1、高考三角函数1.特殊角的三角函数值：sin = 0cos = 1tan = 0sin3 =021cos3 =03tan3 =0sin =0452cos =0tan =1045sin6 =023cos6 =01tan6 = 3sin9 =10cos9 =0tan9 无意义02角度制与弧度制的互化： ,2360,1803 00456 9 000350118 027 036 00 63246233.弧长及扇形面积公式弧长公式： 扇形面积公式:S=rl.rl.1-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径4.任意角的三角函数设 是一个任意角，它的终边上一点 p（x,y）, r= 2yx(1)正弦 sin =
2、 余弦 cos = 正切 tan =ryrx(2)各象限的符号：xy+cosin2+O +xyO + + +yOsin cos tan5.同角三角函数的基本关系：- + （1）平方关系：sin 2 + cos2 =1。 （2）商数关系： =tancosin（ ）zk,6.诱导公式：， ， 1sin2sinkco2cosktan2tank， ， ， ， 3sisicstata， ， 4nosconn口诀：函数名称不变，符号看象限， 5sics2si2， 6inoin口诀：正弦与余弦互换，符号看象限7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质8、三角函数公式：降幂公式： 升幂公式 ： 1+cos
3、= cos22coscos11-cos = sin2in 9 正弦定理 ：.2siisiabcRABC余弦定理：;22oA;cca.sb三角形面积定理. .11insisin22SbcAaB1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC 中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2。 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB ，cos Asin B ，tanA 。cb2斜三角形中各元素间的关系：在ABC 中，A 、B、C 为其内角， a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC
4、。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等两角和与差的三角函数关系sin( )=sin cos cos sincos( )=cos cos sin sintan1t)t(倍角公式sin2 =2sin coscos2 =cos2 -sin2=2cos2 -1=1-2sin22tan1ta。RCcBbAa2sinisin（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b 2c 22bc cosA；b 2c 2a 22ca cosB；c 2a 2b 22abcos C。3三角形的面积公式：（1） aha bhb
5、chc（h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 上的高） ；1（2） absinC bcsinA acsinB；24解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC 的三边为 a、b、c ，对应的三个角为 A、B、C。（1）角与角关系：A+ B+C = ；（2）边与边关系
6、：a + b c，b + c a，c + a b，ab b；（3）边与角关系：正弦定理 （R 为外接圆半径） ；2sinisin余弦定理 c2 = a2+b22bc cosC，b 2 = a2+c22accos B，a 2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA， ， 。i aos5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC 中， A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；2sinco,2ssinCBACBA四 【典例
7、解析】题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四次月考）.已知 中， Aa， b， 0a， 154ABCS，3,5ab，则 BAC（ ） A. 0 B 10 C 015 D 3或 015答案 C例 1 （1）在 中，已知 ， ， cm，解三角形；A032.08.B42.9a（2）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到abA011cm） 。解析：（1）根据三角形内角和定理，；08()CAB0018(32.1.8)06.2根据正弦定理，；0sin42.9si()abcm根据正弦定理， 0si.si6.74.1()n32CcA（2）根据正弦定理， 0si8ini .9
8、bBa因为 ，所以 ，或00164016.B当 时， ，640 0()8(4)76CA0sin2i73.accmA当 时，1B，0008()8(416)24C 0sin2i413().aCccmA点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例 2 （1）在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A；23a62c0B（2）在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形14.m87.b1.7cm解析：（1） 2osbcB= cos(3)6)3(62) 045= 241)=8 .b求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理
9、：A解法一：cos 22222()6)(31,bca 06.A解法二：sin 03sinsi45,2B又 ，即 62.413.8,21.836,ac0A09, 0.A（2）由余弦定理的推论得：cos22bca2227.6.4.817053,；056cos22Bca2234.6.89,；030018()18(53)CA047.点评：应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。题型 2：三角形面积例 3在 中， ， ， ，求 的值和Bsinco2CAB3tan的面积。AC解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。.21)45cos(,2)45cos(inA又 , 084560,15.A,3tan
10、t()2.4620sin45co60s45in)6045si(10is A。SCBAAB21233i ()解法二：由 计算它的对偶关系式 的值。sincosincoA.0cos,sin,1802cosin21)(2AA,23)(si2inco6 + 得 。sinA264 得 。co从而 。sin264ta 23A以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例 4 （2009 湖南卷文）在锐角 ABC中， 1,2,A则 cosC的值等于 ，AC的取值范围为 . 答案 2 )3,
11、( 解析 设 2.B由正弦定理得,12.sin2icoscsAAC由锐角 得 029045，又 1836，故 233cos ，2cos(,).AC例 5 （2009 浙江理） （本题满分 14 分）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且满足2cosA， 3B （I）求 C的面积； （II）若 6bc，求 a的值解 （1）因为 5s2， 234os1,sin5A，又由3AB得 cos,b5bc， si2ABCSbc （2）对于 ，又 6， 5,1或 ,5，由余弦定理得2s20a， a 例 6 （2009 全国卷理）在 ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、 b、 c，已知2a
12、cb，且 sinco3sin, 求 b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 2c左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sino3sin,AC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在 ABC中 sinco3sin,A则由正弦定理及余弦定理有:2223,abcab化简并整理得： 22()acb.又由已知 2acb24.解得 40(或 舍 ） . 解法二:由余弦定理得: 22cosacA.又 2acb, 0.所以 cosbA 又 sin3inC， isin4o
13、sinCACsin()4cosinAC，即 si4cosinBAC由正弦定理得 ibB，故 由，解得 .评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型 4：三角形中求值问题例 7 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大值，ABCBC、 、 cos2BC并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得 = ，所以有 cos =sin 。B+C2 2 A2 B+C2 A2cosA+2cos =cosA+2sin =1 2sin2 + 2si
14、n =2(sin )2+ ；B+C2 A2 A A2 A2 12 32当 sin = ，即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。A2 12 3 B+C2 32点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例 8 （2009 浙江文） （本题满分 14 分）在 A中，角 ,B所对的边分别为 ,abc，且满足25cosA， 3BC （I）求 的面积； （II）若 1c，求 a的值解（） 53)2(cos2 A 又 ),0(A， 41in2，而 35cos bACBA，所以 5bc，所以 BC的面积为： 2541sinbc（）由（）知
15、c，而 1，所以所以 325os22 Aa点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力题型 5：三角形中的三角恒等变换问题例 9在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且a2c 2=acbc，求 A 的大小及 的值。csin分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理。由 b2=ac 可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值。2cbsi解法一：a、b、c 成等比数列，b 2=ac。又 a2c 2=acbc ，b 2+c2a 2=bc。
16、在ABC 中，由余弦定理得：cosA= = = ，A=60 。bca21在ABC 中，由正弦定理得 sinB= ，b 2=ac，A=60，sin =sin60= 。acbcB60sinsi23解法二：在ABC 中，由面积公式得 bcsinA= acsinB。21b 2=ac，A=60 ，bcsinA= b2sinB。 =sinA= 。cBsin3评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例 10在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，求 的值。2tan32tant CAA解析：因为 A、B、C 成等差数列，又 ABC180，所以 AC120，从而
17、 60，故 tan .由两角和的正切公式，232得 。2tan1tA所以 ,2tan3tt CAC。32tan32tant CAA点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型 6：正、余弦定理判断三角形形状例 11在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sin AcosBsin C，sin（AB）0，AB点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明
18、确解题思路和变形方向，通畅解题途径例 12 （2009 四川卷文）在 C中， 、 为锐角，角 、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且 510sin,siAB（I）求 的值；（II ）若 21ab，求 abc、 、 的值。 解（I） AB、 为锐角， 510sin,siAB 2 23cos1i,coin5102()ssin .ABAB 0 4 （II ）由（I）知 3C， 2sin由 siniiabcAB得5102abc，即 ,5abc又 1 2,5ac 21.（2009 四川卷文）在 ABC中， 、 为锐角，角 ABC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且10sin,si5（I）求 的
19、值；（II ）若 21ab，求 abc、 、 的值。 解（I） AB、 为锐角， 510sin,siAB 2 23cos1i,coin5102()ssin .ABAB 0 4 （II ）由（I）知 3C， 2sin由 siniiabcAB得5102，即 ,5ab又 ab 1 2,5ac 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数 ，这些解题思维的4()ft拐点，你能否很快的想到呢？五 【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、C ） ，由 A+B+C =
20、求 C，由正弦定理求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、c） ，应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A） ，应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a、b、c，应余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角形内切圆的半径： ，特别地， ；2Srbc2abcr斜直3三角学中的射影定理：在ABC 中， ，os4两内角与其正弦值：在ABC 中， ，BABinsi5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 。
