1、第 1 页（共 86 页）2018 中考数学专题相似形（共 40 题）1如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点 P 为射线 BD，CE 的交点（1）求证：BD=CE ；（2）若 AB=2，AD=1，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC=90时，求 PB 的长；2如图，直角ABC 中， BAC=90 ，D 在 BC 上，连接 AD，作 BFAD 分别交AD 于 E，AC 于 F（1）如图 1，若 BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG 交 AD 于 M，求证：GM=2MC；AG 2=AFAC3如图，
2、在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG BC 于点G，AFDE 于点 F，EAF= GAC（1）求证：ADE ABC；（2）若 AD=3，AB=5，求 的值第 2 页（共 86 页）4如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过顶点 B 作BFDE，垂足为 F，BF 分别交 AC 于 H，交 CD 于 G（1）求证：BG=DE；（2）若点 G 为 CD 的中点，求 的值5 （1 ）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，AEBF 于点M，求证： AE=BF；（2）如图 2，将 （1）中的正方形 ABCD
3、改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF 于点 M，探究 AE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论6如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，AC 平分BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PDAD （1）证明：BDC= PDC；（2）若 AC 与 BD 相交于点 E，AB=1 ，CE：CP=2：3，求 AE 的长第 3 页（共 86 页）7ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90 ，DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于
4、点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ ；并求当BP=2，CQ=9 时 BC 的长8如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，EC 平分DEB，F 为 CE 的中点，连接 AF，BF，过点 E 作 EHBC 分别交 AF，CD 于 G，H 两点（1）求证：DE=DC；（2）求证：AFBF；（3）当 AFGF=28 时，请直接写出 CE 的长第 4 页（共 86 页）9在 RtABC 中，BAC=90，过点 B 的直线 MNAC，D 为 BC 边上一点，连接 AD，作
5、DEAD 交 MN 于点 E，连接 AE（1）如图 1，当ABC=45时，求证：AD=DE；（2）如图 2，当ABC=30时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由10如图 1，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，且 AE=AB，点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 DCB 向终点 B 运动，直线 EP 交AD 于点 F，过点 F 作直线 FGDE 于点 G，交 AB 于点 R（1）求证：AF=AR；（2）设点 P 运动的时间为 t，求当 t 为何值时，四边形 PRBC 是矩形？如图 2，连接 PB请直接写出使 PRB 是等腰三角形时 t 的值
6、11如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使CF=CA，连接 AF，ACF 的平分线分别交 AF，AB ，BD 于点 E，N ，M，连接EO（1）已知 BD= ，求正方形 ABCD 的边长；（2）猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明第 5 页（共 86 页）12将两块全等的三角板如图 1 摆放，其中A 1CB1=ACB=90 ，A 1=A=30（1）将图 1 中A 1B1C 绕点 C 顺时针旋转 45得图 2，点 P1 是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1 与 BC 的交点，求证：CP 1=CQ；（2）在图 2 中，若 AP1
7、=a，则 CQ 等于多少？（3）将图 2 中A 1B1C 绕点 C 顺时针旋转到A 2B2C（如图 3） ，点 P2 是 A2C 与AP1 的交点当旋转角为多少度时，有AP 1CCP 1P2？这时线段 CP1 与 P1P2之间存在一个怎样的数量关系？13把 RtABC 和 RtDEF 按如图（1）摆放（点 C 与 E 重合） ，点 B、C （E） 、F 在同一条直线上已知：ACB= EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm如图（2） ，DEF 从图（ 1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿 CB 向ABC 匀速移动，在DEF 移动的同时，点 P 从ABC 的顶点
8、A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，DEF 也随之停止移动DE 与 AC 交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（s） （1）用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围；（2）连接 PE，设四边形 APEQ 的面积为 y（cm 2） ，试探究 y 的最大值；（3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形14ABC， A、B、 C 的对边分别是 a、b、 c，一条直线 DE 与边 AC 相交于点 D，与边 AB 相交于点 E第 6 页（共 86 页）（1）如图，若 DE 将ABC 分成周长相等
9、的两部分，则 AD+AE 等于多少；（用 a、b、c 表示）（2）如图，若 AC=3，AB=5 ，BC=4DE 将ABC 分成周长、面积相等的两部分，求 AD；（3）如图，若 DE 将ABC 分成周长、面积相等的两部分，且 DEBC，则a、 b、c 满足什么关系？15已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，PAQ=45，将PAQ 绕着正方形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD 的两个外角EBC 和FDC 的平分线分别交于点 M 和 N，连接 MN（1）求证：ABMNDA；（2）连接 BD，当BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明16如图，在锐角ABC 中，D，E 分别
10、为 AB，BC 中点，F 为 AC 上一点，且AFE=A，DMEF 交 AC 于点 M（1）点 G 在 BE 上，且BDG=C，求证：DGCF=DMEG；（2）在图中，取 CE 上一点 H，使CFH=B，若 BG=1，求 EH 的长第 7 页（共 86 页）17ABC 中， AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，EDF= B （1）如图 1，求证：DECD=DFBE（2）D 为 BC 中点如图 2，连接 EF求证：ED 平分BEF；若四边形 AEDF 为菱形，求BAC 的度数及 的值18如图，在ABC 中，点 P 是 AC 边上的一点，过点 P 作与 BC 平行的直线PQ，
11、交 AB 于点 Q，点 D 在线段 BC 上，联接 AD 交线段 PQ 于点 E，且= ，点 G 在 BC 延长线上，ACG 的平分线交直线 PQ 于点 F（1）求证：PC=PE；（2）当 P 是边 AC 的中点时，求证：四边形 AECF 是矩形19如图，已知ABC 中， AC=BC，点 D、E、F 分别是线段 AC、BC、AD 的中点，BF、ED 的延长线交于点 G，连接 GC（1）求证：AB=GD；（2）如图 2，当 CG=EG 时，求 的值第 8 页（共 86 页）20如图，在ABC 中， D、E 分别为 AB、AC 上的点，线段 BE、CD 相交于点O，且DCB= EBC= A（1）求
12、证：BODBAE；（2）求证：BD=CE ；（3）若 M、 N 分别是 BE、CE 的中点，过 MN 的直线交 AB 于 P，交 AC 于 Q，线段 AP、AQ 相等吗？为什么？21如图，在矩形 ABCD 和矩形 PEFG 中，AB=8 ，BC=6 ，PE=2，PG=4PE 与 AC交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，伴随点 P 的运动，矩形 PEFG 在射线 AB 上滑动；动点 K 从点 P 出发沿折线 PEEF 以每秒 1 个单位长的速度匀速运动点 P、K 同时开始运动，当点 K 到达点 F 时停止运动，点
13、 P 也随之停止设点 P、K 运动的时间是 t秒（t0） （1）当 t=1 时，KE= ，EN= ；（2）当 t 为何值时， APM 的面积与MNE 的面积相等？（3）当点 K 到达点 N 时，求出 t 的值；（4）当 t 为何值时， PKB 是直角三角形？第 9 页（共 86 页）22如图（1） ，在ABC 中，AD 是 BC 边的中线，过 A 点作 AEBC 与过 D 点作 DEAB 交于点 E，连接 CE（1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形（2）连接 BE，AC 分别与 BE、DE 交于点 F、G，如图（2） ，若 AC=6，求 FG 的长23已知：在正方形 ABCD 中，点 E、
14、F 分别是 CB、CD 延长线上的点，且BE=DF，联结 AE、AF 、DE、DE 交 AB 于点 M（1）如图 1，当 E、A、F 在一直线上时，求证：点 M 为 ED 中点；（2）如图 2，当 AFED，求证：AM 2=ABBM24已知，如图 1，点 D、E 分别在 AB，AC 上，且 = （1）求证：DEBC（2）已知，如图 2，在ABC 中，点 D 为边 AC 上任意一点，连结 BD，取 BD中点 E，连结 CE 并延长 CE 交边 AB 于点 F，求证： = （3）在（2）的条件下，若 AB=AC，AF=CD，求 的值第 10 页（共 86 页）25已知ABC ，AC=BC ，点 E
15、，F 在直线 AB 上，ECF=A （1）如图 1，点 E，F 在 AB 上时，求证：AC 2=AFBE；（2）如图 2，点 E，F 在 AB 及其延长线上，A=60，AB=4 ，BE=3 ，求 BF 的长26如图，正方形 ABCD，EAF=45交 BC、CD 于 E、F，交 BD 于 H、G（1）求证：AD 2=BGDH；（2）求证：CE= DG；（3）求证：EF= HG27如图，C 为线段 BD 上一动点，过 B、D 分别作 BD 的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接 AD、AC、BE ，过 B 作 AD 的垂线，垂足为 F，连接CE、EF第 11 页（共 86 页）（1）求证：ACDF
16、= BFBD；（2）点 C 运动的过程中，CFE 的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点 C 运动到什么位置时， CEBF？并说明理由28如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上（不与 A，B 重合） ，DEBC 交 AC 于点 E，将ADE 沿直线 DE 翻折，得到ADE，直线 DA，EA分别交直线 BC 于点 M， N（1）求证：DB=DM（2）若 =2，DE=6 ，求线段 MN 的长（3）若 =n（n1） ，DE=a，则线段 MN 的长为 （用含 n 的代数式表示） 29如图，已知四边形 ABCD 和四边形 DEFG 为正方形，点 E 在线段 DC 上，点A、D、G 在同一直线上，且
17、 AD=3，DE=1，连接 AC、CG、AE，并延长 AE 交 OG于点 H（1）求证：DAE=DCG （2）求线段 HE 的长第 12 页（共 86 页）30如图，ABC 中，点 E、F 分别在边 AB，AC 上，BF 与 CE 相交于点 P，且1=2= A（1）如图 1，若 AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图 2，若 ABAC，（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；求证： = 31如图 1，在锐角ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 的中点，点 F 在 AC 上，且满足AFE=A，DMEF 交 AC 于点 M（1）证明：DM=DA；（2）点 G 在 BE 上，且BDG=
18、C，如图 2，求证：DEG ECF；（3）在图 2 中，取 CE 上一点 H，使得CFH=B ，若 BG=5，求 EH 的长32如图，正方形 ABCD 中，边长为 12，DEDC 交 AB 于点 E，DF 平分EDC交 BC 于点 F，连接 EF第 13 页（共 86 页）（1）求证：EF=CF；（2）当 = 时，求 EF 的长33如图，已知在ABC 中，P 为边 AB 上一点，连接 CP，M 为 CP 的中点，连接 BM 并延长，交 AC 于点 D，N 为 AP 的中点，连接 MN若ACP= ABD（1）求证：ACMN=BNAP；（2）若 AB=3，AC=2，求 AP 的长34如图，已知 A
19、C、EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在ABC内，CAE+ CBE=90，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF（1）求证：CAE CBF； （2）若 BE=1，AE=2，求 CE 的长35如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90 ，将MPN 绕点P 从 PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边 AB（或 AD）于点 E，PN 交边AD（或 CD）于点 F，当 PN 旋转至 PC 处时，MPN 的旋转随即停止（1）特殊情形：如图，发现当 PM 过点 A 时，PN 也恰巧过点 D，此时，ABP PCD （填“ ”或“”）
20、 ；第 14 页（共 86 页）（2）类比探究：如图，在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由36如图，点 M 是ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于 ABC 的各边，所形成的三个小三角形 1、 2、 3（图中阴影部分）的面积分别是1、4 、25 则ABC 的面积是 37如图，ABC 中， ACB=90，AC=5 ，BC=12，COAB 于点 O，D 是线段OB 上一点，DE=2，ED AC（ADE90） ，连接 BE、CD 设 BE、CD 的中点分别为 P、Q （1）求 AO 的长；（2）求 PQ 的长；（3）设 PQ 与 AB 的交点为 M，请直接写出|
21、PM MQ|的值38尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF，BE 是ABC 的中线，且 AFBE，垂足为 P，设 BC=a，AC=b，AB=c 求证：a 2+b2=5c2第 15 页（共 86 页）该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接 EF，利用 EF 为ABC 的中位线得到EPF BPA ，故 ，设 PF=m，PE=n ，用 m，n 把 PA，PB 分别表示出来，再在 RtAPE ，RtBPF 中利用勾股定理计算，消去 m，n 即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 A
22、C，BD 的交点，E，F 分别为线段AO，DO 的中点，连接 BE，CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点G，H，如图 2 所示，求 MG2+MH2 的值39如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AED=B，射线 AG分别交线段 DE，BC 于点 F，G ，且 （1）求证：ADFACG；（2）若 ，求 的值40如图，四边形中 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，P 为对角线 AC 延长线上的任意一点，PF 交 AD 于 M，PE 交 BC 于 N，EF 交 MN 于 K求证：K 是线段 MN 的中点第 16 页（共 86 页）第 17 页（共
23、86 页）参考答案与试题解析（共 40 题）1 （2017阿坝州）如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点 P 为射线 BD，CE 的交点（1）求证：BD=CE ；（2）若 AB=2，AD=1，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC=90时，求 PB 的长；【解答】解：（1）ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAEADB AECBD=CE（2）解：当点 E 在 AB 上时，BE=ABAE=1EAC=90 ，CE= = 同（1）可证ADB AECDBA=ECA 第 18 页（共 86 页）PEB=AEC，P
24、EBAEC = = PB= 当点 E 在 BA 延长线上时，BE=3EAC=90 ，CE= = 同（1）可证ADB AECDBA=ECA BEP=CEA，PEBAEC = = PB= 综上所述，PB 的长为 或 2 （2017常德）如图，直角ABC 中，BAC=90，D 在 BC 上，连接 AD，作BFAD 分别交 AD 于 E，AC 于 F（1）如图 1，若 BD=BA，求证：ABEDBE；第 19 页（共 86 页）（2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG 交 AD 于 M，求证：GM=2MC；AG 2=AFAC【解答】证明：（1）在 RtABE 和 RtDBE
25、中， ，ABEDBE ；（2）过 G 作 GHAD 交 BC 于 H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设 DC=1，BD=4，BH=DH=2，GHAD， = = ，GM=2MC；过 C 作 CNAC 交 AD 的延长线于 N，则 CNAG，AGM NCM， = ，由知 GM=2MC，2NC=AG，BAC=AEB=90 ，ABF=CAN=90BAE ，第 20 页（共 86 页）ACN BAF， = ，AB=2AG， = ，2CNAG=AFAC，AG 2=AFAC3 （2017杭州）如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AGBC 于点 G，AFDE 于点 F
26、，EAF=GAC （1）求证：ADE ABC；（2）若 AD=3，AB=5，求 的值【解答】解：（1）AG BC ，AFDE ，AFE=AGC=90，EAF=GAC，AED= ACB，第 21 页（共 86 页）EAD= BAC，ADE ABC，（2）由（1）可知：ADEABC ， =由（1）可知：AFE=AGC=90，EAF=GAC，EAFCAG ， ， =4 （2017眉山）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过顶点 B 作 BFDE，垂足为 F，BF 分别交 AC 于 H，交 CD 于 G（1）求证：BG=DE；（2）若点 G 为 CD 的中点，求 的
27、值【解答】解：（1）BFDE，GFD=90 ，BCG=90，BGC=DGF ，CBG=CDE，在BCG 与DCE 中，第 22 页（共 86 页）BCG DCE（ASA） ，BG=DE，（2）设 CG=1，G 为 CD 的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE （ASA ） ，CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG= ，sin CDE= = ，GF= ，ABCG ，ABHCGH， = ，BH= ，GH= ， =5 （2017河池） （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，AE BF 于点 M，求证：AE=BF；（2）如图 2，将 （1）中的正方
28、形 ABCD 改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF 于点 M，探究 AE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论第 23 页（共 86 页）【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABC=C，AB=BC AE BF，AMB=BAM+ABM=90，ABM+ CBF=90，BAM=CBF 在ABE 和BCF 中，ABEBCF（ASA） ，AE=BF；（2）解：AE= BF，理由：四边形 ABCD 是矩形，ABC=C，AE BF，AMB=BAM+ABM=90，ABM+ CBF=90，BAM=CBF ，ABEBCF，第 24 页（共 86 页） = ，AE= BF6 （2017泰安）
29、如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD ，AC 平分BAD，点 P 是AC 延长线上一点，且 PDAD（1）证明：BDC= PDC；（2）若 AC 与 BD 相交于点 E，AB=1 ，CE：CP=2：3，求 AE 的长【解答】 （1）证明：AB=AD，AC 平分BAD ，ACBD，ACD+BDC=90，AC=AD，ACD=ADC，ADC+BDC=90，PDAD，ADC+PDC=90 ，BDC=PDC；（2）解：过点 C 作 CMPD 于点 M，第 25 页（共 86 页）BDC=PDC，CE=CM，CMP=ADP=90 ， P=P ，CPM APD， = ，设 CM=CE=x，CE：CP
30、=2：3，PC= x，AB=AD=AC=1， = ，解得：x= ，故 AE=1 = 7 （2017天水）ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90 ，DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA相交于点 Q第 26 页（共 86 页）（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ ；并求当BP=2，CQ=9 时 BC 的长【解答】 （1）证明：ABC 是等腰
31、直角三角形，B= C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC 的中点，BE=CE ，在BPE 和CQE 中， ，BPECQE（SAS） ；（2）解：ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B= C=DEF=45 ，BEQ=EQC +C，即BEP+DEF=EQC+C ，BEP+45=EQC+45 ，第 27 页（共 86 页）BEP=EQC，BPECEQ， = ，BP=2，CQ=9，BE=CE ，BE 2=18，BE=CE=3 ，BC=6 8 （2017绥化）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，EC 平分DEB ，F为 CE 的中点，连接 AF，BF，过点
32、E 作 EHBC 分别交 AF，CD 于 G，H 两点（1）求证：DE=DC；（2）求证：AFBF；（3）当 AFGF=28 时，请直接写出 CE 的长【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ABCD，第 28 页（共 86 页）DCE=CEB，EC 平分DEB，DEC=CEB，DCE=DEC，DE=DC；（2）如图，连接 DF，DE=DC，F 为 CE 的中点，DFEC，DFC=90，在矩形 ABCD 中，AB=DC，ABC=90，BF=CF=EF= EC，ABF=CEB，DCE=CEB，ABF=DCF，在ABF 和DCF 中，ABFDCF（SAS） ，AFB=DFC=90，第 29 页
33、（共 86 页）AFBF；（3）CE=4 理由如下：AFBF，BAF+ABF=90，EHBC ，ABC=90，BEH=90，FEH+CEB=90 ，ABF=CEB，BAF=FEH，EFG=AFE，EFGAFE， = ，即 EF2=AFGF，AFGF=28，EF=2 ，CE=2EF=4 9 （2017雨城区校级自主招生）在 RtABC 中， BAC=90 ，过点 B 的直线MNAC，D 为 BC 边上一点，连接 AD，作 DEAD 交 MN 于点 E，连接 AE（1）如图 1，当ABC=45时，求证：AD=DE；第 30 页（共 86 页）（2）如图 2，当ABC=30时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由【解答】 （1）证明：如图 1，过点 D 作 DFBC ，交 AB 于点 F，则BDE+FDE=90，DEAD，FDE+ADF=90，BDE= ADF，BAC=90 ，ABC=45，C=45，MNAC，EBD=180C=135，BFD=45，DF BC，BFD=45，BD=DF，AFD=135，EBD= AFD，在BDE 和 FDA 中，BDE FDA（ASA） ，AD=DE；
