1、1初一秋季第 1 讲尖子班教师版满分晋级阶梯实数 5 级有理数综合运算实数 4 级有理数与数轴实数 3 级有理数的混合运算秋季班第二讲秋季班第一讲暑期班第三讲长度单位漫画释义1有理数与数轴2初一秋季第 1 讲尖子班教师版知识、题型切片知识点切片（3 个） 2+1+1有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义知识点目标绝对值与数轴（1） 1、绝对值的几何意义题型切片（6 个） 对应题目用数轴表示数 例 1、练习 1数轴上点、线段的移动 例 2、例 3、练习 2利用数轴比较大小 例 4、练习 3利用数轴性质建立方程求点对应的数 例 5、练习 4数轴折叠
2、例 6、练习 5题型目标周期问题与数轴 例 7、练习 6思路导航数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如 .相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数特别地， 的相反数是 .数轴上，位于原点0两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离数 的绝对值记作 正aaaa数的绝对值是它本身
3、，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.用数轴表示数【例 1】 在数轴上画出表示 各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，12.54025， ， ， ，用“ ”连接起来.如图，数轴上表示数 的相反数的点是（ ）A点 B点 C点 D点PQMN数轴的单位长度 为 1，点 ， 表示的数的绝对值相等，那么点 表示的数是（ ABA）3210练2PQNMB3初一秋季第 1 讲尖子班教师版A B C D 420【解析】分别将数的对应点在数轴上画出，如 图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到 .B.1420.5A数轴上点、线段的移动【例 2】 数轴上有
4、一点 ，它表示的有理数是 ，将点 向左移动 个单位得到点 ，再向3A3B右移动 个单位，得到点 ，则点 表示的数是 ，点 表示的数是 8CC在数轴上，坐标是整数的点称为“整点” 设数轴的单位长度是 厘米，若在这个数1轴上随意画出一条长 厘米的线段 ，则线段 盖住的整点至少有 个，2013B至多有 个【 由数轴的基本定义可知为 .62，2013；2014 针对例 2的铺垫：1、在数轴上，表示 和 的两个点之间有 个整数（含 和19 19） 9在数轴上，表示 和 的两个点之间有 个整数.【 ； 3针对例 2的拓展：1、设数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长 厘米的线段1 1203，
5、则线段 盖住的整点至少有 个，至多有 个AB2、设数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长 （ 为正整数）M厘米的线段 ，则线段 盖住的整点至少有 个，至多有 个AB3、设数轴的单位长度是 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长 （ ，1 1m为正整数）厘米的线段 ，则线段 盖住的整点至少有 个，至多有 m个【 1、 ； .2042、 ， .M3、 ， .【例 3】 一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进 步后退 步的程序运动，设32该机器人每秒钟前进或后退 步，并且每步的距离为 个单位长， 表示第 秒时机器11nx人在数轴上的位置所对应的数.求 、 的值.3x5比较 与 的大
6、小.2014电子跳蚤在数轴上的某一点 ，第一步由点 向左跳 个单位到点 ，第二步由0K0K1K点 向右跳 个单位到点 ，第三步由点 向左跳 个单位到点 ，第四步由点1K2233向右跳 个单位到点 ，按以上规律跳了 步时，电子跳蚤落在数轴上的点3 452.50-212-4543210-1-2-3-4-54初一秋季第 1 讲尖子班教师版所表示的数恰好是 求电子跳蚤的初始位置点 所表示的数10K19.40K【解析】 ， . ， ， .3x52035x2014x20134x假设电子跳蚤的起点 为 ，规定向左为负，向右 为正，根据题意可得：K， 02469. 0.6利用数轴比较大小【例 4】 有理数 在
7、数轴上的对应点如图，试比较 的大小.ab， abab， ， ， ， ， 0ba已知 是不为 的有理数，且 ，那么用数轴上的点来表示， 0， ，正确的应该是哪一个（ ）ab， DC BA ab 0 ab0a b 00 ba【解析】根据 在数轴上的位置可知， ，且 的绝对值比 的绝对值大，所以b， a， a2b.a C，根据 题意， ，且在数 轴上 的对应点与原点的距离较 的对应点大.，利用数轴的性质建立方程求点对应的数【例 5】 如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点 、 、 、 对ABCD应的数分别为整数 、 、 、 ，且 试问：数轴上的原点在哪一点上？abcd24a A B
8、 C D M N a b c d 如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距 个单位，点 、 、 、 对应1AB的数分别是整数 、 、 、 若 ，那么与数轴原点最接近的点是（ ）2AA 点 BB 点 CC 点 DD 点 若 ，那么与数轴原点最接近的点是（ ）7abAA 点 BB 点 CC 点 DD 点如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数 、a、 、 所表示的点是这些点中的 个，且在数轴上的位置如图所示，已知bcd4，求 的值.34a2c dcba【解析】由数轴可知， ，代入 得 ，解得 所以原点应在点3da24da3241DCBA5初一秋季第 1 讲尖子班教师版
9、处 BC ， ， ， ， (3)(4)(7)2aa4a1b0c3d A ， ， ， 70 . 提示： .22b数轴折叠【例 6】 已知在纸面上有一数轴（如图） ，折叠纸面10 若 1 表示的点与 表示的点重合，则 表示的点与数 表示的点重合：2 若 表示的点与 3 表示的点重合，则 5 表示的点与数 表示的点重合； 若数轴上 A、B 两点之间的距离为 c 个单位长度，点 A 表示的有理数是 a，并且A、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【 ； ； 此时 折线与数轴的交点表示的有理数是 .2 12ac周期问题与数轴【例 7】 如图所示，数轴被折成 ，圆的周长为
10、个单位长度，在圆的 等分点处标上数字 ，90440， ， 先让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，数轴固定，12323圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数 将与圆周上的数字 201重合？98765431023【解析】 ，则与数字 重合2013451 0针对例 7 的铺垫：如图所示，圆的周长为 个单位长度，在圆的 等分点处 标上数字 ， ， ， 先4423让圆周上数字 所对应的点与数轴上的数 所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向1绕在该圆上，那么数轴上的数 将与圆周上的数字 重合232 10-5 -4 -3 -2 -1 0【解析】 ，则与数字 重合2014530针对例
11、7 的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为 ，宽为 的长方形，圆的周长为 且圆上刻一指324针，若 1 在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与 接触的时候，7指针的方向是（ ）6初一秋季第 1 讲尖子班教师版DCBA7 6543210-12、如图，边长为 的等边三角形 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向BC右滚动，当三角形的一个顶点落在 处时，三角形停止滚动.01x落在 处的点是 的哪个顶点？说明理由.013xA在滚动过程中，点 走过的路程是多少？ 201310CBA3、把一数轴折成如图所示，第 段为 个单位长度，第 段为 个单位长度，第 段为12个单位长度，点 处有一
12、个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为 个O 4单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点 接触时，指针指向 （东、南、西、北） ，当圆与 接触时，指针指向 （东、南、西、北） 209O【A-1 0【解析】1、C 2、顶点 ； .8943、在直的数轴上，线段 ， ，指针指向北；1AO401，因为 ， ，故 在点 的西边，09(1)2036263267209O，指针指45向西7初一秋季第 1 讲尖子班教师版思维拓展训练(选讲)练练 1. 已知 与 互为相反数，求ab200230abab【 0. 因为 与 互为相反数，所以 ，从而得到0ab，所以原式等于 .0练练 2. 在数轴上任取一条
13、长度为 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点19的个数为 .【 .20练练 3. 设 是大于 1 的有理数，若 ， ， 在数轴上对应的点分别记作 ，aa231aA， ，则 ， ， 三点在数轴上自左至右的顺序是 .BCABC（人大附中期中）【 .练练 4. 、 、 、 分别为有理数， 是绝对值最小的有理数， 是最小的正整数， 的abcdabc相反数是其本身， 为负数且它的倒数是本身求： 的值；a的值 非零整数 ， 满足 ，所有这样的有序（即 ）整mn|50n,mn和 不 同数组 共有 组，（清华附中期中）【 ， ；0ab2cd ，5n若 ， ，有 ， ， ， ；1m41， 4， 1，
14、4，若 ， ，有 ， ， ， ；23， 3， 2， 3，若 ， ，有 ， ， ， ；2， ， ， 2，若 ， ，有 ， ， ， .n， ， ， 1，所以共有 16 组8初一秋季第 1 讲尖子班教师版复习巩固用数轴表示数【练习 1】 一辆货车从超市出发，向东走了 到达小彬家，继续向前走了 到达小颖家，3km1.5km然后向西走了 到达小明家，最后回到超市9.5km以超市为原点，向东作为正方向，用 个单位长度表示 ，在数轴上表示出小明，1小彬，小颖家的位置.小明家距离小彬家多远？货车一共行驶了多少千米？【解析】如图所示： 【 【0-6-5-4-3-2-1 54321小明距离小彬家 8km货车共行驶
15、了 .31.591k数轴上的点、线段的移动【练习 2】 在数轴上，点 和点 都在与 对应的点上，若点 以每秒 个单位长度的速AB54A3度向右运动，点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，则 秒之后，点 和点 所处的27B位置对应的数是什么？这时线段 的长度是多少？在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是 ，若在这个数轴上随1cm意画出一条长 的线段 被线段 盖住的整数有（ ）个07cmABA 或 B 或 C 或 D 或2562067207820809【解析】点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，线段 的长度是 ；C.9414AB35利用数轴比较大小【练习 3】 数 所对应的点 在数轴上
16、的位置如图所示，那么 与 的abcd， ， ， ABCD， ， ， acbd大小关系为 .【解析】 .利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习 4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 个单位，点 、 、 、 对应的1ABCD整数 、 、 、 ，且 ，那么数轴的原点对应点是（ ） abcd29baA 点 B 点 C 点 D 点 DCBA【解析】C ， 2(4)9b1b0D CBA9初一秋季第 1 讲尖子班教师版数轴折叠【练习 5】 已知在纸面上有一数轴（如图） ，折叠纸面10 若 表示的点与 表示的点重合，则 7 表示的点与数 表示的点重合；15 若数轴上 A、B 两点之间的距离为 个单位
17、长度，点 A 表示的有理数是 ，并且8 10A、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】 ；此时折线与数轴的交点表示的有理数是 或 .3 614周期问题与数轴【练习 6】 如图，圆的周长为 ，在圆的三等分点处标上数字 、 、 . 圆从图示的位置向右302滚动，那么数轴上的 2013 将与圆上哪个数字重合？ 120 201321【解析】 .1数学史数轴是谁最先发现的？勒内笛卡儿 1596 年 3 月 31 日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650 年 2 月 11 日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
18、他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。黑格尔称他为“现代哲学之父”。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。堪称 17 世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。数学活动动手操作，你需要哪些工具，能在数轴上找到 .试着画出-3 -2 -1 432106初一秋季第 1 讲尖子班教师版第十三种品格：公平为自己拥有的而欣喜 一个小男孩几乎认为自己是世界上最不幸的孩子，因为患脊髓灰质炎而留下了瘸腿和参差不齐且突出的牙齿他
19、很少与同学 们游戏或玩耍，老师叫他回答问题时，他也总是低着头一言不发在一个平常的春天，小男孩的父亲从邻居家讨了一些树苗，他想把它 们栽在房前他叫他的孩子们每人栽一棵父亲对孩子们说，谁栽的树苗长得最好，就给谁买一件最喜欢的礼物小男孩也想得到父 亲的礼物但看到兄妹们蹦蹦跳跳提水浇树的身影，不知怎么地，萌生出一种阴冷的想法：希望自己栽的那棵树早点死去因此 浇过一两次水后，再也没去搭理它几天后，小男孩再去看他种的那棵树时，惊奇地 发现 它不仅 没有枯萎，而且还长出了几片新叶子，与兄妹们种的 树相比， 显得更嫩绿、更有生气父亲兑现了他的诺言，为小男孩 买了一件他最喜欢的礼物，并对他说，从他栽的树来看，他长大后一定能成为 一名出色的植物学家从那以后，小男孩慢慢变得乐观 向上起来一天晚上，小男孩躺在床上睡不着，看着窗外那明亮皎洁的月光，忽然想起生物老师曾说过的话：植物一般都在晚上生长。何不去看看自己种的那颗小树当他 轻手轻脚来到院子里时，却看见父亲 用勺子在向自己栽种的那棵 树下泼洒着什么顿时，一切他都明白了，原来父 亲一直在偷偷地为自己栽种的那颗小树浇水、施肥！他返回房间，任凭泪水肆意地奔流 ，不再 为自己的不幸而悲 伤，反而为自己拥有的而欣喜。几十年过去了，那瘸腿的小男孩 虽然没有成为一名植物学家，但他却成为了美国总统，他的名字叫富兰克林罗斯福今天我学到了
