1、1高考数学知识梳理复习题 8 第 2 讲 二项分布与超几何分布 知 识 梳理 1条件概率：称 )(|(APB为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。特别提醒： 0 P（B|A） 1； P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。2. 相互独立事件：如果事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。特别提醒：如果事件 A、B 是相互独立事件，那么，A 与 、 与 B、 与 都是相互独立事件_两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件 A、B 同时发生记作AB，则有 P（AB）= P（A）P（B）推广：如
2、果事件 A1，A 2，A n相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A 1A2An）= P（A 1）P（A 2）P(A n)3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间_的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有_结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.答案: 相互独立地进行, 两种4.如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率计算公式：_答案: Pn（ k）=C Pk（1 P） n k,其中， k=0,1,2，, n.n5.离散型随机变量的二项分布:
3、在 一 次 随 机 试 验 中 ， 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 ， 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是 一 个 随 机 变 量 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 ， （ k0,1,2,， n， ） nknqpC)( pq1于是得到随机变量 的 概 率 分 布 如 下 ： 0 1 k nP nqp1n knC 0qpC由 于 恰好是二项展开式knkqpC中 的 各 项 的 值 ， 所 以 称 这 样 的 随 机 变 量 010)( qpqpnknkn 服 从 _，记 作 B(n， p)， 其
4、中 n， p 为 参 数 ， 并 记 b(k； n， p)n答 案 :二 项 分 布6. 两点分布： X 0 1 P 1p p 特别提醒： 若随机变量 X 的分布列为两点分布, 则称 X 服从两点分布,而称 P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则,mi,10,)( MkCkXPnNk 其中， N,。称分布列X 0 1 mP nNMnNMC nNMC为超几何分布列， 称 X 服从_答案: 超几何分布。 重 难 点 突 破 1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解 n 次独
5、立重复实验的模型及二项分布.2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及 n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题3.重难点：.(1) “互斥”与“独立”混同问题 1: 甲投篮命中率为 O8，乙投篮命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件 A， “乙恰好投中两次”为事件 B，则两人都恰好投中两次为事件 A+B，P(A+B)2=P(A)+P(B)： 22330.80.7.825cc点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和正确解答：设“甲恰好
6、投中两次”为事件 A， “乙恰好投中两次”为事件 B，且 A，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件 AB，于是 P(AB)=P(A)P(B)= 22330.0.7.169cc（2） “条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率 P(AB)”混同问题 2:袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率错解 记“第一次取到白球”为事件 A， “第二次取到黄球”为事件 B,”第二次才取到黄球”为事件 C,所以 P(C)=P(B/A)= .93点拨：本题错误在于 P(A B)与 P(B/A)的含义没有弄清, P(A B)表示在样本空间
7、S 中,A 与 B 同时发生的概率；而 P（B/A）表示在缩减的样本空间 SA中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。正确答案：P（C）= P(A B)=P（A）P（B/A）= 。 461095 热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验题型 1. 条件概率例 1 一张储蓄卡的密码共有 6 位数，每位数字都可从 09 中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； 任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；若他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率解题思路：这是一个一
8、般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过 2 次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？解析：设事件 表示第 次按对密码(12)iA，i 21()9P事件 表示恰好按两次按对密码，则 1212191()()0PAPA设事件 表示最后一位按偶数，事件 表示不超过 2 次按对密码，因为事件 与事件 为互斥B1A12事件，由概率的加法公式得： 1124()()()5BB【名师指引】条件概率相当于随机试验及随机试验的样本
9、空间发生了变化，事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率可以看成在样本空间为事件 A 中事件 B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法缩减样本空间法将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式 )()(P【新题导练】2. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取 1 件，3求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率 解: 设 B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则 （1）因为 100 件产品中有 70 件一等品， 70().1PB(2)方法一: 因为 95 件合格品中有 70 件一等品，所以 AB7
10、0().36895PA方法二: ()()PBA701.36895题型 2。相互独立事件和独立重复试验例 2 (2008 四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定他们三人都有“同意” 、 “中立” 、 “反对”三类票各一张投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 ，他们的投票相互没有影响规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放13弃对该项目投资（）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（）求此公司决定对该项目投资的概率；解题思路： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有 次发生的区别k解析：（）此公司一致决定对该
11、项目投资的概率 P= ( )313 27（）此公司决定对该项目投资的概率为 PC 32( )2( )C 33( )313 23 13 727答: （）此公司一致决定对该项目投资的概率为 （）此公司决定对该项目投资的概率为 .7727【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有 次发生与指定第 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前kk者的概率为 ,后者的概率为(1)knknCp(1)knp【新题导练】1. （湖南卷 16）.（本小题满分 12 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签
12、约.设每人面试合格的概率都是 ，且12面试是否合格互不影响.求：至少有 1 人面试合格的概率;解: 用 A， B， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A， B， C 相互独立，且 P（ A） P（ B） P（ C）.12至少有 1 人面试合格的概率是 3171()1()()(.28PABCP2 （山东卷 18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 且各人正确与否相221,3互之间没有影响.用 表示甲队的总得分.（）求随机变量 分布列；()用 A 表示“甲、乙两个队总
13、得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB).解: ()由题意知， 的可能取值为 0，1，2，3,且所以 的分布列为 0 1 2 3P 271929478.278)()(,94)3()2( ,93121,70232 23330 CPC4（）用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件，所以 AB=C D,且C、 D 互斥，又 ,34)21()32)(,10 21323)()3)( 542 CP由互斥事件的概率公式得 2433510)(4DPCABP考点二: 两点分布与超几何分布题型 1: 两点
14、分布与超几何分布的应用例 3 高二（十）班共 50 名同学，其中 35 名男生，15 名女生，随机从中取出 5 名同学参加学生代表大会，所取出的 5 名学生代表中，女生人数 X 的频率分布如何？解题思路：5 名学生代表中，女生人数有 6 种情况.解析：从 50 名学生中随机取 5 人共有 种方法，没有女生的取法是 ，恰有 1 名女生的取法是 ，50C0513C1453C恰有 2 名女生的取法是 ，恰有 3 名女生的取法是 ，恰有 4 名女生的取法是 ，恰有 5 名女生的取2315C3215 453法是 ，5013因此取出的 5 名学生代表中，女生人数 X 的频率分布为：X 0 1 2 3 4
15、5P51345303150C21501530C013例 4 若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率是 ，用随机变量 表示 A 在 1 次实验中发生的次数。 （1）求方p差 的最大值；（2）求 的最大值。DED2解题思路：（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差 的最大值需求得 的表达式，转化为二次函数的最值问题；DD（2）得到 后自然会联想均值不等式求最值。ppE12)(212解析：（1） 的分布列如表：所以 ，E所以 时， 有最大值 。41)2()1()(0222 pD 21p41（2）由 ，当且仅当 即 时取1 pppE p2等号，所以 的最大值是 。2【名师指引】在超几何分布中,只
16、要知道 N,M 和 n,就可以根据公式求出 X 取不同 m 值时的概率 P(X=m).【新题导练】1在一个口袋中装有 30 个球，其中有 10 个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5 个球.摸到 4 个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 410253().9CP2假定一批产品共 100 件，其中有 4 件不合格品，随机取出的 6 件产品中，不合格品数 X 的概率分布如何？解: 从 100 件产品中随机取 6 件产品共有 种方法，都是合格品的取法是 ，恰有 1 件不合格品的取法是610C0649，恰有 2 件不
17、合格品的取法是 ，恰有 3 件不合格品的取法是 ，恰有 4 件不合格品的取法是 。15496C249 3 4296C因此取出的 6 件产品中，不合格品数 X 的概率分布为：X 0 1 2 3 45P06491C154960249610C349610429610C考点三: 独立重复试验与二项分布题型 1: 独立重复试验与二项分布的应用例 6 一口袋内装有 5 个黄球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现 10 次时停止，停止时取球的次数 是一个随机变量，则 =_。 （填计算式）)2(P解题思路：这是一个“12 次独立重复试验恰有 10 次发生”的
18、概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到，这就忽视了隐含条件“第 12 次抽取的是红球” ，此种解法的结果包含着第 12 次抽取到2102)8()(CP黄球。解析： 2109291 )85(3)5(3)( C例 7 某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少应射击几次？解题思路：“至多” ， “至少”问题往往考虑逆向思维法 奎 屯王 新 敞新 疆解析：解：设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，应射击 次 奎 屯王 新 敞新 疆 记事件 “射击一次，击中目标” ，则nA()0.25PA射击 次相当于 次独立重复试验， 事件 至少发生
19、1 次的概率为 n A1(0).75nnP由题意，令 ， ， ， 至少取 51.70.5n31()4nlg4.823n【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。【新题导练】1. 广东深圳外国语学校 20082009 学年高三月考理某科研小组进行某项科学实验的成功率为 。那么连续对该项实验进行 4 次试验恰有 3 次成功的概率是32_。答案: 81322.广州市海珠区 2009 届高三上学期综合测试二(数学理)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动.()试求选出的
20、 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率;()商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概m率都是 ,请问:商场应将每次中奖奖金数额 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?21m解: () 从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中 ,选出 3 种商品一共有 种选法,.选出的 3 种商品中没37C有日用商品的选法有 种, 1 分.34C所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 .4 分51374CP()顾
21、客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为 X,其所有可能值为 0, ,2 ,3 .6 分mX=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 7 分,820303X同理可得 ,832113CmXP ,12mP.230于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 .12 分mmEX5.1832810要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有 ,所以06,13 分.10m故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. 14 分 抢 分 频 道 基础巩固训练1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球
22、，有放回地每次摸取一个球，数列 满足： 如果 为数列 的前 n 项和，那么 的概率为 na次 摸 到 白 球 ， 第 次 摸 到 红 球 ，第 nn1, nSa37SA B C D 52573C52731C525713 52573C答案：B2. (广东省韶关市 2008 届高三第一次调研考试)一台机床有 的时间加工零件 A, 其余时间加工零件 B, 加工 A时,停机的概率是 ,加工 B 时,停机的概率是 , 则这台机床停机的概率为 ( ) 1025A. B. C. D. 37101答案：A3(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为 ，
23、801则此射手每次射击命中的概率为（ ）A. B. C. D. 13 23 14 25答案：B4 （2008 福建卷 5)某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( )A. B. C. D. 16259625926565答案:B5甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为 ，比赛时均能正常发挥技术水平，则在 5 局 33:胜制中，甲打完 4 局才胜的概率为（ ）()A23C()B23()5C342()5C()D3421()C答案:A6一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率为 80答案: 23
24、综合拔高训练7广东深圳外国语学校 20082009 学年高三月考理科数学试题一袋中装有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现次停止，设停止时,取球次数为随机变量 ,则 _X)5(P答案: 818甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 次，甲射中的概率为 ，乙射中的概率为 ，求：10.80.9（1） 人都射中目标的概率；2（2） 人中恰有 人射中目标的概率；（3） 人至少有 人射中目标的概率；21（4） 人至多有 人射中目标的概率？解：记“甲射击 次，击中目标”为事件 ， “乙射击 次，击中目标”为事件 ，则 与 ， 与 ， 与 ，ABABA与 为
25、相互独立事件，AB（1） 人都射中的概率为： ， 人都射中目标的概率是 ()()0.89.7PBP0.72（2） “ 人各射击 次，恰有 人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件 发生） ，另一种1 是甲未击中、乙击中（事件 发生） 奎 屯王 新 敞新 疆 根据题意，事件 与 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独A BA立事件的概率乘法公式，所求的概率为：7()()(PABPB)(APB0.8(1.9)(0.8)9.018.26 人中恰有 人射中目标的概率是 210.26（3） （法 1）：2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况，其概率
26、为()()7.（法 2）：“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件，2 个都未击中目标的概率是 ，()(0.8).902APB“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 118A（4） （法 1）：“至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中” ，故所求概率为：()()()PABP()()()PB0.28.10.2（法 2）：“至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标” ，故所求概率为 奎 屯王 新 敞新 疆0.72.8B9广东省佛山市三水中学 2009 届高三统考 (数学理)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请 50名一线教师参加，使用
27、不同版本教材的教师人数如下表所示版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版人数 20 15 5 10（1）从这 50 名教师中随机选出 2 名，问这 2 人使用相同版本教材的概率是多少？（2）若随机选出的 2 名教师都使用人教版教材，现设使用人教 A 版教材的教师人数为 ，求随机变量 的分布列17解：（1）50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 ，1250C选出的 2 人所使用版本相同的方法数为 =190+105+10+45=350，2102 人所使用版本相同的概率为7153（2） ， ，)0(235CP 1960)(23510CP 1938)2(50CP随机变量 的分布列是0 1
28、2P 796810广东省深圳外国语学校 2009 届高三统测（数学理）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对2 题才算合格.（）求甲、乙两人考试均合格的概率；（）求甲答对试题数 的概率分布.解：（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则P(A)= = ，P(B)= . 3106426C32154206310828C因为事件 A、B 相互独立，甲、乙两人考试均合格的概率为 答：甲、乙两人考试均合格的概率为 45P 2845（）依题意， =0，1，2，3，7 分， ，3410()pC126430()C， 263P1P甲答对试题数 的概率分布如下： 0 1 2 3P 368
