1、 1儒洋教育学科教师辅导讲义课 题 锐角三角比的意义教学目标1、理解锐角的正切、余切、正弦、余弦的概念；2、能正确使用锐角的正切、余切、正弦、余弦的符号语言；3、培养观察、归纳、总结数学问题的能力。教学内容一、新课讲解：1、操作：（1）任作锐角BAC。（2）在 AB 上任取 B1、B 2、B 3，分别过 B1、B 2、B 3作 AC 的垂线。垂足为 C1、C 2、C 3。（3）量出 B1C1和 AC1，B 2C2和 AC2，B 3C3和 AC3的长度，并计算出 ， ， 的值。1BA232、探究：由以上操作可得到： RtAB 1C1、RtAB 2C2、RtAB 3C3。显然有 BC/B1C1/B
2、2C2/B3C3，于是可得： 123BA3、结论：在放大和缩小时，当锐角 A 的大小固定不变后，无论 RtABC 的边长怎么变化，两条直角边的比值总是不变的。大写字母 C 表示 RtABC 的直角，小写字母 a 表示A 的对边，b 表示B 的对边，c 表示斜边。 （如上图）同理，通过分析可知在放大和缩小时，当锐角 A 的大小固定不变后，无论 RtABC 的边长怎么变化，直角边与斜边的比值总是不变的。二、知识要点：锐角 A 的对边（BC）与邻边（AC）的比叫做锐角 A 的正切，记作 tanA。如图 RtABC 中，C=90 0， baCB的 邻 边锐 角 的 对 边锐 角tan锐角 A 的邻边（
3、AC）与对边（BC）的比叫做锐角 A 的余切，记作 cotA。如图 RtABC 中，C=90 0， aB的 对 边锐 角 的 邻 边锐 角cot锐角 A 的对边（BC）与斜边（AB）的比叫做锐角 A 的正弦，记作 sinA。C BC1B3B2B1C3C2AbacA CB2如图 RtABC 中，C=90 0， caABCA的 斜 边锐 角 的 对 边锐 角sin锐角 A 的对边（BC）与斜边（AB）的比叫做锐角 A 的余弦，记作 cosA。如图 RtABC 中，C=90 0， cb的 斜 边锐 角 的 邻 边锐 角cos在直角三角形中，锐角 A 的正切（tanA） 、余切（cotA） 、正弦（s
4、inA） 、余弦（cosA）统称为锐角 A 的三角比，简称三角比。注意：定义中应该注意的几个问题:1、sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的，A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2、sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示A 的正切，习惯省去“”号.3、sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均0，无单位.4、sinA,cosA,tanA, 的大小只与A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5、角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.三、例题讲解：例 1、 （1）在ABC 中
5、，C=90，AB=17,BC=8，求 sinA、cosA、sinB、cosB？（2）在ABC 中，C=90，BC=6， ，求AB 的长；sinB、tanA、tanB？ 43sinA（3）若 为锐角，且 ，求 sin 、cos 、cot ？21tan相关练习：1、求出图 64 所示的 RtABC 中的 sinA、sinB 和 cosA、cosB 的值32、RtABC 中，C=90 0，AC=12，BC=5，求：tanA，cotA，sinA，cosA 的值。3、RtABC 中，C=90 0，AB=9，AC=7，求：tanB，cotA，sinA，cosB 的值。例 2：在 RtABC 中，C=90，
6、AC=12，BC=7，求:(1) tanA 和 tanB 的值 （2）cotA 和 cotB 的值结论：同一锐角的正切与余切互为倒数，即： 或 1tanA=cottancotA1两个互余的锐角中，一锐角的正切等于它的余角的余切。即：若A+B=90，那么 tanA=cotB，tanB=cotA思考：A 为锐角，则 sinA、cosA、tanA、cotA 的值的范围。相关练习：1、如图：RtABC 中，C=90 0，CDAB，CD=3，AC=5，求 tanA，cotB，sinACD，cosBCD 的值。42、如图：RtABC 中，ACB=90 0，CDAB，AC=5，BC=3，求 tanA，cot
7、B，sinACD，cosBCD 的值。例 3：已知在直角坐标系内有一点 P（2，3） ，求 OP 与 x 轴的正半轴的夹角为 ，求 的四个三角比的值？ 相关练习：1、直线 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，求 ABO 的正弦.43y2、已知 的顶点在坐标原点，始边在 轴的正半轴上，点 P 在 的终边上，如果 ，且 P 点横坐x2tan标为 2，求 P 点到原点的距离.3、在菱形 ABCD 中，对角线 AC 的长为 10，面积为 30，求 的值ABC21tan5例 4：在 RtABC 中，C=90，且 CDAB，AB=13，BC=5，求 的值CDAB相关练习：1、已知 是锐角， ，求21sin
8、1cotan2、在 RtABC 中，若C=90，CDAB，垂足为 D，而且 AB：CD=4： ，求 tanB33、在直角三角形中，如果有一个锐角的正切值是 ，求这个直角三角形的三边之比524、已知方程 的两根分别为 和 ，且 是锐角，求 与 的值0132mxx sincotan1costsim65. 在 RtABC 中，两边的长分别为 3 和 4，求最小角的正弦值6如图，在菱形 ABCD 中，AEBC 于 E 点，EC1，sinB .求四边形 ABCD 的周长。1357.已知：如图，在ABC 中，AD 是边 BC 上的高，E 为边 AC的中点，BC 14，AD 12，sinB ，45求：（1）
9、线段 DC 的长；（2）tanEDC 的值8.如图，在 RtABC 中，C90，D 为 BC 上一点，DAC30，BD2，AB2 ，求 AC的长3 ADC B7四、课堂练习：1、ABC 中，C=90 ，根据范例填空：范例：A 的正弦=sinA= ABCA 的 _=cosA=_；B 的_=_= ,B 的正弦=_=_.2、ABC 中，C=90 ，设 A、 B、C 的对边分别是 a、 b、 c，A 的三角比（用 a、 b、 c表示）：sinA=_ cosA=_ tanA=_ cotA=_ B 的三角比：sinB=_cosB=_tanB=_cotB=_3、RtABC 中， C=90，AB=2，BC=1
10、，则 AC=_，sinA=_，cosB=_， cosA=_，sinB=_，tanA=_，cotB=_.4、如图，C=90，BC=x ，AC= y，则 sinA=_ .5、RtABC 中， A=90，BC=6，AB= ，sinB=_，cosB=_.36、如图，ABC 中， C=90，AC=x-1，AB=2x -5，cosA= ，求 x .547、 （1）在 RtABC 中，斜边 AB 是直角边 BC 的 4 倍，求 。 Atan（2）在 RtABC 中，C= 90，若 c:a=3:2，求 。B（3）在ABC 中， AC=2，AB= ，BC=4，求 。32CtA CB1A CB2cbaA CB4y
11、x A CB688、在ABC 中，C90，cosB= ,AC10，求ABC 的周长和斜边 AB 边上的高。132五、课后练习：1、在 RtABC 中，C90，AC1，BC ，则 sinA_，cosB=_,cosA=_,sinB=_.32、如图，在 RtABC 中，C90，BC9a，AC12a，AB15a，tanB=_,cosB=_,sinB=_ 3、在ABC 中，若 AC= 2，BC= 7，AB=3，则 cosA=_4、在ABC 中，C=90，BC=3，AC=4，则 tanA=_，sinA=_，cosA=_5、在 RtABC 中，C=90，CDAB 于 D，AC=5，sinA= 125，则 B
12、C=_，CD=_6、ABC 中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，则 cosAtanA=_7、若三角形三边长的比为 5：12：13，则此三角形最小内角的正切值为_8、在ABC 中，C=90， ,则 tanB= ABC329、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC=6，BD=8，ABD=，则 tan=_， sin=_， cos=_910、根据图示填空（1） )()(sin BCA（2） BDD)(cos,)(co （3） )()(tan,)(tan ACAC11、RtABC 中，各边长度都扩大两倍，那么锐角 A 的各三角函数值（ ）A都扩大两倍 B都缩小两倍 C保持不变 D无法确定12、如图
13、，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，BC=3，AC=4，设BCD=，则 tan 的值为（ ）A 34 B C 35 D 413、在 RtABC 中，已知C=90，周长为 60cm，tanB= 125，则ABC 的面积是（ ）A30cm 2 B60cm 2 C120cm 2 D240cm 214、如图，在直角ABC 中，C90 o，若 AB5，AC4，则 sinA（ ）A B C D35 45 34 4315、在ABC 中，C=90，BC=2，sinA= ，则边 AC 的长是( )23A B3 C D 1343 516、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin 的值是 A B C D4 417、 （1）化简： （2）若 为锐角，sin= ，求 cos 和 tan1sin2i31 C B A 1018、 （1）在 RtABC 中，C90，tanA ，AB10，求 BC 和 cosB。43（2）在 RtABC 中，ACBC，C90，求 cosA；当 AB4 时，求 BC 的长。19、等腰三角形周长为 16，一边长为 6，求底角的余弦值。
