1、 龚六堂“宏观经济学专题” 课程笔记 整理者：徐高 xu_ 2004.5.30 这是我2004年春季学期在光华管理学院所上的“宏观经济学专题”一课的笔记。纪录了这门课的主要内容。授课老师是龚六堂。这份笔记并未给龚六堂老师看过。其中的所有错误都由整理者承担。欢迎任何的意见和建议。 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 1I Ramsey模型的推广 宏观经济学研究： 1) c, y, k 2) m, （inflation的决定及其影响，货币政策） 3) G, T （税收、公共支出的决定及其影响，转移支付） 4) Asset market 基本的Ramsey Model 00max ( ). . ( )
2、 , (0)tuce dts tk fk nk c k k= =null(1.1) 模型结论： 1) 稳定点（c*, y*, k*）存在且唯一。（不同的国家技术和偏好相同时，经济会趋同。因此无法解释经济增长的差异性） 2) c, y, k 单调上升收敛至 c*, y*, k*。（经济没有波动） 3) 引入货币，货币超中性。 4) 引入公共支出G，G不影响资本存量，只是挤出私人消费。 1 Ramsey模型中时间偏好的改变 偏好改变： （1）贴现因子（rate of time preference, discount rate） 12(, ,)uC C null Samuelson(1937) 贴
3、现因子常数，刻画对未来的耐心程度（patience）。 （2）效用函数（utility function） 1.1 Uzawa(1968) Uzawa H., 1968, Time preference, the consumption function, and optimum asset holdings. In: J. N. Wolfe, ed. Value, Capital, and Growth: Papers in Honor of Sir John Hicks. Edinburgh. Scotland: University of Edinburgh Press Uzawa在没有
4、生产（没有资本存量）的Ramsey模型中考虑消费，寻找消费函数(,)ttcy r。 模型结论 1) c, y, k的特征 2) 引入货币：，mm =null 对c, y, k的影响。货币超中性不成立。 3) 财政政策：g影响k。 (1) 在基本的Ramsey模型中考虑消费 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 20max ( ). . ( )tuce dts tb rb w c y ry c=+ = nullnull(1.2) 其中b为债券，w为工资收入。这是一个只考虑消费者行为的partial equilibrium。求解此问题 ()() ( )()()()()H uc rb w ccucucr
5、ccucHrbrbwcb =+= = =+ nullnullnull(1.3) 由式(1.3)可以求出系统的steady state。有两种情况：（1）r =时，c=y=常数，无动态调整过程；（2）r 时，系统不存在均衡点。 (2) Uzawa的模型 为了解决在问题(1.2)中的困难，Uzawa引入了可变的贴现因子。 ( ( ), ( ) 0, ( ) 0, 0 ( ) 1, 0tuc u 0( )tstucds=(1.4) t对t求导数，可得( )tdt uc dt=，且有00, ttt t= = 。因此，在基本的Ramsey模型(1.2)中代入( )tdt d t u c=得到 0()ma
6、x( )( )tttucedtucdb rb w cstdt uc+ =(1.5) 解此模型 ()( ) ( )ttuc rb w cHuc uc+ =+ 2()(): () () 0( )( ): ttuc rb w cuccuucucdHdt b+ =1(1.6) ( )()trucyryc= =nullnull(1.7) 1在求的动态方程时，可以将t看成t，将问题转化为贴现因子为1的最优控制问题。 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 3由式(1.6)中有关c的方程可得到(, )cy =，可推出 ycyccc =+=nullnullnullnullnull null 得 ( ) ( )ytc
7、ccruc ryc= null (1.8) ()yryc= null (1.9) 由0y =null与0c =null就可以求出系统的均衡点2。 dy/dt=0dc/dt=0y*=c*c*cyy*c*讨论： 1) Long-term equilibrium：0 * *, ( ( *)cy c yr uc= = = =nullnull *10() ()cru= (1.10) 2) 稳定性：将,cynullnull在均衡点处一阶Taylor展开，可证均衡点是鞍点稳定的。在理性预期假设下，存在唯一的鞍点路径收敛到均衡点(*, *)cy。这条路径就是最优路径。鞍点路径所得到的就是短期消费函数（反映短期
8、均衡中c与r、y之间的关系）。当r上升时，0c =null曲线右移。对于同样的y，鞍点路径上的消费c下降。可证 (, ) (, )0, 0cry cryyrii。类似Uzawa模型，作变量代换()ttdsdt=，可得模型 0()max()()()tttucedtsdk f k nk c sstdt s =(1.25) 建立Hamiltonian，可得如下条件 ()uc = (1.26) 2() ()0()uc f k nk c ss+ = (1.27) Euler Equation: () ()tdHf kn sdk= = null(1.28) 再加上预算约束 () ()kfknkcst=nu
9、ll(1.29) 由以上(1.26)到(1.29)四式就可以完全确定经济的动态了。在c，k平面中讨论问题3。首先由(1.26)及(1.27)两式确定()c =与(, )s sck=。则有 () (,)()() (,)()kfknkcsckuccfknsckuc= nullnull(1.30) 模型的结论： 1) 可能存在多个均衡点或limited cycle; 3选择在那个平面中讨论问题完全是任意的，依所讨论问题的方便。 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 7比如11()1cuc=，0120()()sss = +，()f kAk=时，通过适当的参数选取，会产生3个均衡点。 2) 货币超中性不成立
10、； 3) 财政政策 1.4 Laibson可变的外生贴现因子 问题的提出：在美国普遍存在着个人储蓄不足的情况。有60%到80%的美国人除社会保险退休金外，几乎没有什么其他的退休后收入。因此，大部分人在退休后消费水平会有一个显著的下降。他们一生的福利可以通过增加年轻时的储蓄，即提高年老后的消费得到提高。 但是，在传统的分析框架中（如Ramsey模型），是不存在储蓄不足这种说法的。由于个人的行为是通过最优化得出的，所以得到的储蓄率一定恰恰好的，既不会过高，也不会过低。 为了解释储蓄不足的问题，提出了hyperbolic discounting。 (1) Hyperbolic discounting
11、 日常生活中常常观察到个人在当期往往缺乏耐心。比如说，让某人在今天放弃眼前的5个包子，而在明天获得6个包子作为回报，有很大可能性得到否定的答案。而如果将时间换成100天后和101天后，则几乎所有人的回答都会是肯定的。在模型中可以这样来描述这种现象。 对于一般的Samuelson（1937）的贴现因子，每天之间的贴现因子都是一样的，设为1(1 )+，则贴现效用和为()01()1tttuc= +。让时间间隔0t ，可得到连续时间下贴现效用和为0()tssuc e ds=。在其中引入Quasi-hyperbolic discounting，只需要在第0期与第1期之间乘上一个(0+ 3) ,(1 )B
12、B =+ 结论一：（1）在区间1与2内，u*唯一决定，可以决定唯一的平衡增长路径。（2）在区间3内，可能出现多个u*，对应多条平衡增长路径（BGP）。多条BGP的存在取决于0 。若0 =，则*1( )uB =+ ，唯一决定。外部性是决定多条平衡增长路径的决定性因素。 下面讨论收敛到BGP的路径。将,uxqnullnullnull在均衡点u*，x*与q*处一阶Taylor展开，得 *uuux Jx xqqq = nullnullnull(2.15) 解出系数矩阵J的特征值为1，2与3。那么可以得到 3123() *tttx txCe Ce Ce= + + (2.16) 若判断出1，2与3中有两根
13、为正，一根为负。不妨设12,0，30 ，则有12() *ttx txCe Ce = +。此时由初始值无法确定C1与C2。也就是说，存在多条收敛到BGP的收敛路径。 结论二：从非平衡增长路径收敛到平衡增长路径可能有多条路经。 3.3 Two sector模型的一般讨论方法 一般的two sector模型中，有两个状态变量和两个Hamilton乘子。因此，需要讨论4维系统的动力学特征。在这里，给出一个这种问题的一般分析方法。 对于two sector模型，我们既可以在古典框架下讨论，也可以在内生增长的框架下分析。两者的分别如下：在古典框架中，要求生产函数满足Inada条件，因此可以找出所有变量增长
14、率为0的均衡点。而在内生框架中，生产函数不满足Inada条件。这时均衡点的定义变成所有变量的增长率为常数。无论在哪种框架下讨论，都可以把系统在均衡点处线性化，用得到的系数矩阵分析系统的动态特征。 0max ( , )s.t. ( )( )tuche dtkfknkchgc h= =nullnull(2.17) 建立现值Hamilton函数 ( ) ( )(, ) () ()H uch f k nk c gc h =+ + (2.18) 在均衡点处，有0kh= =nullnullnullnull7。求得系统的均衡点，然后将系统在均衡点处线性化得到（其中J为44系数矩阵） *Jkkkhhh = n
15、ullnullnullnull(2.19) 记J的迹为()tr J =。记J的行列式为J。记K为J的所有二阶主子式之和。则有J的4个特征根的求根公式为 221,2,3,4142222KK J= (2.20) 7注意，这里我们是在古典的框架下讨论这个问题，所以均衡点处有这样的条件。如果是在内生增长的框架下讨论，则均衡条件应该变成四个变量的增长率为常数。 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 18系统的动力学特征有5种情况。 1) ()20, 02KKJ：根为纯虚根，可能出现limiting circle。 Limiting circle（极限环）是指在均衡点附近有一个周期性的轨道环。如果从环内（外）
16、的任意点出发，都收敛到环上，则环是稳定的，否则是不稳定的。 将系数矩阵44J记为某个参数的函数。()J 有特征根() ()i +。满足()J 有纯虚根，要求() 0=。其中为分支点。若极限环是稳定的，有 ()0dd (2.21) 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 19III 随机增长模型 在增长模型中，我们考虑的是一般均衡的模型。即模型中既有消费者行为，又有厂商行为，最后达到市场均衡。这与只考虑消费者行为的金融模型是不同的。 无论是确定性还是不确定性的情况下，如果不考虑政府，Ramsey模型（中央计划者模型）和分散经济的模型是等价的。因此，可以将Ramsey模型看成一个一般均衡的模型。但是如果
17、在Ramsey模型中引入政府行为，就和分散经济模型不等价了，也就不是一般均衡的模型了。这时的一般均衡模型需要另外给出。 4 一般均衡框架下的随机Ramsey模型（随机增长） Eaton, RES, 1981 Turnovsky, Methods of Macroeconomic Dynamics, 2000, Ch15 4.1 模型的设定 (1) 不确定性的来源 为了求得显示解，架设技术是线性的 dY Kdt Kdy = + (3.1) 其中dy是非标准的布朗运动。()0Edy=，2var( )ydy dt=。 政府公共开支 dG g Kdt Kdz = + (3.2) 其中dz是非标准的布朗
18、运动8。()0Edz=，2var( )zdz dt=。其中g指政府开支的确定性部分占产出的比例。如果设d为标准布朗运动增量，则2ydy d=，2zdz d =。 技术的不确定性(3.1)与政府开支的不确定性(3.2)是随机增长模型不确定性的来源。 (2) 消费者行为 消费者在两种资产中选择。分别是普通资产（K），其收益为 KK KdR r dt du=+ (3.3) 政府债券（government bonds, B），它的收益为 8注意，为了与Turnovsky书上的符号保持一致，这里我们用dz表示政府公共开支的波动。这里的dz不是标准的布朗运动。 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 20BB
19、BdR r dt du=+ (3.4) 与金融模型不同的是，在式(3.3)与(3.4)中的rK，uK，rB和uB都是模型内生决定的。在前者中，这些都是外生给定的。在模型中实际上还可以加上无风险资产BD，其收益是确定的BD DdR r dt=。可以将这种资产理解为政府指数化债券。但是在模型中加入它并不影响模型的结论。 消费者的总财富为W，其投资份额分别为KnKW=，BnBW=，1KBnn+=。消费者在资产上的收益除用来消费和纳税外，剩余部分用来增加财富量。因此，消费者的预算约束可以写为 KKBBdW n WdR n WdR dT cdt=+ (3.5) 其中dT为纳税的量。政府对政府债券的收益不
20、征税，而只对资本回报征税，且确定部分的回报和不确定的回报税率不同。因此9KK K KdT n Wr dt n Wdu=+ (3.6) 定义 (1 )KK BBnr nr+null (3.7) (1 )KK BBdw n du n du+null (3.8) dw可以写为2wdw d =，其中d为标准布朗运动增量。消费者的预算约束可以写为 cdW Wdt WdwW= +(3.9) 故消费者面临的优化问题为 0,max ( )s.t. KBtcn n Wuce dtcdW Wdt WdwW= +(3.10) 其中 1()1cuc=。 (3) 厂商行为 厂商用资本K作为唯一的投入，生产出产出Y。 (
21、)dY K dt dy= + (3.11) 9这里还可加上对消费征税ccdt，但是加上它对模型没有影响。这也是模型需要改进的地方，需要将消费税对经济的影响引入模型。 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 21(4) 政府行为 BdB dT dG BdR+=+ (3.12) (5) 市场均衡 均衡时，产品出清，资源平衡。GDP的恒等式成立 dY cdt dK dG= + (3.13) 4.2 模型的求解 (1) 消费者问题的求解 消费者的优化问题可以用动态规划求解。但是需要注意的是dw不是标准的布朗运动增量，因此需要首先将dw化成标准布朗运动增量的函数2wdw d =。则 2wcdW Wdt W d
22、W = +(3.14) 222 222(1 ) 2(1 )wBB KK BKBKnn n =+ + (3.15) ()2222(1) 2cov,wBB KBK BBn n du dwn=+ =(3.16) ()222(1 ) 2(1 ) 2cov (1 ) ,wKK BBK KKn n du dwn = + = (3.17) 定义现值值函数为 ()()max ()sttXW uce ds=可得递归方程（RE）为 2210max ()2s.t. 1WWWwBKcuc X X W X WWnn =+=(3.18) 建立拉格朗日函数 ()221() 12WWWwBKcL uc X X W X W n
23、 nW =+ + (3.19) 得最优性条件为 ( ) WWuc X c X = (3.20) 2cov( , ) 0WB W BXWr X W du dw+ = (3.21) 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 22( )2(1 ) cov (1 ) , 0KW WW KrXW X W du dw + = (3.22) 猜测解的形式为 1()XW W= (3.23) 其中为待定常数。可以解出 1211(1 ) (1 ) (1 )2wcW = = + (3.24) ()cov ,BBWrdudwXW= (3.25) ()(1 ) cov (1 ) ,KKWrdudwXW = (3.26) 式(3
24、.24)，(3.25)与(3.26)就是求解消费者问题得到的结果。消费者在rK，uK，rB和uB外生给定下，选择nK，nB和c使自己效用最大化。 (2) 厂商问题的求解 ( )KKKdR dY K dt dy r dt du=+=+ (3.27) Kr = (3.28) Kdu dy= (3.29) (3) 市场均衡 政府预算约束 ()()1BBKK BB K BB KKdB dBn dG BdR dTWBWg r n n r dt n dz n du n du = += + + +(3.30) GDP恒等式 ( )dK dY cdt dGK dt dy cdt g Kdt Kdz=+(3.3
25、1) ()1KdK cg dt dy dzKnW = + (3.32) 又 dW cdt dwWW= +(3.33) 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 23假设在平衡增长路径上有dB dK dWB KW=。由此均衡条件，再结合式(3.30)，(3.32)与(3.33)，可以解出 KKBBBnndu dy dz =+ +(3.34) ()22(1 )BK yzBrrn = + + (3.35) 22(1 ) ( )y z = + + (3.36) 因此，nB和nK可以显示求出。 4.3 模型的分析 (1) 比较静态分析 222(1 ) ( )yzdW c cEWW W= = + + null (
26、3.37) 在比较静态分析中，可以考虑g、2()y与2()z。 (2) Asset Pricing 定义市场证券组合Q，其确定性回报 222(1 ) ( )QBBKK y zrnrnr =+=+ + (3.38) 由消费者问题的求解结果，式(3.25)与(3.26)可知 ()22 21(1 )QyzrW =+(3.39) ( )()()1122 21cov ,(1 ) (1 )cov ,(1 ) var( )BBQyzBQdu dwrrWWdu dwrWdw =+=(3.40) ( )11cov (1 ) ,(1 )(1 ) (1 ) var( )KKQdu dwrrWWdw =(3.41)
27、式(3.40)与(3.41)就是资产定价CAPM的式子。 若引入Indexed Bond BD，其回报应为 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 241(1 )DrW=(3.42) 则有 ()(1 ) ( )BD BQDKD KQDrr rrrr rr = (3.43) 式(3.43)就是常见的CAPM公式。 4.4 小结 模型中外生变量有：（1）确定性的参数、g、和；（2）不确定的参数dy与dz。 模型中的内生变量有：（1）W、nB、nK；（2）rK、duK、rB、duB；（3）Y、dw、。 5. 随机增长模型的扩展 5.1 在模型中引入货币 在用MIU（Money in the Utility
28、 fn.）的形式将货币引入模型。现在消费者在三种资产：资本K，国债B和货币M中选择。由于引入了货币，就必须引入价格水平P。消费者的总财富可以表示为 B MWKP P=+ (3.44) 假设价格水平的变化服从一个几何布朗运动 dPdt dpP= + (3.45) 其中dp是一个布朗运动2pdp d=。 与式(3.4)中不同的是，这里我们假设国债是名义的。因此它的名义回报是确定的为sdB r Bdt=。此式结合(3.45)，由Ito公式可得 ()2sppBBdrdtdPP =+ (3.46) 消费者的问题可以重新写为 ()0,max ,s.t. KBMtMPnnnKKBBPMMPEuc edtdW n WdR n WdR n WdR cdt dT=+ + (3.47) 政府的预算约束可以写为 龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记 25BPBM BdT d d dG dRPP P + =+ (3.48) 货币发行量服从 mdMdt dm dt dM =+=+ (3.49)
