1、1高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（20162014 年）1.(2015福建，6)若 sin ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于( )513A. B. C. D.125 125 512 5122.(2014大纲全国，2)已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos ( )A. B. C. D.45 35 35 453.(2014新课标全国，2)若 tan 0，则( )A.sin 0 B.cos 0 C.sin 20 D.cos 204.(2016新课标全国，14)已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan
2、_.( 4) 35 ( 4)5.(2016四川，11)sin 750 _.6.(2015四川，13)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos 2的值是_B 组 两年模拟精选(20162015 年)1.(2016济南一中高三期中)若点 (4，a)在 图象上，则 tan 的值为( )12yxa6A.0 B. C.1 D.33 32.(2016贵州 4 月适应性考试) 若 sin ，且 ，则 sin ( )(2 ) 35 (2， ) ( 2)A. B. C. D.2425 1225 1225 24253.(2016南充市第一次适应性考试) 已知角 的终边经过点 P(2，1)，则 (
3、)sin cos sin cos A.3 B. C. D.313 134.(2015乐山市调研)若点 P 在 角的终边上，且 P 的坐标为 (1，y)，则 y 等于( )103A. B. C. D.33 33 3 35.(2015石家庄一模)已知 cos k，k R， ，则 sin()( )(2， )A. B. C.k D.1 k2 1 k2 1 k26.(2015洛阳市统考)已知ABC 为锐角三角形,且 A 为最小角,则点 P(sin A-cos B,3cos A-1)位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限27.(2016山东日照第一次模拟) 已知角 为第二象限角，
4、cos ，则 cos _.(2 ) 458.(2015湖南长沙一模)在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A( ，1)绕原点 O 逆时针旋转 90到点 B，那么点 B 坐3标为_，若直线 OB 的倾斜角为 ，则 tan 2 的值为_.专题二 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（20162014 年）1.(2016新课标全国，6)若将函数 y2sin 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为( )(2x 6) 14A.y2sin B.y2sin C.y2sin D.y2sin(2x 4) (2x 3) (2x 4) (2x 3)2.(2016新课标全国卷，3) 函数 yAsin(x)的
5、部分图象如图所示，则( )A.y2sin B.y2sin(2x 6) (2x 3)C.y2sin D.y2sin(x 6) (x 3)3.(2016四川，4)为了得到函数 ysin 的图象，只需把函数 ysin x 的图象上所有的点( )(x 3)A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度3 3C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度3 34(2015新课标全国，8)函数 f(x)cos(x )的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )A. ，k Z B. ，kZ C. ，k Z D. ，kZ(k 14， k 34) (2k 14， 2k 34)
6、(k 14， k 34) (2k 14， 2k 34)5.(2015山东，4)要得到函数 ysin 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象( )(4x 3)A向左平移 个单位 B向右平移 个单位12 12C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 3 36.(2014天津，8)已知函数 f(x) sin xcos x(0)，xR.在曲线 yf(x) 与直线 y1 的交点中，若相邻交3点距离的最小值为 ，则 f(x)的最小正周期为 ( )3A. B. C. 2 23 D.237.(2014陕西，2)函数 f(x)cos 的最小正周期是( )(2x 4)A. B. C.2 D.428.(2014四
7、川，3)为了得到函数 ysin(x1) 的图象，只需把函数 ysin x 的图象上所有的点( )A向左平行移动 1 个单位长度 B向右平行移动 1 个单位长度C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度9.(2014浙江，4)为了得到函数 ysin 3xcos 3x 的图象，可以将函数 y cos 3x 的图象( )2A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位12 4 12 410.(2014安徽，7)若将函数 f(x)sin 2xcos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是( )A. B. C. D.8
8、 4 38 3411.(2014新课标全国，7)在函数 y cos|2x|，y|cos x|，y cos ，(2x 6)ytan 中，最小正周期为 的所有函数为( )(2x 4)A. B. C. D.12.(2014福建，7)将函数 ysin x 的图象向左平移 个单位，得到函数 yf (x)的图象，则下列说法正确的是( )2A.yf(x) 是奇函数 B.yf (x)的周期为 C.yf(x)的图象关于直线 x 对称 D.yf (x)的图象关于点 对称2 ( 2， 0)13.(2016新课标全国，14) 函数 ysin x cos x 的图象可由函数 y2sin x 的图象至少向右平移_个单3位
9、长度得到.14.(2015天津，11)已知函数 f(x)sin xcos x(0)，x R.若函数 f(x)在区间( ，)内单调递增，且函数yf(x) 的图象关于直线 x 对称，则 的值为_15.(2015陕西，14)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y3sin k，据此函数可知，这段时间水深( 单位：m)的最大值为_(6x )16.(2015湖南，15)已知 0，在函数 y2sin x与 y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 ，则 _.3417.(2014重庆，13)将函数 f(x)sin(x )(0， )图象上每一点的横坐标缩短为原来的
10、一半，纵坐标2 2不变，再向右平移 个单位长度得到 ysin x 的图象，则 f _.6 (6)18.(2015湖北，18)某同学用 “五点法”画函数 f(x)Asin(x) 在某一个周期内的图象时，列表(0， |0， |0，则 sin sin ，故选 A. 答案 A(2， ) ( ) 1 cos2 1 k26.解析 由题意得，AB 即 A B，且 A ， B0， 2 2 (0， 3) 2故 sin Asin cos B，即 sin Acos B0， 3cos A13 1 ， 故点 P 在第一象限. 答案 A(2 B) 12 127.解析 sin cos ， 又 为第二象限角， 所以 cos
11、. 答案 (2 ) 45 1 sin2 35 358.解析 设点 A( ，1)为角 终边上一点，如图所示，|OA|2，3由三角函数的定义可知：sin ，cos ，则 2k (kZ)， 则 A(2cos ，2sin )，12 32 6设 B(x，y)，由已知得 x2cos 2cos 1，y2sin 2sin ，( 2) (2k 23) ( 2) (2k 23) 3所以 B(1， )，且 tan ，所以 tan 2 . 答案 ( 1， ) 3 32tan 1 tan2 3 3 3专题二 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（20162014 年）答案精析1.解析 函数 y2sin 的周期为 ，
12、将函数 y2sin 的图象向右平移 个周期即 个单位，所得函数(2x 6) (2x 6) 14 4为 y2sin 2sin ，故选 D. 答案 D2(x 4) 6 (2x 3)2.解析 由题图可知，T2 ，所以 2，由五点作图法可知 2 ，所以 ，3 ( 6) 3 2 6所以函数的解析式为 y2sin ，故选 A. 答案 (2x 6) A163.解析 由 ysin x 得到 ysin(xa)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4.解析 由图象知 1， T2.由选项知 D 正确 答案 D T2 54 145.解析 ysin sin ，(4x 3) 4(x 12)要得到函数 ysin
13、 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 个单位 答案 B (4x 3) 126.解析 由题意得函数 f(x)2sin (0)， 又曲线 yf(x) 与直线 y1 相邻交点距离的最小值是 ，(x 6) 3由正弦函数的图象知，x 和 x 对应的 x 的值相差 ， 即 ，解得 2，6 6 6 56 3 23 3所以 f(x)的最小正周期是 T . 答案 C 27.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得 T . 答案 B 228.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选 A. 答案 A 9.解析 因为 ysin 3xcos 3x cos ，所以将 y cos 3x 的图象向右平移 个单位
14、后可得到2 (3x 4) 2 12y cos 的图象答案 A 10.解析 方法一 f(x) sin ，2 (3x 4) 2 (2x 4)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后所得图象对应的函数解析式为 y sin ，由该函数为偶函数2 (2x 4 2)可知 2 k ，kZ ， 即 ，kZ， 所以 的最小正值为 .4 2 k2 38 38方法二 f(x) cos ，将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后所得图象对应的函数为2 (2x 4)y cos ，且该函数为偶函数， 故 2 k，kZ， 所以 的最小正值为 . 答案 C 2 (2x 4 2) 4 3811.解析 ycos|2x |，最小正
15、周期为 ；y |cos x|，最小正周期为 ；y cos ，最小正周期为 ；(2x 6)ytan ，最小正周期为 ，所以最小正周期为 的所有函数为，故选 A. 答案 A (2x 4) 212.解析 函数 ysin x 的图象向左平移 个单位后，得到函数 f(x)sin cos x 的图象，f (x)cos x 为偶函数，2 (x 2)排除 A；f(x) cos x 的周期为 2，排除 B；因为 f cos 0，所以 f(x)cos x 不关于直线 x 对称，排除(2) 2 2C；故选 D. 答案 D 1713.解析 ysin x cos x2sin ，由 y2sin x 的图象至少向右平移 个
16、单位长度得到. 答案 3 (x 3) 3 314.解析 f(x)sin x cos x sin ， 由 2 kx 2k ，k Z ，2 (x 4) 2 42得 2kx 2k， 由题意 f(x)在区间(，)内单调递增，可知 k0， ，34 4 2又函数 yf(x) 的图象关于直线 x 对称， 所以 sin(2 )1， 2 ， 所以 . 答案 4 4 2 2 215.解析 由题干图易得 ymink32，则 k5， y maxk38. 答案 8 16.解析 由 知 sin xcos x， 即 sin xcos x 0， sin 0，y 2sin x，y 2cos x， ) 2 (x 4)x k，x
17、(kZ )， 两函数交点坐标为 (k0，2，4，)，4 1(4 k) (1(4 k)， 2)或 (k，3，1，1，3，) 最短距离为 2 ，(1(4 k)， 2) （ 22） 2 22 3 4， . 答案 22 2 217.解析 把函数 ysin x 的图象向左平移 个单位长度得到 ysin 的图象，6 (x 6)再把函数 ysin 图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，(x 6)得到函数 f(x)sin 的图象， 所以 f sin sin . 答案 (12x 6) (6) (126 6) 4 22 2218.解 (1)根据表中已知数据，解得 A5，2， .数据补全如下表：6x
18、 0 2 32 2x12 3 712 561312Asin(x ) 0 5 0 5 0且函数表达式为 f(x)5sin .(2x 6)(2)由(1)知 f(x)5sin ， 因此 g(x)5sin 5sin .(2x 6) 2(x 6) 6 (2x 6)因为 ysin x 的对称中心为(k ，0)，kZ . 令 2x k ，解得 x ，kZ .6 k2 12即 yg(x) 图象的对称中心为 ，k Z，其中离原点 O 最近的对称中心为 .(k2 12， 0) ( 12， 0)1819.解 (1)f(8)10 cos sin 10 cos sin 10 10.3 (128) (128) 3 23
19、23 3( 12) 32故实验室上午 8 时的温度为 10 .(2)因为 f(t)102 102sin ，又 0t24， 所以 t ，(32cos 12t 12sin 12t) (12t 3) 3 12 3 731sin 1. 当 t2 时，sin 1；当 t14 时，sin 1.(12t 3) (12t 3) (12t 3)于是 f(t)在0 ，24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12 ，最低温度为 8 ，最大温差为 4 .20.解 (1)由 2k 3x 2k，kZ， 得 x ，kZ.2 42 4 2k3 12 2k3所以函数 f(x)的单调递增区间为 ，kZ
20、. 4 2k3， 12 2k3(2)由已知，有 sin cos (cos2sin 2)，( 4) 45 ( 4)所以 sin cos cos sin (cos2 sin 2 )，4 4 45(cos cos 4 sin sin 4)即 sin cos (cos sin )2(sin cos )45当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，知 2k，kZ，此时 cos sin .34 2当 sin cos 0 时，有(cos sin )2 .54由 是第二象限角，知 cos sin 0，此时 cos sin .52综上所述，cos sin 或 cos sin .25221.解 f(x)2si
21、n x cos x2cos 2xsin 2xcos 2x1 sin 1.2 (2x 4)(1)f sin 1 sin 12.(54) 2 114 2 4(2)T . 由 2k 2x 2k ，kZ ， 得 k xk ，kZ.22 2 4 2 38 8所以 f(x)的单调递增区间为 ，k Z.k 38， k 822.解 (1)f(x) 的最小正周期为 ，x 0 ，y 03.7619(2)因为 x ，所以 2x . 于是当 2x 0，即 x 时，f( x)取得最大值 0； 2， 12 6 56， 0 6 12当 2x ，即 x 时， f(x)取得最小值3.6 2 3B 组 两年模拟精选(201620
22、15 年)1.解析 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，则有 g(x)cos . 答案 B12 (2x 6)2.解析 依题意得 T 4 ，2，f cos 1，2 (712 3) (3) ( 6)又|0). 则 aksin A，bksin B，cksin C .asin A bsin B csin C25代入 中，有 ，变形可得：sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(A B).cos Aa cos Bb sin Cc cos Aksin A cos Bksin B sin Cksin C在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C， 所以 si
23、n Asin Bsin C.(2)解 由已知，b 2c 2a 2 bc， 根据余弦定理，有 cos A . 所以 sin A .65 b2 c2 a22bc 35 1 cos2A 45由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以 sin B cos B sin B，故 tan B 4.45 45 35 sin Bcos B17.解 (1)由余弦定理知，BC 2AB 2AC 22ABACcos A49223 7， 所以 BC .12 7(2)由正弦定理知， ， 所以 sin C sin A .ABsin C BCsin A ABBC 2sin 607 217因
24、为 ABBC，所以 C 为锐角，则 cos C .1 sin2C1 37 277所以 sin 2C2sin Ccos C2 .217 277 43718.解 (1)由正弦定理得 ， .ADsin B BDsin BAD ADsin C DCsin CAD因为 AD 平分BAC，BD 2DC，所以 .sin Bsin C DCBD 12(2)因为C180(BAC B) ，BAC60，所以 sinC sin(BACB) cosB sinB.32 12由(1)知 2sinB sinC， 所以 tanB ，即B30.3319.解 (1)在ABC 中，由 cos A ，可得 sin A . 由 SABC
25、 bcsin A3 ，得 bc24，14 154 12 15又由 bc2，解得 b6，c4. 由 a2b 2c 22bccos A，可得 a8. 由 ，得 sin C .asin A csin C 158(2)cos cos 2Acos sin 2Asin (2cos2A1) 2sin Acos A .(2A 6) 6 6 32 12 15 731620.解 在ABC 中，由 cos B ，得 sin B . 因为 ABC，所以 sin Csin(AB) .33 63 69因为 sin Csin B ，所以 CB，可知 C 为锐角， 所以 cos C .539所以 sin Asin(BC)si
26、n Bcos Ccos Bsin C .63 539 33 69 223由 ，可得 a 2 c， 又 ac2 ，所以 c1.asin A csin C csin Asin C223c69 3 321.解 (1)由正弦定理知 2R， a2Rsin A，b2Rsin B，asin A bsin B csin C代入 abtan A，得 sin Asin B ， 又A(0，)， sin A0， 1 ，即 sin Bcos A .sin Acos A sin Bcos A(2)由 sin Csin Acos B 知，sin(AB)sin Acos B ， cos Asin B .43 43 3426由
27、(1)知 sin Bcos A，cos 2A ， 由于 B 是钝角，故 A ，34 (0， 2)cos A ，A ，sin B ，B ， C( AB) .32 6 32 23 622.解 (1)由 tan 2，得 tan A ， 所以 .(4 A) 13 sin 2Asin 2A cos2A 2tan A2tan A 1 25(2)因为 tan A ，A(0，)， 所以 sin A ，cos A .13 1010 31010又由 a3，B 及正弦定理 得 b3 . 由 sin Csin(AB)sin 得 sin C ，4 asin A bsin B 5 (A 4) 255设ABC 的面积为 S
28、，则 S absin C9.1223.解 (1)由题设及正弦定理可得 b22ac. 又 ab，可得 b2c ，a2c. 由余弦定理可得 cos B .a2 c2 b22ac 14(2)由(1)知 b22ac . 因为 B90，由勾股定理得 a2c 2b 2. 故 a2c 22ac，得 ca .2所以ABC 的面积为 1.24.解 (1)由题意可知：c8(ab) .72由余弦定理得：cos C .a2 b2 c22ab22 (52)2 (72)2 2252 15(2)由 sin Acos2 sin Bcos 2 2sin C 可得：sin A sin B 2sin C，B2 A2 1 cos B
29、2 1 cos A2化简得 sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C. 因为 sin Acos Bcos A sin Bsin(AB) sin C，所以 sin Asin B3sin C. 由正弦定理可知：ab3c. 又因 abc8，故 ab6.由于 S absin C sin C，所以 ab9， 从而 a26a90，解得 a3，b3.12 9225.解 (1)在ABC 中，由题意知 sin A ，又因为 BA ，所以 sin Bsin cos A .1 cos2 A33 2 (A 2) 63由正弦定理可得 b 3 .asin Bsin A3 6333 2(2)
30、由 B A 得 cos Bcos sin A . 由 ABC，得 C(AB) 2 (A 2) 33所以 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B .33 ( 33) 63 63 13因此ABC 的面积 S absin C 33 .12 12 213 32226.(1)证明 a，b，c 成等差数列，ac2b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin ( AC ) sin(A C)， sin Asin C 2sin(AC)(2)解 由题设有 b2ac，c2a， b a， 由余弦定理得 cos B .2a2 c2 b22ac a2 4a2
31、 2a24a2 3427.解 设CED. (1)在CDE 中，由余弦定理得，EC 2CD 2DE 22CDDEcos EDC.由题设知，7CD 21CD，即 CD2CD60. 解得 CD2(CD3 舍去)27在CDE 中，由正弦定理得， ，于是 sin ，即 sinCED .ECsin EDC CDsin CDsin23EC 2 327 217 217(2)由题设知，0 ，于是由(1) 知，cos .而AEB ，3 1 sin2 1 2149 277 23所以 cos AEBcos cos cos sin sin cos sin .(23 ) 23 23 12 32 12277 32 217
32、714在 RtEAB 中， cosAEB ， 故 BE 4 .EABE 2BE 2cos AEB 2714 7B 组 两年模拟精选(20162015 年)1.解析 由题意得 ，则 cos C ，所以 sin C ，所以 C 或 .答案 Aa2 b2 c22ab 12 tan C cos C2sin C 12 6 562.解析 由 c2( ab) 26，可得 a2b 2c 22ab6，C .由余弦定理得 2abcos C2ab6，则 ab6，3所以ABC 的面积为 absin C 6 ，故选 C.答案 C12 12 32 3323.解析 由 lg blg lg lg lg ，得 ，即 c b.由
33、 lg sin Alg ，得 sin A ，(1c) bc 2 22 bc 22 2 2 22由余弦定理：a 2b 2c 22bccos A 得 ab，故 BA45，因此 C90.答案 D4.解析 a2Rsin A，b2Rsin B，sin(AB )sin A cos Bcos Asin B，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，(a 2b 2)sin(AB)(a 2b 2)sin C 可整理为 sin2Bsin Acos Bsin 2Acos Asin B，A，B 为ABC 内角，sin A0，sin B0，故 sin 2Asin 2B，即 2A2B 或 2A18
34、0 2B，即 AB 或 AB90.答案 D5.解析 在ABC 中，由正弦定理得 ，AB50 (m). 答案 ABCsin 30 ABsin 45 26.解析 由 tan A7tan B 可得 ，即 sin Acos B7sin Bcos A，sin Acos A 7sin Bcos B所以 sin Acos Bsin Bcos A8sin Bcos A，即 sin(AB) sin C8sin Bcos A，由正、余弦定理可得 c8b ，即 c24b 24c 24a 2，b2 c2 a22bc又 3，所以 c24c ，即 c4.故选 A. 答案 Aa2 b2c7.解析 由余弦定理得 c2a 2b
35、 22abcos C14221 4，即 c2，14cos A ，sin A . 答案 b2 c2 a22bc 4 4 1222 78 158 1588.解 (1)(sin Asin Bsin C)(sin Bsin C sin A)3sin Bsin C ，由正弦定理得(abc)( bca) 3bc ，b 2c 2a 2bc ，cos A .A (0 ，)，A .b2 c2 a22bc 12 328(2)由 A 得 BC ，3 23 sin Bcos C sin Bcos sin B 、 sin .3 3 (23 B) 3 ( 12cos B 32sin B) (B 6)0B ， B ，23 6 6 56当 B ，即 B 时， sin Bcos C 的最大值为 1.6 2 3 3
