1、足球运动中弧线球的研究1 引言足球在世界上拥有数百万的参与者，是世界上目前最受欢迎的运动。由于它受到了如此之广泛的关注，如今已经有很多人对其中所包含的技术进行研究。在 1998 年的世界杯的 171 个入球中有 42 个是由定位球产生，其中的百分之五十是由直接任意球产生，由此可见一脚精准的任意球在足球运动中的作用。贝克汉姆擅长香蕉球，而克里斯蒂亚诺.罗纳尔多则擅长平快的门前急坠球或者是落地反弹球，这些都让我们忍不住去研究足球世界中弧线球这一美妙现象。2 理论基础2.1 伯努利原理伯努利原理:瑞士数学家 Daniel Bernoulli 提出了现在被广为熟知的定理。（1） 21pVCP 为气流中
2、某一点的压力， 为气流密度，V 是气流中某一点的速度。2.2Magnus 效应图-1由伯努利原理可知，一个轨迹弯曲的球必须是旋转的，使球的轨迹弯曲的侧向力是由于球的旋转产生的。旋转时产生不对称的气流，产生升力或侧向力，垂直于转轴方向。由图-1 可知，一颗旋转的球会因为其转轴的不同，产生向上或者侧向的偏转。3 模型3.1 受力情况他的研究中指出在1Weson空中的球体受到了三个力，如图-2所示，分别是重力，空气阻力，以及由于球体旋转所产生的 Magnus力。在图-2 的情况下，Magnus 力正好与重力方向相反，是一股上升力。 Kreighbaum 与 Barthels 指出，运动物体的空气学力
3、由物体本身的表面特性2以及它暴露在空气中的面积、空气流速、压强的多方面决定的。他们给出了任何运动物体在空气受力的公式：（2）2d1C|2|vDA（3）2|magvFag为空气阻力， 为受到的 Magnus 力， 为阻力系数， 为 Magnus 力Dag dCCmag系数，A 是球体在空气中的投影面积，v 是相对流速。3.2 球体系统的阻力系数与 Magnus 力系数阻力系数与气流的密度，速度，球体投影面受到的阻力大小有关。但是对于同一物体而言，阻力系数的差异是和雷诺数直接相关的。Carre 等研究发现，雷诺系数的大小与物体表面的光滑程度、物体的速度3有关，因此速度越快的球体出现紊流阻力小的可能
4、性更大。从 Anderson 所给出的球体的阻力系数与雷诺数的关系图可以看出， 随4 dC着 Re 的增加而下降，在临界点时， 会突然下降很多。发生这样的现象是因dC为在临界条件时，气流将突然转变为紊流，出现气流流线分离的现象，阻力瞬间大幅度减小。图-3 球体的阻力系数与球体雷诺数之间的关系图 与阻力系数一样，球体系统的 Magnus 力系数也与气流密度，速度，物体的投影面积等有关。不旋转的球理论上的 Magnus 力系数为零，所以我们只讨论球的旋转对 Magnus 力系数的影响。对于一个旋转的球，我们不管它的旋转方向，它产生了 Magnus 力从而改变了球的运动轨迹产生了弧线球。3.3 球在
5、空中飞行时的加速度方程 对于图-2 中的球体，我们在考虑重力，Magnus 力以及空气阻力的情况下，运动的向量方程为：（4）magFD带入 和 得到：magFD（5）2 2dC| C|11| |22agvvAvAgm其中 为球体运动的加速度， 为球体质量，g 为重力加速度。已经给出了球体在空中飞行的加速度的方程，对于一个已经确定的球体来说，由于环境中的 的不确定性，以及两个参数 、 的不确定性我们无法Cmagd给出式一个更简易的方程。在现有的条件下笔者无法给出关于这个方程的更多的解释及描述。日后有更好的条件时，希望可以运用计算机模拟这个方程，给出更多的图像解释。虽然无法运用模型直观的描绘弧线球
6、的运动，但是我们可以运用这个模型解释足球运动中的弧线球以及和弧线球有关的现象。4 模型在特定现象上的运用按照国际标准我们取足球的参数如下4.1 电梯球巴西球员迪迪发明了电梯球（又称落叶球） ，而在当今足坛落叶球的代表直径 质量 球门规格 禁区线到球门的线距离 空气密度69cm 430g 7.32 米2.44 米 16.5m 1.25kg/立方米有皮尔洛，克里斯蒂亚诺罗纳尔多等。本文将以 c 罗的电梯球为例，研究电梯球的轨迹以及球在坠入球门前的急坠的原因。我借助实况足球这款游戏里的任意球模式，帮助我们直观模型的建立。图-4 电脑模拟 c 罗任意球情形按照 c 罗的任意球风格，我们选取了他最为擅长
7、的 23m 的距离来研究他的任意球轨迹。这种方式的落叶球几乎没有侧旋，有一定量的外旋。没有侧旋就意味着球不会有侧向的弧线，我们把他的整个球的飞行轨迹简化成一个平面上的运动。图-5 理想的电梯球飞行轨迹图在（2）式中，空气阻力系数 与 Re 直接相关。在 Anderson 的研究中，dC足球的 Re 约为 5.10，在图-3 中对应发现 。所以式（2）简化为：2.13|vDA（6）在（3）式中，根据文献6系数 ，R 为球体的半径，所以（3）式化简为：(7)2|RvFAvmag我们只研究二维的运动，将速度进行 x、y 两个方向的分解，而只考虑 z 轴的角速度：， (8)2xyvvz各项资料显示，速
8、度极高任意球的球速会高达 120km/h，个别甚至会达到200km/h。我们假定 c 罗的球速为 100km/h，即平均速度为 27m/s。介于 c 罗任意球的特性，我们假设它是不旋转的，即 。 在这样的设定0下，我们把(5) 式化为最简单的形式：（9）2|0.13vAagm带入 、 、m 得到magCv31.25/kgmd0.26(10)0.5|avg对于 x、y 两个方向求解20.5xxydvvvt20.5yyxydvvvgt这个方程无法求得解析解，我采用计算机作图的方式。假设球的初始速度为 30m/s，由于出脚角度无法确定，所以电脑模拟在这样的方程下不同的出脚角度可能出现的轨迹情况，如下
9、图图-6 电脑模拟图我们从十个轨迹中找出最符合实际情况的弧线图不 同 角 度 下 球 体 轨 迹xyv不 同 角 度 下 关 系（11）（12）图-7 模拟轨迹图上图是模拟在出球角度为 30 度时的轨迹，从图中可以看出球近似在 23m处落到最低点，正好可以落入球门而且可以成功地绕过人墙。轨迹近似符合实际情况，可以认为给出的式（11） 、 （12）在一定程度上是有参考性的。然而在这个讨论中并没有运用到 Magnus 力，这是三个力中被忽略看待的力。由于电梯球的特性，由于旋转很小所以 Magnus 力很小，对轨迹的讨论没有太多影响。5 结论本文对足球运动中的弧线球建立模型进行了分析与计算，重点研究了弧线球中比较简单的电梯球（落叶球）的情形。由于这种特殊情形，在研究的过程中简化掉了 Magnus 力，又粗略地计算了足球的阻力系数，估算出了电梯球方程，在最模型的拟合下完善系数，得到了近似于实际情况的轨迹方程。然而，弧线球的种类有很多。例如贝氏弧线，带有强烈的侧旋，这种情况比电梯球复杂得多。现有的模型实际的出入还是比较大，需要进一步的研究。
