1、复变函数论试题库复变函数考试试题（一）一、 判断题（20 分）：1.若 f(z)在 z0的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 收敛，则 与 都收敛. ( ) nRenzImn4.若 f(z)在区域 D 内解析，且 ，则 （常数）. ( ) 0)(f Czf)(5.若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是 的 m 阶零点，则 z0是 1/ 的 m 阶极点. ( ) )(f )(f7.若 存在且有限，则 z0是函数 f(z)的可去奇点. ( ) li0z8.若函数 f(
2、z)在是区域 D 内的单叶函数，则 . ( ) )(0)Dzf9. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C .0df( )10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.（ ）二.填空题（20 分）1、 _.（ 为自然数）1| 00)(znzdn2. _.22cossin3.函数 的周期为_.z4.设 ，则 的孤立奇点有_.1)(2f)(zf5.幂级数 的收敛半径为_.0nz6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若 ，则 _.nzlimnzzn.li218. _，其中 n 为自然数.)0,(Renzs
3、9. 的孤立奇点为_ .zi10.若 是 的极点，则 .0)(f_)(lim0zfz三.计算题（40 分）：1. 设 ，求 在 内的罗朗展式.)2(1)(zzf )(zf 1|0:zD2. .cos1|zd3. 设 ，其中 ，试求Czf173)(2 3|:zC).1(if4. 求复数 的实部与虚部.w四. 证明题.(20 分)1. 函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常数，那么它在 内(zfD|)(|zfD为常数.2. 试证 : 在割去线段 的 平面内能分出两个单值解析分支, ()1)fz0Re1并求出支割线 上岸取正值的那支在 的值.0Rez复变函数考试试题（二）一. 判断题.（20
4、 分）1. 若函数 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续.),(),()yxivuzf( )2. cos z 与 sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点，则 一定不存在 . ( )(lim0fz6. 若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 解析. ( ) 7. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C .0)(dzf( )8. 若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )nRenzInz
5、9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)| 也在 D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数 f(z)使 且 . ( )0)1,21,)2(nf二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则i_,arg_,|2.设 ，则 _.Ciyxzyxixyzf )sn(1)2() 2 )(lim1zfz3. _.（ 为自然数） 1| 00)(znzd4. 幂级数 的收敛半径为_ .0n5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m0，则 z0 是 的_零点.)(f6. 函数 ez的周期为 _. 7. 方程 在单位圆内的零点个数为_.083258. 设 ，则 的孤立奇点有_.21)(zf
6、)(zf9. 函数 的不解析点之集为_.|10. ._),(Res4z三. 计算题. (40 分)1. 求函数 的幂级数展开式.2sin(32. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的z点及右沿的点 处的值.i3. 计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）izId| 1|z的右半圆.4. 求 dzz22)(sin.四. 证明题. (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 在)(zfD 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）一. 判断题. (
7、20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 . ( )k22. 若 f(z)在 z0处满足柯西-黎曼条件, 则 f(z)在 z0解析. ( )3. 若函数 f(z)在 z0处解析，则 f(z)在 z0连续. ( ) 4. 若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )nRenImn5. 若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f(z)在区域 D 内为常数. ( )6. 若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数 f(z)在 上解析,且 ,则1|:1|)|zf. （ 1|)(|f）8. 若函数 f(z)在 z0
8、处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若 z0是 的 m 阶零点, 则 z0是 1/ 的 m 阶极点. ( )(zf10. 若 是 的可去奇点，则 . ( )f 0,Res二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则 f(z)的定义域为_.1(2zf2. 函数 ez的周期为_.3. 若 ，则 _.nni)(nlim4. _.z22cosi5. _.（ 为自然数）1| 00)(zndn6. 幂级数 的收敛半径为_.0nx7. 设 ，则 f(z)的孤立奇点有_.1)(2zf8. 设 ，则 .e_9. 若 是 的极点，则 .0)(f _)(lim0fz10. .,Resnz三.
9、 计算题. (40 分)1. 将函数 在圆环域 内展为 Laurent 级数.12()zfe0z2. 试求幂级数 的收敛半径.n!3. 算下列积分： ，其中 是 . Cze)9(d21|z4. 求 在| z|1 内根的个数 .08269 zz四. 证明题. (20 分)1. 函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常数，那么(fD|)(|fD它在 内为常数.2. 设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个正数 R 及)zfM，使得当 时R|，nzMf|)(|证明 是一个至多 n 次的多项式或一常数。)(zf复变函数考试试题（四）一. 判断题. (20 分)1. 若 f(z)在
10、z0 解析，则 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件. （ ）2. 若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 解析. （ ）3. 函数 与 在整个复平面内有界. （ ）sinco4. 若 f(z)在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 .0)(dzf（ ）5. 若 存在且有限，则 z0 是函数的可去奇点 . （ ）)(lim0zfz6. 若函数 f(z)在区域 D 内解析且 ，则 f(z)在 D 内恒为常数. （ ）)(f7. 如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 一定不存在. （ ）lim0z8. 若 ，则 为 的 n 阶零点. （ )(,n)(zf）9.
11、若 与 在 内解析，且在 内一小弧段上相等，则zfg. （ Dzf),(）10. 若 在 内解析，则|0z. （ ),(Res),(esff）二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则 .iz1_Im,z2. 若 ，则 _.nlimnzn.li213. 函数 ez的周期为 _.4. 函数 的幂级数展开式为_2)(f5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_.7. 设 ，则 .1|:C_)Cdz8. 的孤立奇点为_.zsin9. 若 是 的极点，则 .0)(f _)(lim0zfz10. _.),(R
12、esnz三. 计算题. (40 分)1. 解方程 013z.2. 设 ，求)(2zef ).,(Rzfs3. . )(9(2| 2z di4. 函数 zez1有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）()f.四. 证明题. (20 分)1. 证明：若函数 在上半平面解析，则函数 在下半平面解析.f )(zf2. 证明 方程在 内仅有 3 个根.0364z2|1z复变函数考试试题（五）一. 判断题.（20 分）1. 若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数. （ ）2. 若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等
13、于常数. （ ）3. 若 f(z)在区域 D 内解析，则| f(z)|也在 D 内解析. （ ）4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ）5. 若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0 解析. （ ）6. 若 存在且有限，则 z0 是 f(z)的可去奇点 . （ lim0fz）7. 若函数 f(z)在 z0 可导，则它在该点解析. （ ）8. 设函数 在复平面上解析，若它有界，则必 为常数. （ )(zf）9. 若 是 的一级极点，则0z)(f. （ )(lim,Res000zfz）10. 若 与 在 内解析，且在 内
14、一小弧段上相等，则)fgD. （ zf,()）二. 填空题.（20 分）1. 设 ，则 .iz31_,ar_,| z2. 当 时， 为实数._ze3. 设 ，则 .z4. 的周期为_.e5. 设 ，则 .1|:zC_)(Cdz6. .)0,(Res7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。8. 函数 的幂级数展开式为_.21f9. 的孤立奇点为_.zsin10. 设 C 是以为 a 心，r 为半径的圆周，则 .（ 为自_)(1Cndzan然数）三. 计算题. (40 分)1. 求复数 的实部与虚部.1z2. 计算积分：，zILdRe在这里 L 表示连
15、接原点到 的直线段.1i3. 求积分： ，其中 0a1.I202cosa4. 应用儒歇定理求方程 ，在|z| 1 内根的个数，在这里 在)(z)(z上解析，并且 .1|z1|四. 证明题. (20 分)1. 证明函数 除去在 外，处处不可微.2|(zf02. 设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个数 R 及M，使得当 时R|，nzMf|)(|证明: 是一个至多 n 次的多项式或一常数.)(zf复变函数考试试题（一）参考答案一 判断题12 6 10二填空题1. ； 2. 1； 3. ， ； 4. ； 5. 120in2k()zzi6. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 1
16、0. .(1)!n三计算题.1. 解 因为 所以01,z0z.1()(2)()2f001()2nnzz2. 解 因为 ,222 1Re()limlicossnzzzsf.222e()lili1csszzzsf所以 .2221(Re)()0ozzzdiff3. 解 令 , 则它在 平面解析, 由柯西公式有在 内,()37 3z.()()2()cfzdzi所以 .11(36)2(13)zii ii4. 解 令 , 则zab.2222()()()abiabw故 , .21(1)Re()z2Im()(1zb四. 证明题.1. 证明 设在 内 .D()fzC令 .22(),fzuivuvc则两边分别对
17、求偏导数, 得 xy0(1)xy因为函数在 内解析, 所以 . 代入 (2) 则上述方程组变为D,xxuv. 消去 得, .0xuvx2()0x1) 若 , 则 为常数.2)fz2) 若 , 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .0xvCR0,xuy0yv所以 . ( 为常数).12uc12,c所以 为常数.()fzi2. 证明 的支点为 . 于是割去线段 的 平面内变点就0,z0Re1z不可能单绕 0 或 1 转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当 从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有 的幅角增加 . 所以z 1z的幅角共增加 . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认
18、为该分()f2支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在 的幅角为 , 故 .1z22(1)ife复变函数考试试题（二）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题1.1， ， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .2i3(1sin2)0in1m6. ， . 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.ki()ziR三. 计算题1. 解 .3212163300()()sin(2)!nnnzzz2. 解 令 .ire则 .2(),(,1)kifz又因为在正实轴去正实值，所以 .0所以 .4()ife3. 单位圆的右半圆周为 , .iz2所以 .22i iizdei4. 解 zz22)(sin
19、2)(sinz2coszi=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令 ,则 . ( 为实常数).12(fzci12()fi1,令 . 则 .1,)uxycv0xyxuv即 满足 , 且 连续, 故 在 内解析CRxyfzD(充分性) 令 , 则 ,(fzui()fzi因为 与 在 内解析, 所以)D, 且 .,xyxuv(),()xyyxxuvuv比较等式两边得 . 从而在 内 均为常数,故 在 内为常数.0y D()fzD2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个n110nnazazan根”.证明 令 , 取 , 当101()nnfz10mxnR在 上时, 有 z:CR.1 1110()
20、()n nnnnaaaa .)fz由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相z101nnzz0naz同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此 次方程在 0nR R内有 个根.n复变函数考试试题（三）参考答案一. 判断题1 6 10.二.填空题.1. ; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;,zizC且 2()kiz1ei210in6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .ik()!三. 计算题.1. 解 .1 22201()!nz zez2. 解 .11( 1limlilim()li()nnnnnc e 所以收敛半径为 .e3. 解 令 , 则 .2()9)zf200Re(9z
21、zesf故原式 .0Re(ziisf4. 解 令 , . 962()fz()8z则在 上 均解析, 且 , 故由儒歇定理有:C1()f与 ()6()8fz. 即在 内, 方程只有一个根.,1NfC四. 证明题.1. 证明 证明 设在 内 .D()fz令 .22(),fzuivuvc则两边分别对 求偏导数, 得 xy0(1)xy因为函数在 内解析, 所以 . 代入 (2) 则上述方程组变为D,xxuv. 消去 得, .0xuvx2()0x1) , 则 为常数.20uv()0fz2) 若 , 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .x .CR0,xuy0yv所以 . ( 为常数).12cv12,
22、c所以 为常数.()fzi2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .rRkn() 1!()!02nkkkzrfMrf dz于是由 的任意性知对一切 均有 .()f故 , 即 是一个至多 次多项式或常数.0()nkfzc()fz复变函数考试试题（四）参考答案一. 判断题.1 6 10 .二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;22()kiz20(1)(1)nz6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .0!n三. 计算题.1. iiziiz kkkz2315sn3cos 2,1032sn32co1:3213 解2. 解 , .11Re()zz e
23、f 11R()2zzesf故原式 .12()zzisfi3. 解 原式 .2e95zi zii4. 解 z1= )(z，令 0)1(ze，得 ikz2,， ,21而 zzzzz ee limli(lim002li0zz0为可去奇点当 ik2时， 1),0(ze而2)1(ikizezz ikz2为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设 , 在下半平面内任取一点 , 是下半平面内异于 的点, 考虑()Fzf0z0z.0 0 0000()()limlilimz z zff而 , 在上半平面内, 已知 在上半平面解析, 因此 , 从而f 00()Fzf在下半平面内解析.()Ff2. 证明 令 , ,
24、则 与 在全平面解析, ()63z4()z()fz且在 上, ,1:2C156f故在 内 .1,NC在 上, , 2:z()()fzz故在 内 .22,f所以 在 内仅有三个零点, 即原方程在 内仅有三个根.f112z复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3i2(,)akiza为 任 意 实 数3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; (2)k()kz,)7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 20(1(1nz210in三. 计算题.1. 解 令 , 则zabi.22212()()11(1)abiabw故 , .2
25、)Re()(z2Im()(zb2. 解 连接原点及 的直线段的参数方程为 ,1i 1)0itt故 .0 0e)(1czdtidt3. 令 , 则 . 当 时iezi0a, 212()11os()zaza故 , 且在圆 内 只以 为一级极点, 1()zdIiz()faz在 上无奇点, 故 , 由残数定理有2Re(),011zazasf.22(),0)zaIisf4. 解 令 则 在 内解析, 且在 上, , ,()fz:Cz()1()zfz所以在 内, , 即原方程在 内只有一个根.1)1NCf1四. 证明题.1. 证明 因为 , 故 .2(,),(0uxyvxy2,0xyxyuv这四个偏导数在 平面上处处连续, 但只在 处满足 条件, 故 只在除了zz.R()fz外处处不可微.0z2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .rRkn() 1!()!02nkkkzrfMrf dz于是由 的任意性知对一切 均有 .()f故 , 即 是一个至多 次多项式或常数.0()nkfzc()fz
