1、2009 年清华大学自主招生数学试题（理科）1设 的整数部分为 ，小数部分为5ab求 ； 求 ； 求,ab22b32limnn 2 为实数，且 ，求证：对于任意正整数 ，1,xy1xy221nnxy为正实数，求证： ，其中 为 的一种排列,abc3abcz,xyz,abc3请写出所有三个数均为质数，且公差为 8 的等差数列，并证明你的结论4已知椭圆 ，过椭圆左顶点 的直线 与椭圆交于 ，与21xyab,0AaLQ轴交于 ，过原点与 平行的直线与椭圆交于yRLP求证： ， ， 成等比数列AQ2OPA5已知 ，设 ，求sinco1tcosint2()1nfss 6随机挑选一个三位数 I求 含有因子
2、 5 的概率； 求 中恰有两个数码相等的概率1I2I7四面体 中， ， ，ABCDACBDC求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；设三个面与底面 所成的角分别为 ，求证：2 ,coscos18证明当 均为奇数时，曲线 与 轴的交点横坐标为无理数 ,pq2yxpqx9设 均为整数，性质 为： 对 中任意 个数，1221,na P1221,na 存在一种分法可将其分为两组，每组 个数，使得两组所有元素的和相等n求证： 全部相等当且仅当 具有性质1221,n 1221,n P2009 年清华大学自主招生数学试题（理综）1求值：265iie2请写出一个整系数多项式 ，使得 是其一个根()fx323有
3、限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。4现有 100 个集装箱，每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是 1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。问在最坏情况下需要多少个集装箱。5 ， 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 出现在黑板上，AB12,na 则形如 的数都不能写，不得不写 1 的人算输。初始状态黑板上写着 5，6iax问先写的人还是后写的人有必胜策略？664 匹马能否通过 50 场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至
4、多 8匹马参赛）7 ， 两人玩一个游戏， 提供若干硬币， 可以任意将这些硬币全部摆放ABAB在顶点上，并确定一个目标顶点 。规则是： 可以选择一个上面至少有两枚uA硬币的顶点 ，并选择一个与它相邻的顶点 ，将 上的两枚硬币取走，并放回vwv一枚硬币在 上。 若在有限步内根据规则在 上放上一个硬币则获胜。已知wuB 不想让 A 赢且他很聪明，试问在这两种情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。2009 年清华大学自主招生数学试题（文科）1已知数列 ，且na1nSa求证： 是等差数列； 求 所在的直线方程n2,nS212 名职员（其中 3 名为男性）被平均分配到 3 个部门求此 3 名男性被分别分到不同部门的概率；1求此 3 名男性被分到同一部门的概率；若有一男性被分到指定部门，求其他 2 人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数 的三次项数为 ， 的解集为fx3a90fx1,2若 ，求 的解析式； 若 在 上单调增，求 的范围170fxa2Aa4已知 ， ， ，求点 的轨迹 ；直线2PMN,0,NPW与 交于点 、 ，求 （ 为原点）ykxWABSOA5设 12nxa 12231n nnSxaxaxa 求证：30求 的最值，并给出此时 ， ， ， 满足的条件24 1x234x若 ，求 ， ， ， ， 不符合时的条件5S1x2345
