tdytxtt【例 44】设 ，求 .cosinRyt2dyx解 ctdx2 31(cot).sinsidRtt【例 45】设函数 是由
23、参数方程 所确定，求()y32l()xy2.dyx解 23()1,1dtttx2(65)1.ydttx【例 46】 ，求 .xy(0)dy解 法一 ln(l1),(ln1)xxed法二 取对数 ，化为隐函数ly两边对 求导，得 .xln1,(ln1)xxdyd【例 47】求 的导数 . cos(i)xy解 coslnislni(lsincots)xxeexx.【例 48】 ，求 .i()0yy)解 方程两边对 求导，得xsincosin()10xy 16解出 .cosin()iyxy【例 49】用微分代替增量，求 的近似值.310解 由近似公式： 00()()fxfxfx设 3 0(),.,(
24、)fx f11.0.)().33f或用近似公式： .nx考试大纲 第三章 中值定理与导数的应用（20 分）编号 考点 分值 考试形式1 罗 尔 (Rolle)定 理 6 证明2 拉 格 朗 日 (Lagrange)定 理 6 证明3 罗 必 达 (LHospital)法 则 求 不 定式 的 极 限 6 选择/填空/计算4 函 数 的 极 值 6 选择/填空/计算/证明5 函 数 的 单 调 性 6 选择/填空/计算/应用6 最 大 值 和 最 小 值 6 选择/填空/计算/综合7 描 绘 函 数 的 图 形 6 选择/填空/计算/证明（一）中值定理架起了函数与导数之间的桥梁，因与区间的中间点
25、有关，故叫中值定理 ，它由以下几个定理构成：（记住定理的条件和结论）.1. 定理；Role2. 中值定理；Lagrn3. 定理 .Cuchy17（二）罗 必 达 (LHospital)法则：未定式的定值法，求 型未定式的极限.0“,使用罗必达法则时注意：（）罗法则是说，如果导数比的极限存在，则函数比的极限存在，反之，不一定成立即，不是所有的未定式的极限都可用罗必达法则，法则不是万能的（）对未定式可以连续使用罗必达法则，但每步必须检验条件，不是未定式时，则改用其他方法求出极限.（）使用罗必达法则求未定式极限的过程中还要注意结合使用求极限的初等方法,以简化计算过程.（三）函数的性态1.用导数判断函
26、数的单调性；2.函数的极值与最值：（1）极值（局部概念）定义；（2）极值的必要条件：函数的极值点发生在驻点（一阶导函数为零的点）和导数不存在的点，合称“可疑点”上；（3）极值的充分条件一：一阶导数经过“可疑点”是否变号；极值的充分条件二：将驻点带入二阶导数，大于零为极小值点，小于零为极大值点；（4）求函数最值（整体概念）的应用题的步骤：先设变量，将问题化为一元函数的极值问题，令一阶导数为零，求出唯一驻点，根据实际问题的意义，唯一驻点为问题的极值点也是最值点，最后写出答.3.曲线的凹凸性与拐点：（1）曲线的凹凸是用曲线在切线上下方，即曲线的纵坐标与切线纵坐标比较大小来定 义的.判别：用二阶导数的
27、符号，大于零为凹，小于零为凸.（2）拐点：凹凸的分界点.4. 函数作图不做考试要求.【例 50】证明不等式： .ln,(0)xyxyx证明 取 在 上对 应用 中值定理，()l,f)fLagrne，使得,yx1ln()xyfxy由于 ，故 1(0)ln.xy【例 51】证明：当 时，有 .0x3sin6x18证明 设 ，3()sin6xfx则 2()co1(1cos)f x2()sinx当 时，显然有 （弧长 弦长） ，从而有 0xi2()sinx因此 ，于是 在 上单调上升，()f()fx0,这样便有 ，即有不等式 .(0,fxf3sin6x【例 52】证明题：设 在区间 上连续，在 内可导
28、，证明：在 内)f,ab(,)ab(,)ab至少存在一点 ，使()(.bfff证明 令 ，显然 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，()FxfFx, (,)由 中值定理知，至少 ，使得Lagrne(,)ab即(),bx ()().ffff【例 53】填空题：曲线 的拐点为 .21xy解 222()()xyx令 ，解得 23(1)0x11,()43y判别： 当 时， 当 时， ，,yx0则点 是曲线的拐点1(,)43【例 54】求曲线 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点.2xy19解 令 为驻点，列表讨论：（这里省略，考试必列）2101()xy单调增加区间是 ，单调减少区间是 ，极大值点是 ，,
29、 (,1)(,1x极小值点是 ；1x令2(3)03yx凹区间是 ，凸区间是 ，(,)(,)(,)(0,3三个拐点分别是 33,(0,.44【例 55】 a ， b 时，点 是曲线 32yaxb的拐点.1,)【例 56】单项选择题：函数 在区间（1，2）上是（ ）.2yx单调增加的； 单调减少的；().A()B先单调增，后单调减； 先单调减，后单调增.CD解 令 ，解得驻点 ，在（1，2）外240yxx，例如 (1,).5.,340xy可见，函数在（1，2）上是单调减少的，故选 .B【例 57】选择题：函数 在 内（ ）.arctnyx(,)单调增加； 单调减少；().A.非单调； 可能增加可能
30、减少.C()D【例 58】填空题：曲线 在区间 内是凹的，35yx曲线 在区间 内是凹的.e【例 59】单项选择题：下列命题中不正确的是（ ）.函数的极值点一定是驻点；()A若 ，则 存在；.B00)()fxf0lim()xf函数在 处可导，则一定在 处连续；().C20若在 上恒有 ，则 在右端点处达到最大值.().D,ab()0fx()fx【例 60】证明题：设 ，证明 有且仅有三个()123f()0f实根.证明 是初等函数，在 上连续，可导，从而在 上连续，可导，()fx(,3则分别在 上对 应用罗尔中值定理，得0,12,3)fx至少 ，使得()(,(2,，又 是三次方程，故它至多有三个
31、实根123()fff)0fx由上述 有且仅有三个实根.0x【例 61】应用题：求半径为 得球内接圆柱体的最大体积.R解 设圆柱体底半径为 ，高为 ，r2h则体积 2(),(V令 ，解得唯一驻点 230dh3Rh由实际问题意义，知此点为最大值点，答：当圆柱体底半径 时，有 .3R3max4V【例 62】应用题：已知某建筑机械厂生产 件产品的成本 2125040Cx（单位：元） ，试问：要使平均成本最小，应生产多少件产品？解 设平均成本为 ，则y， 于是问题化为求一元函数的最小值25040cxyx令 ，解得唯一驻点 舍去）21()10,(0x由实际问题意义，此点即为极小值点，也是最小值点答：当生产
32、 1000 件产品时，平均成本最小.【例 63】应用题：设矩形内接于椭圆 内，求使其面积为最大的矩形的2146xy边长.解 设矩形边长为 ，宽为2x224xyx则面积 ，于是问题化为求一元函数的最大值246sy21令 2224()6(4)60xxsx解得唯一驻点 舍去） ，由实际问题意义，它为极大值点，也是,x最大值点.答：内接于椭圆的矩形边长为 ，宽为 时，其 .23max42S【例 64】求 上的最大值和最小值.0()1)xFtdt,解： ,x1020 0(),(),651,(1)3ttFdFtdt故 最大值为 ，最小值为 .23考试大纲 第四章 不定积分（15 分）编号 考点 分值 考试
33、形式1 换元法求解不定积分 6 计算题2 分部积分法求解不定积分 6 计算题3 不定积分基本公式 3 选择/填空4特殊有理函数的积分（三角有理函数、可变量代换有理函数的无理函数）6 计算题在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算，导数的运算也有逆运算，这就是不定积分（属微分学范畴）（一）原函数与不定积分1.原函数： 或 ，则称 是 的一个原函数.()Fxf()dFxfd()Fxf（1）若 在某区间 上连续，则在 上 的原函数必存在.fII()（2）若 存在原函数，则它的原函数有无穷多个，且其不同的两个原函数之间仅()x22差一个常数.2.不定积分： 的全体原函数称为它的不定积分，记作 .()
34、fx ()()fxdFc（二）不定积分的性质1. 为非零常数） ；()(),kfdfk2. ；()xgxdgx3. ，或 ；()()ffd ()ffd（对 先积后微，作用互相抵消）x4. ，或 .()()Fc()dFxc（对 先微后积，结果只差任一常数）x可见，不定积分与微分互为逆运算（三）基本积分公式 公式（1）（15）.要求：熟记基本积分公式.特别是幂函数的积分公式： 时， 1,xdxclndxc和指数函数的积分公式： .lnxa不定积分的两大积分法：求不定积分是求导运算的逆运算，较困难这是因为，若函数存在导数，则根据导数的构造性定义（差商的极限）或应用求导公式，特别是对复合函数的链式法则
35、,由表及里总能算出它的导数.但计算函数的不定积分则不然，由于不定积分的定义是非构造性的，应用不定积分法则和公式只能计算出很少的、简单的函数的不定积分，对计算较多的复合函数和乘积函数的不定积分，要因函数的不同形式或不同类型而选用不同的方法.因此计算不定积分有较大的灵活性和技巧，没有一定的规律可循计算不定积分最基本、最常用的有两种积分法，这就是换元法和分部积分法，它们能将被积函数的表达式化繁为简，最后简化到能用不定积分表中公式进行计算.（四）换元积分法1.第一换元积分法（凑微分法）形式写法如下：()()()gxdfxdfxd()xufd令 换 元难积（积分表中无）将被积函数分为两因子乘积 将 与
36、dx 凑成微分 简单、易积.()(uxFcc 查 表 积 出 来 还 原23凑微分是相当灵活的方法，变化万千，要记住一些常用的凑微分式.2.第二换元积分法主要用于求解含有一、二次根式的积分.（不做考试要求）形式写法如下：.()()()xtdfftdttc 令 积 出 来换 元 1()1()txc用 反 函 数 还 原难积（积分表中无） 易积对含有一次根式（简单无理式）的积分 ，令(,)nRxabdx,nntbaxba对含有二次根式的积分， 用弦换 、 用切换 、2axsint2xatanx用割换 ，去掉根式，易于积分，最后用小三角形法还原2xsecxt（五）分部积分法适于求解含有 中任意两个相
37、乘的积分LIATE（其中 L对数函数，I反三角函数， A代数函数，T三角函数，E指数函数）公式的意义是：()()()fxduvxduvxvdu难积 将被积函数化为两因子乘积 将 与 dx 部分 后者易于积分凑成微分 dv（前者）分部积分法中，要使后者 vdu 的积分比前者 udv 的积分容易，才能达到化难为易，化繁为简的目的，为此 u、v 的恰当选择是关键，口诀是：三指进微多不变，对反不动多项变（即三角函数、指数函数进微分为 v,多项式不变为 u）（对数函数、反三角函数不动为 u，多项式进微分为 v ）在三角函数与指数函数乘积求积时，u、v 可任意选，但第二次积分时，u、v 应选同类函数，这时
38、积分会出现循环，通过移项，除以系数得原式的积分.【例 65】单项选择题：下列等式中正确的是（ ）.； ；()()()Adfxf().()dBfxfd； CDc【例 66】填空题：设 ，则 .22(sin)cos,(1)fxx ()fx解 2(si)1i,f f .2xfxdc24【例 67】选择题：若 的一个原函数是 ，那么 （ ）.()fxlnx()fx； ； ； 1().A.Be().C21.D【例 68】求不定积分 .cosxd解 原式 (in)insixxxeeed分 部 法s(cs)(co)csxed 这时出现循环，移项除 2，得原式 1(ino).2xex【例 69】求不定积分 3
39、sid解 由分部法：3332sin(co)ccosxdxxxd 233(sin)cosxx2 36sisin63ic6cxxx2snossin.【例 70】 .251xd解：2 222 25()515ln1.11xdxdxxc【例 71】求不定积分 .xe解 原式2()xtdttd令 换 元 22ttttedec分 部 法(1.txec还 原【例 72】求不定积分 3.x解 令 ，则23,xtdt252223133()3ln1()()ln1.2dxttdttcx【例 73】求不定积分 .2arct1x解 原式 322(rtn)(arct)dxdx 322)ttn1x 52ln()(arctn)
40、.x【例 74】F(x) 是 cos x 的一个原函数，F(0) = 0, 求 .dxF)(解 由 是 cos的一个原函数，得 ，又 ，所以()F()sinxc0inx， Cxxdd iocs(i.【例 75】已知 ，则 .()feln)f解 已知 ，xl(lx则 ln)().fdfdfcx考试大纲 第五章 定积分（20 分）编号 考点 分值 考试形式1 定积分的几何意义 6 选择/填空/应用2 积分上限的函数及其导数 6 选择/填空/计算/证明3 定积分的换元积分法 6 选择/填空/计算4 奇、偶函数在对称区间上的定积分； 6 选择/填空/计算/综合265 用换元法证明定积分等式 8 证明6
41、 定积分的分部积分法 6 计算7 无穷限的广义积分；无界函数的广义积分 6 选择/填空/计算/证明（一）定积分的概念在有限区间 上有界函数 的定积分（又称 黎曼积分）是特定构,ab()fxRieman造（经四步即：分割（化整为零）近似代替（局部以直代曲，以不变代变）求和（积零为整）取极限（由近似到精确）的和式的极限，又称高级和,记作 ， .01()lim()nb iafxdfx 1aiinx（二）定积分的性质（见讲义）（三）微积分基本定理1.变上限的定积分： .()xaftd原函数存在定理：若 在 上连续，则变上限的定积分是被积函数的一个原函f,b数，即 ()()(),.xadftfxab一般
42、地，若 连续， 在 内可导，且f,g,()xgFftd则 .)()fxg2.牛顿莱布尼兹公式 ,牛莱公式）(NL若 在 上连续， 为 的一个原函数，则()fx,ab)Fx(f()().baafda（四）定积分的换元积分法27()()().xtbdafftdt 令 换 元 同 时 需 换 限（五）定积分的分部积分法.bbaaudvu（六）几类特殊的积分公式1.若 是在对称区间 上的偶函数，则 ；()fx, 0()2()aafxdfx2.若 是在对称区间 上的奇函数，则 ；()f,a()af3.递推公式:(不做考试要求).2200(1)!,2sincos,!nnxdxd为 偶 数为 奇 数（七）广
43、义积分1.无穷限的广义积分（无穷积分）（1） ；()lim()baafxdfxd（2） ；()li()bbaff（3） .li()li()ccbacfxdfxd若上述各式右端的极限存在，则对应的广义积分收敛，否则该广义积分发散2.无界函数的广义积分（瑕积分）（1） ；0()lim(),bbaafxdfxd ()afx+为 瑕 点 ， 即 当 x时 ，（2） ；0()li(),bbaaff ()bf为 瑕 点 ， 即 当 时 ，（3）110()li()cbaafxdfxd220li().bcfxd若上述右端的极限存在，则对应的广义积分收敛，否则该广义积分发散.28【例 76】填空题：设 ，则 .
44、()btxGed()x设 ，则 .20()t()【例 77】单项选择题：已知 是 内的连续函数，且()fx,)311()()xxftdt恒成立，则必有 （ ）.()t； ；3.Af 2().)(Bftft； .2()Ct 3D【例 78】填空题：积分 0 .（对称区间上奇函128sinxd524sin1xd数的积分为零）.【例 79】 = .1lnexd解 原式 2.e【例 80】计算积分 .1lnxd解 原式 33322211l()(ln)e exxd分 部 法 33332222144.99e 【例 81】若 在 上连续，证明：()fx0,00(sin)(sin).xfdfxd证明 由定积分的换元法 换元：令 ，,tt换限： x0(sin)xfd0 00()sin()(sin)(sin)tftdftdtfdt这时出现循环，移项除 ，证得 200(i)(i).2xffx29【例 82】计算 .21xed解 原式 .2222(
