1、2010 年五校合作自主选拔通用基础测试一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分）1设复数 ，其中 为实数，若 的实部为 2，则 的虚部为（ ）2()1aiwaw（A） （B） （C） （D）3122设向量 ，满足 ，则 的最小值为（ ）,ab|,bm|atb()R（A）2 （B） （C）1 （D）2213如果平面 ，直线 ，点 ，满足： ，且 与,n,AB/,nABA所成的角为 ， 与 所成的角为 ，那么 与 所成的角大小为（ ）4m3m（A） （B） （C） （D）3684在四棱锥 中， 分别为侧棱 的中点，则四面体 的体积与四棱VD1,VB1ABCD锥 的体积之比为（ ）C（A）
2、 （B） （C） （D）1:6:5:41:35在 中，三边长 ，满足 ，则 的值为（ ）,abccbtan2（A） （B） （C） （D）4126如图， 的两条高线 交于 ，其外接圆圆心为 ，过 作 垂直 于 ，,ABEHOFBC与 相交于 ，则 与 面积之比为（ ）OHFGOF（A） （B） （C） （D）1:1:3:51:27设 过点 且平行于 轴的直线与曲线 的交点为 ，曲()e0)axf(,0)Pay:()CyfxQ线 过点 的切线交 轴于点 ，则 的面积的最小值是（ ）CQRQ（A）1 （B） （C） （D）2ee22e48设双曲线 ，椭圆 若 的短轴长与 的实轴21:(,0)4xy
3、ka2:1xyCa2C1长的比值等于 的离心率，则 在 的一条准线上截得线段的长为（ ）212（A） （B）2 （C） （D）4k4k9欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个顶点作为n顶点的三角形有 3 种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的 3 色组合，则 的最小值为（ n）（A）6 （B）7 （C） 8 （D）910设定点 是以 点为中心的正四面体的顶点，用 表示空间以直线 为轴满ABCD、OOA足条件 的旋转，用 表示空间关于 所在平面的镜面反射，设 为过 中点与()CDlB中点的直线，用 表示空间以 为轴的 180旋转设 表示变换的复合，先作
4、 ，再作CDl 。则 可以表示为（ ）（A） （B ） （C） （D）二、解答题11 （本题满分 14 分）在 中，已知 ，外接圆半径 BC2sincos1AC2R（）求角 的大小；（）求 面积的最大值12 （本题满分 14 分）设 为 抛 物 线 上 不 同 的 四 点 ， 关 于 该 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 平 行 于 该 抛ABCD、24xy,ADBC物 线 在 点 处 的 切 线 设 到 直 线 ， 直 线 的 距 离 分 别 为 ， 已 知 lBC12,d12dAD（）判断 是锐角三角形 直角三角形 钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；、（）若 的面积为 240，
5、求点 的坐标及直线 的方程ABCA13 （本题满分 14 分）（）正四棱锥的体积 ，求正四棱锥的表面积的最小值；23V（）一般地，设正 棱锥的体积 为定值，试给出不依赖于 的一个充分必要条件，使得正nn棱锥的表面积取得最小值n14 （本题满分 14 分）假定亲本总体中三种基因型式： 的比例为,Aa且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个:2uvw(0,21)uvw（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由15 （本题满分 14 分）设函数 ，且存在函数 ，满足 ()1xmf1(,0)2stabt21()tsf（）证明
6、：存在函数 满足 ；()(0),tcdstf（）设 证明： 113,2,.nnxfx 13nnx2010 年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题参考答案和评分参考一、选择题ADBCC ABDBD二、解答题11解：（）由 得2sincos1ABCco12,所以 2cos(s).C即 20(cs1)()因为 为 内角CAB所 ，o0，cs2.3（） 3sin42.cRCA又由余弦定理得 ，2cos,abC即 21,又 ，,ab所以 .有 ，13sin123,24ABCSabA当且仅当 即 为等边三角形时，ab的面积取得最大值 .12解：（）设 222011(,)(,)(,)44AxBxCx则 1D
7、由 可知的斜率2yx0,2kx因此可以设直线 方程为BC1.yb把 代入，整理得214yx204,x所以 120因为 都不平行于 轴，,ABCy所以直线 斜率之和为22100120()()4()ABCxxk x可知直线 的倾角互补，而 平行于 轴，, AD所以 平分D.作 为垂足,EABFE则 可得 由已知 ，2D可得 ，所以,DEA45EAF所以 为直角三角形90CB（）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为 22000011(),44yxyx把 分别代入，得222200, ,xxx所以 .ABAC由已知可知 ，124,所以 解得 ，208x8x所以 或(8,16)A(,)当取 时，求得
8、，又 斜率 ，4,BC014,2x所以直线 方程为 ,C()yx即 4120.xy同理，当取 时，直线 方程为(8,6)ABC4120.xy13解：（）设正四棱锥的底面正方形的边长为 ，高为 则正四棱锥的体积2ah24.3Vah正四棱锥的表面积 224().Sah从而329V2238()1().ah令 设2(),hta3(),0ftt则21 1.fttt令 解得()0,ft8.t当 时， 当 时，(),ft()0.ft当 时取得最小值()ft()f正四棱锥的表面积的最小值为 4.（）一般地，设正 棱锥的底面正 边形的中心到各边的距离为 ，高为 ，则 正边形的体nnahn积正棱锥的表面积由（）知
9、，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的 4 倍。解：（）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为 ， ， 的概率如下表：Aa父本、母本的基因型式 相应情况出现的概率 子一代基因为 的概率 子一代基因为 的概率 子一代基因为 的概率a父 母A2u100父 母 av212父 母 w0父 母A2uv10父 母a441214父 母 vw02父 母 Au10父 母a2v21父 母 w00子一代的基因型式为 的概率为A. 3 分2
10、 221114()puvuvuv由对称性知子一代的基因型式为 的概率为a. 6 分23()w子一代的基因型式为 的概率为A222111142()puvuvvwuv9 分).w若记 ， ，则 ， ， ，子一代三种基因型式： ，puvq0pq1pqA， 的比例为 . 10 分 Aa22:（）由（）可知子二代的基因型式为 ， ， 的比例为 ，其中 Aa22:， .2pq2pq由 ，可得 ， .1故子二代三种基因型式 ， ， 的比例为 ，与子一代基因型式的比例相同. Aa22:pq14 分15 解法一： （）令 ，代入 化简得21()tsfsatb4()3(1)0amtb由于等式对所有 成立，可知21
11、0(4)3bam解得 1,b 4 分4()xf令 ，代入 ，化简得2sttcsd31csd所以存在 ()31(0)ts使得 6 分stf（）令 11,()4ts3nns111(),2,nts注意到 ，由（）知，12x 10 分2121,2,nnst139nnt化为 1()4ss可知 25nn213(3)nts从而 2124531nnnxs221nnnt统一写为 14(),12,53()nnnx从而有 14 分11|2|4()nnn解法二：（）同解法一，可求出 1,43bma 4 分4()xf取 3ts则 1所以 6 分2142()()tsttfft（）由 ，4()1xf()nnfx得 （1）1
12、n把（1）式两边都加上 2 得： （2）13()nnxx把（1）式两边都减去 2 得： （3）1nn若存在 ，使 ，由（3）可知()kNkx与 矛盾121kx 1所以不存在 ，使()k2kx（2）式除以（3）式得 10 分13nn因为 13x所以 125所以 1(3)nnx所以 1425()nn所以 1|(3)|nnx111444|5()|533nnn 14 分13n解法三：（）由解法一得 ，4()1xf()31st由 （1）2(tsf易看出（1）式中 即得t2()stf所以存在 ，即3()s3t（）用数学归纳法（1）当 时，显然成立n（2）易得 ，1()1nnxfx（）12(2)33f fsss假设当 时，命题成立k即 1|x则当 时，n1 3|2|()|1kkkfx当 时，kx1 1|2|(2)|3kkkkfxx当 时，2kx13|1kkx只需证 3kk即证 13kkx即证 1k即证 3kx即证 321kk k即 ，而此式是假设成立的13kkx所以（2）成立由（1） ， （2）可知，原命题成立
