1、1.5 因式分解定理,问题的引入,因式分解与多项式系数所在数域有关。,的因式分解？,（在 上）,（在 上）,（在 上）,一、不可约多项式,定义1 设 且 若 不能,不能表示成数域 上两个次数比 低的多项,乘积，则称 为数域 上的不可约多项式.,否则，称 为数域 上的可约多项式.,1、定义,说明：, 一个多项式是否不可约依赖于系数域., (不)可约多项式前提是次数大等于1.,问题：数域 上，不是不可约的多项式是否必是 可约多项式？,(), 一次多项式总是不可约多项式.,上多项式,常值多项式,零多项式,非零常值多项式，即零次多项式,次数大等1,不可约多项式,可约多项式,证:,假设 在 上可约,则存
2、在,使 其中,令 ,则,其中 且,这与 在 上不可约矛盾.故 在 上不可约.,2、性质,在 上不可约,必有 或,则,思考: 对于次数大等于1的多项式 ,命题2,3的 逆命题是否成立.,二、因式分解及唯一性定理,若 ,则 可,唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积.,所谓唯一性是说，若有两个分解式,定理1,则 ，且适当排列因式的次序后，有,其中 是一些非零常数,标准分解式,若 ,则 总可表成,其中 为 的首项系数, 为互不相同的,首项系数为1的不可约多项式，,称之为,的标准分解式.,说明:, 若已知两个多项式 的标准分解式,则可直接写出, 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，,但并未给出一个具体的分解多项式的方法,实际上,对于一般的情形普通可行的分解,多项式的方法是不存在的.而且在有理数域上,多项式的可约性的判定都是非常复杂的.,例2 若,则有,其中 且 为互不相同的,首1不可约多项式,其中,其中,
