1、目录第一讲 速算与巧算 1(一) 加减法中的计算 2(二)乘除法中的计算 .3第二讲 找规律 6（一）竖列规律 .6（二）图形规律 .8第三讲 数字谜 9（一） 横式字谜 9（二） 竖式字谜 .12（三） 趣味九宫格 .15第四讲 图解法解应用题 .17第五讲 列方程式解应用题 .20第六讲 植树问题 .21第七讲 鸡兔同笼问题 .25第八讲 移多补少平均数 .27第九讲 归一问题 .29第十讲 倒推法 .33第十一讲 列举法 .36第十二讲 奇数与偶数 .40第十三讲 周期性问题 .44第十四讲 有趣的几何图形 .46第十五讲 逻辑推理 .50第十六讲 一笔画 .52第十七讲 火柴棍游戏 .
2、55(一)摆图形游戏 55(二)移动火柴，变换图形游戏 56(三)去掉火柴，变换图形游戏 57第一讲 速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。 观众的情绪也影响
3、着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如 2 号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分 98，去掉最低分 87，剩下的都接近 90 为基准数，超过 90 的表示成 90+零头数 ，不足 90 的表示成 90零头数 。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）8=90+（3+5+621+1+3+1）8=90+2=92。你可以试一试。 ”小熊照着小白兔说的去
4、做，果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间，更主要的是提高了我们的工作效率。我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。(1)加减法中的计算1、例题与方法指导：例 1、用简便方法计算下面各题：（1）63+48+173+37+52 （2）9+99+999+9999+4例 2、用简便方法计算计算下面各题：100090802010 （2）150856161 例 3、用简便方法计算计算下面各题：576（432176） 1689999689例 4、计算（2224262
5、83032）（212325272931）2、训练巩固1用简便方法计算计算下面各题：136297363827 744324855672452下面各题，怎样简便就怎样计算：18861998 542629953计算：10889888836 4999949994994944.计算：10399103971061029898101+1023、拓展提升1用简便方法计算下面各题： 9999999999 4996399329921991982下面各题，怎样简便就怎样计算：9392888990918887948920191817161514131211109876543213. 计算下面各题：（384246505
6、458626670）（374145495357616569）（19991997199531）（19981996199442）(二)乘除法中的计算一、例题与方法指导：两个数之和等于 10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像7278，2686 等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。例 1（
7、1）7674？ （2）3139？思路导航 ： 本例两题都是“头相同、尾互补”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7674（76）（70+4）（706）70（76）470706707046470（7064）6470（7010）647（7+1）10064。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补 0，如 1909） ，积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加 1 的乘积。 “同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾” ，前面是“头（头+1） ”
8、。我们在学到的 1515，2525，9595 的速算，实际上就是“同补”速算法。例 2 （1）7838？ （2）4363？思路导航 ： 本例两题都是“头互补、尾相同”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）87030+8307088870308（3070）8873100810088（738）10088。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补 0，如 3309） ，积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被
9、乘数（或乘数）的个位数。 “补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾尾” ，前面是“头头+尾” 。例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是 10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如 70 7770 23， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是 70，后两位数互补
10、，7723100，所以是“同补”型。又如 1 481 52，23 823 2 等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，73 427 4，98 262 26，6 814 81 等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例 1 的方法仍然适用。例 3 （1）702708=？ （2）17081792？解：（1）（2） 计算多位数的“同补”型乘法时，将“头（头+1） ”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0” 。在计算多位数
11、的“补同”型乘法时，如果“补”与“同” ，即“头”与“尾”的位数相同，那么例 2 的方法仍然适用（见例 4） ；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例 2 的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例 4 28657265？解：二、训练巩固计算下列各题：1.6862； 2.9397；3.2787； 4.7939；5.4262； 6.603607；7.693607； 8.40856085。第二讲 找规律（一）竖列规律按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1、2、3、4；双数列：2、4、6、8。我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺
12、的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。1、例题与方法指导例 1 在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12， （ ） ， （ ）（2）1，2，4，7，11， （ ） ， （ ）（3）2，6，18，54， （ ） ， （ ）思路导航 ：（1）在数列 3，6，9，12， （ ） ， （ ）中，前一个数加上 3 就等于后一个数，相邻两个数的差都是 3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别填 15 和 18；（2）在数列 1，2，4，7，11， （
13、 ） ， （ ）中，第一个数增加 1 等于第二个数，第二个数增加 2 等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是1，2，3，4这样下一个数应为 11 增加 5，所以应填 16；再下一个数应比16 大 6，填 22。（3）在数列 2，6，18，54， （ ） ， （ ）中，后一个数是前一个数的 3 倍，根据这一规律可知道（ ）里应分别填 162 和 486。例 2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2， （ ） ， （ ） ；（2）21，4，18，5，15，6， （ ） ， （ ） ；思路导航 ：（1）在 15，2，12，2，9，2， （ ） ， （ ）中隔着看，第
14、一个数减 3 是第三个数，第三个数减 3 是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确定括号里分别应填 6、2；（2）在 21，4，18，5，15，6， （ ） ， （ ）中，隔着看第一个数减 3 为第三个数，第三个数减 3 为第五个数。第二个数增加 1 为第四个数，第四个数增加1 是第六个数。根据这一规律，可以确定括号里分别应填 12 和 7。2、训练巩固1，在括号里填数。（1）2，4，6，8，10， （ ） ， （ ）（2）1，2，5，10，17， （ ） ， （ ）2，按规律填数。（1）2，8，32，128， （ ） ， （ ）（2）1，5，25，125， （ ） ， （ ）3
15、，先找规律再填数。（1）2，1，4，1，6，1， （ ） ， （ ）（2）3，2，9，2，27，2， （ ） ， （ ）（3）12，1，10，1，8，1， （ ） ， （ ）4，在括号里填数。答（1）18，3，15，4，12，5， （ ） ， （ ）（2）1，15，3，13，5，11， （ ） ， （ ）（3）1，2，5，14， （ ） ， （ ）（二）图形规律一、例题与方法指导例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。思路导航 ：（1）横着看，右边的比左边的数多 5，竖着看，下面的数比上面的数多4。根据这一规律，方格里填 18；（2）通过观察可以发现，前两个图形三个数之间有这样的关系：
16、482=16，784=14，也就是说中心数是上面的数与左下方数的乘积除以右下方的数。根据这个规律，第三个图形空格中的数为 943=12；（3）横着看，第一行和第二行中，第一个数除以 3 等于第二个数，第一个数乘 3 等于第三个数。根据这一规律，363=108 就是空格中的数。2、训练巩固1.根据规律，在空格内填数。（1）187，286，385， （ ） ， （ ） ；思路导航：（1）在 187，286，385， （ ） ， （ ）中，十位上的数字 8 不变，百位上的数字是 1，2，3依次增加 1，个位上的数字是 7，6，5依次减少1，并且百位上的数字与个位上的数字的和为 8。根据这一规律，括号
17、里应填484，583；（2）通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上数十位上的数字之和为下面数的百位上的数字，左上数与右上数个位上的数字之和为下面数的十位上的数字。根据这一规律，空格内应填 3594。第三讲 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头” （打一城市名） 。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天” 。这个地名第 1 个字可能是天。 “码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜
18、底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算” ，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。 “虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。（1）横式字谜1、例题与方法指导例 1 ，8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这
19、3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航 ： 150*3-8-97-5=340所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109（2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例 3 在算式 40796=9998 的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。例 4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在
20、上面的乘法算式中， “我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161例 5 （）=24 在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航 ：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abcd)当 a=1 时，有 6*8/2=24，8*9/3=24；当 a=2 时，有 4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；所以，满足要求的等式有：1（268）=24
21、，1（389）=24，2（349）=24，2（468）=24，2（689）=24。例 6 =5； 12+=，把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3 个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当 6*9=54 时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。2、训练巩固1. 迎迎春春=杯迎迎杯，数数学学=数赛赛数，春春春春=迎迎赛赛在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这
22、3 个等式都成立，那么， “迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春春春=迎迎赛赛 的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445；所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春春=迎春， （迎+杯）（迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；这样，第一个算式显然
23、只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。3、拓展提升1.在下列各式的中分别填入相同的两位数：(1)5=2； (2)63。2.将 39 中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1)=； (2)。3.在下列各式的中填入合适的数字：(1)448=； (2)2822=；(3)13= 46。4.在下列各式的中填入合适的数：(1) 32831； (2)5733229；(3)48377427。答案与提示 练习 224.(1)287；(2)17；()65。（2）竖式字谜例 1 在图 4-1 所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“喜欢”这两个汉
24、字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到“欢”是 0 或 5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是 0，只能是 5。 再看十位， “欢”是 5，加上个位有进位 1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人” ，所以“人”只能是 2；由此可知， “喜”等于 8。 所以， “喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是 85。例 2 在图 4-2 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5 个“谜”相加的结果个位还是等于“谜” ， “谜”必定是 5（0 显
25、然可以排出） ； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位 2，结果尾数还是“字” ，那说明“字”只能是 6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位 2，结果尾数还是“数” ， “数”可能是 4 或 9； 再看千位， （1）如果“数”为 4，两个“解”相加再加上进位 1，结果尾数还是“解” ，那说明“解”只能是 9；5+6+4+9=24，30-24=6， “巧”等于 6 与“字”等于 6 重复，不能； （2）如果“数”为 9，两个“解”相加再加上进位 2，结果尾数还是“解” ，那说明“解”只能是 8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位数是 965。例 3 在图 4
26、-3 所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字请把这个竖式翻译成数字算式 分析：首先万位上“华”=1； 再看千位， “香”只能是 8 或 9，那么“人”就相应的只能是 0 或 1。但是“华”=1，所以， “人”就是 0； 再看百位， “人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港” 。由此可知“回”比“港”大 1，这样就说明“港”不是 9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于 9 的； 再看十位， “回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大 1，那么“爱”就等于 8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相加至少 12，至多 13，
27、即只能是 5+7 或 6+7，显然“港”=5， “回”=6， “归”=7。 这样，整个算式就是：9567+1085=10652。例 4 图 4-4 是一个加法竖式，其中 E，F，I，N，O，R S，T，X，Y 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 F，S 不等于零那么这个算式的结果是多少？ 分析：先看个位和十位，N 应为 0，E 应为 5；再看最高位上，S 比 F 大 1；千位上 O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以，I 只能是 1，O 只能是 9；由于百位向千位进位是 2，且 X 不能是 0，因此决定了 T、R 只能是 7、8 这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了 2、4、6 三
28、个数，无法满足 S、F 是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到 X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是 31486。2、训练巩固1. 在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么 D+G 等于多少？分析：先从最高位看，显然 A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为 E 等于9，说明个位有借位，所以 F 只能是 8；由 F=8 可知，C=7；这样，D、G 有2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以，DG 就可以等于 6，8 或 10。2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063
29、，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得 2529求王老师家的电话号码分析：我们可以用 abcdefg 来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是 8371692。3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数如果新数比原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用 abcd 来表示愿四位数，那么新
30、四位数为 dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2，所以，a 只能是 1；接下来看百位，b 最大是 9，那么，c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。3、拓展提升1.已知图 4-6 所示的乘法竖式成立那么 ABCDE 是多少？ 分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。2. 某个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍问原数最小是多少？ 分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为 6；4*6+1=25，原百位为5
31、；4*5+2=22，原千位为 2；4*2+2=10，原万位为 0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是 102564。3. 在图 4-7 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？ 分析：同第 10 题一样，也是利用 1/7 的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有 3 和 6 可选：好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是 428571 或 857142。（3）趣味九宫格九宫格型数字推理即在九宫格中已知 8 个数，根据已知
32、数之间的关系，求出未知的项。此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手考虑。有时，会整体考，比如行列各个数之和的关系。1A7 B5 C3 D9【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是 20， （30） ，40，是等差数列。2A27 B8 C21 D18【答案】D。解析：每行前两个数字之差除以 3 等于第三个数。 （63-9）3=（18） 。3A142 B164 C186 D15【答案】A。解析：每行第一个数字加 1 等于后两个数字之和。4A61 B53 C4 D2【答案】D。解析：从每行来看，第一个数字加 2，再乘以第三个数字等于中间数
33、字。5A204 B186 C116 D86【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以 2 等于第一个数字。第四讲 图解法解应用题1、例题与方法指导例 1 小明早晨起床,要完成这几件事:起床穿衣 5 分钟,刷牙洗脸 6 分钟,在火炉上烧水煮面要 16 分钟,整理房间 8 分钟,为了尽快做完这些事,最少要 分钟.思路导航 ：用图表示:所以是 5+16=21(分)例 2 少先队员参加植树劳动,每人植树 2 棵,如果一个人挖坑,一个要 25 分,运树苗一趟(最多可运 4 棵)要 20 分,提一桶水(可浇 4 棵树)要 10 分,栽好一棵树要 10 分.现以两个人为一小组合作,完成植树任务最
34、少要 分钟.思路导航 ：所以:75+10=85(分)例 3 甲、乙两地相距 6 千米,小晶从甲地、小红从乙地同时相向而行,在两村之间不断地往返行走,在出发后 40 分钟,两人第一次相遇.小红到达甲村后返回,在离甲村 2 千米处,两人第二次相遇,求小晶和小红的速度各是 、 .思路导航 ：小晶 5 千米/小时;小红 4 千米/小时.3 45 分起床 516 分烧、煮218 分整理6 分刷牙、洗脸挖 3 个坑运苗种 1 棵树栽 3 棵树挖 1 个坑提水完成20 分乙甲75 分 10 分25 分10 分合走 1 个全程要 40 分,3 个应是 40360=2(小时)晶:(6+4)2=5(千米/小时)红
35、:(6+2)2=4(千米/小时)例 4 早上 10 点 8 分,小明放学回家,8 分钟后,周老师骑车追他,在离学校 4千米的地方追上了他,然后周老师立即回校,回到校后又追小明,第二次追上时刚好离家 8 千米,求这时是 时 分.思路导航 ：早上 10 点 8 分放学,小明从学校回家,8 分钟后,周老师骑车追他,追上时离校 4 千米,后来老师马上回校后又追他,追上时小明也只走了 4 千米,从下图可知,照后来速度算,周老师前面应走 43=12(千米).因为少走 8 分钟,所以少走 12-4=8千米.所以现在时间应是:10:08+0.08+0.16=10:32.2、巩固训练1.A,B,C,D,E 五位
36、同学进行象棋单循环比赛,已知 A,B,C,D 已经赛过的盘数依次为 4,3,2,1 盘,此时,E 赛了 盘.2.有号码为 1,2,3,4 四名运动员,在一次比赛中获得了前 4 名,已知:每个运动员的号码都与自己的名次不符;某运动员的名次是第四名运动员的号码,而此人的号码又是 2 号运动员的名次.3 号运动员不是第一名,那么 1 号得 名,二号得 名,三号得 名,四号得 名.3.四名棋手进行循环比赛,胜一局得 2 分,平一局得 1 分,负一局得 0 分.如果各人得的总分不同,第一名不是全胜,那么,至多有 局平局.4.京华小学五年级学生采集标本,采集昆虫标本的有 25 人,采集植物标本的有 19
37、人,两种标本都采集的有 8 人,全班共 40 人,没有采集标本的有 人.答案：1.两盘.用连线表示两人已赛过一场, A 应画四条线, B 应画 3 条,但不能连 D,又有一条 AB,所以, B 只画 BC,BE.从 C 出发应有两条,已有.所以 E 只赛了两盘.甲相遇 相遇 红晶乙校明 4 千米周4 千米时间一样AEBDC2. 1 号第三,2 号第一,3 号第四,4 号第二.由、可知,第一名是 2 或 4,依题意画图如下:以上六种情况中,符合题意的只有方案.3. 3 局.四名棋手应赛 432=6(局),应决出 26=12(分)又各人得分不同,且第一名不是全胜,可知他们得分只有:12=5+4+2
38、+1 或12=5+4+3+0 两种.再由“平局最多”可决定甲 5 分,乙 4 分,丙 2 分,丁 1 分.这样应:4. 4 人.作下图:40-(25+19-8)=4(人)3、拓展提升1.有 100 名旅客,其中有 10 人不懂英语又不懂俄语,有 75 人懂英语,83 人懂俄语,既懂英语又懂俄语的有 人. 2.某班数字、英语的期中考试成绩如下,英语得 100 分的有 12 人,数学得100 分的有 10 人,两门功课都得 100 分的有 3 人,两门功课都未得 100 分的有 26人,这个班有学生 人.答案：9. 68 人.作下图:1 4 3 2 3 4 1 4 1 3 1 2 3 3 1 2
39、2 1 4甲 丙乙 丁胜平 平平胜胜25 人 8人 19 人昆虫、植物标本植物标本昆虫标本英语75 人俄语83 人不懂的有10 人都懂的75+83-(100-10)=68(人)10. 45 名.作下图:12+(10-3)+26=45(人)第五讲 列方程式解应用题一、例题与方法指导例 1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分 3 个,那么还剩32 个.如果每人分 8 个,还有 5 个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数例 2 一条鲨鱼，头长 3 米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这条鱼全长多少米？间接设未知数设鲨鱼身长 x
40、米。 身长=头长+尾长，尾长= x23 身长3x23，例 3 鸡、兔共 60 只，鸡脚比兔脚多 60 只。问：鸡、兔各多少只?解答：假设 60 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 120 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 120 只，而实际上只多 60 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4+2=6(只)，而 606=10，因此有兔子 10 只，鸡 60-10=50(只)。二、巩固训练1. 有一些糖，每人分 5 块多 10 块；如果现有的人数增加到原人数的 1.5倍，那
41、么每人 4 块就少 2 块.问这些糖共有多少块?12 人 10 人两门都不得 10026 人两门 100英语 100 数学 1003人解，等量关系为两种分法的糖总数不变设开始共有 x 人，5x+10=41.5x-2，解得 x=12，所以这些糖共有 125+10=70 块2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是 16、12、11、9 岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的 2 倍？解答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的 2 倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。设 x 年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的 2 倍.16
42、+12-2x=2(11+9-2x),解得 x=6.所以，6 年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年 龄和的 2 倍.第六讲 植树问题只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题” 。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的） 。封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：1、不封闭型的（多为直线上） ，一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：如果两端都不植树，那么棵
43、数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：2、封闭型的情况（多为圆周形） ，如下图所示，那么：植树问题的三要素：总路线长、间距(棵距)长、棵数只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个植树问题的分类：直线型的植树问题 封闭型植树问题 特殊类型的植树问题1、例题与方法指导例 1 有一条公路长 1000 米，在公路的一侧每隔 5 米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?思路导航 ：每隔 5 米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离 5 米为一段。公路的全长1000 米，分成 5 米一段，那么里包含有 10005=200 段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多 1，所
44、以，可种植垂柳 200+1=201棵。例 2 某一淡水湖的周长 1350 米，在湖边每隔 9 米种柳树一株，在两株柳树中间种植 2 株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?思路导航 ：在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=13509=150 株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为 150，所以栽夹枝桃的株数=2150=300 株；每隔 9 米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽 2 株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即 2 株等距离栽在 9 米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9(2+1)=3(米)。例 3
45、 一条街上，一旁每隔 8 米有一个广告牌，从头到尾有 16 个广告牌，现在要进行调整，变成每 12 米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？思路导航 ：16 个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为 8 米，则共有 16-1=15 个间隔，这条街的总长度为 815120（米） ；现在要调整为每 12 米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是 8 的倍数，同时也是 12 的倍数；83=122=24，也就是说，每 24 米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120245，即段数为 5 个，但要扣除两端的 2 个，所以，中间不需要移动的有 5-1=4 个。事实上，所谓植树
46、问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。2、巩固训练1 某人要到一座高层楼的第 8 层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从 1层走到 4 层需要 48 秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？思路导航：要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从 4 楼走到 8 楼共需要走几层楼梯。从 1 层走到 4 层，事实所爬的层数只是 4-1=3 层，所以上一层楼梯需要的时间是 48（4-1）=16（秒） ；又，从 4 楼走到8 楼共需走 8-4=4 层楼梯，所以还
47、需要的时间是 164=64 秒。2 光华路小学三年级学生有 125 人参加运动会入场式，他们每 5 人一行，前后每行间隔为 2 米，主席台长 42 米，他们以每分钟 45 米的速度通过主席台需要多少分钟?思路导航：125 人参加运动会入场式，每 5 人一行，共排了 1255=25 行，那么这里25 行就相当于直线上的 25 棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是 2(25-1)=48 米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90 米，所以，他们通过主席台的时间是9045=2 分钟。3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？思路导航：根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为 6 毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2 个厚度是重叠的，也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为 4 厘米-26 毫米=40 毫米-12 毫米=28 毫米； 根据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起， “环扣”数为 5-14(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为 40+428152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为 40+ (10-1) 28=292(毫米)。4
