1、【2017 年高三数学优质试卷分项精品】专题九 立 体几何 一、选择题1. 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】已知ABC 与BCD 均为正三角形,且 AB=1,若平面 ABC与平面 BCD 垂直,且异面直线 和 所成角为 ,则 =（）ABCDsin2A B C. D15815838385.A2 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是（）A B C D812162511.D【解析】如图所示,该几何体是三棱锥 ,其中 , , ,取 B C 中点 E,则AB2AC23,且 , 平面 ABC,故外接球球心 O 必在直线 DE 上,
2、设 OE=x,三棱锥 外接2DEABCDE DA球的半径为 R,由 得 ,解得 ,故三棱锥22OCR223R258的外接球的表面积 ,故选 D.来源:Z+xx+k.ComDABC254SR3 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积的最大值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 23 来源:学科网PBAC4 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的
3、几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为 536，则图中 x（ ）A1 B 3 C2 D 23【命题意图】本题主要考查数学文化、三视图、棱柱与棱锥的体积计算，意在考查学生识图能力、运算求解能力【答案】B5 【2017 年第一次全国大联考（山东卷） 】已知某几何体的视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.12 B.24 C.36 D.8【命题意图】本题考查由三视图确定几何体及其体积的求解，意在考查基本的空间想象能力和运算能力.【答案】A 学科网6 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】如图所示，小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的1三视图，则该几何体的体积为( )A B
4、C D8343163【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和基本运算能力【答案】C7 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】如图，在三棱锥 中，BACD， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ 3ABCDBC,2ABCD）A B C D 19219756746810121416182022DCBA【命题意图】本题主要考查球的表面积、组合体等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，及数形结合思想、转化与化归思想【答案】A 【解析】由余弦定理可得 ，如图，取 的中点 ，连结 并延长，交外接球于 ，7ACDCDMAN连
5、结 ，则 ，由勾股定理可得 ， ，由勾股定理可得,BMN16A3B，由直角三角形射影定理可得， ，可得 ，从而可得 ，AN6196B故 ，由正弦定理得 ，所以外接球的表面积为2sin319BN 3192sin2ABR，故选 A2194R6422468101215 10 5 5 10 15NMDCBA8 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为 2 的正方形和半径为 1 的半圆组成的，则该几何体的表面积为(A)52+4(B)52+(C)520+4(D)520+【命题意图】本题考查三视图、组合体的表面积等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能
6、力9B9 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷）】如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（ ）A 31 B 31 C 3 D 315A【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱柱的体积，意在考查学生的识图能力、运算求解能力【解析】由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则体积为2Vrh圆 柱正三棱柱底面三角形的高为 3r，边长为 23r，则正三棱柱的体积为213rh三，所以该几何体的体 积2()Vrh，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为2(3)31rh，故选 A10 【2017 年第二次全国大联考（新课标
7、卷）】在底面为正方形的四棱锥 PABCD中， 平面ABCD， 2P，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）A 8(3) B 6(32) C 4(32) D 2(3)10A【命题意图】本题考查棱锥的性质与球的表面积，意在考查学生的空间想象能力、运算求解能力【解析】设内切球的球心为 O，半径为 r，则 PABCDOABPABODPBCODVVV，即221111(222)3r，解得 2r，所以内切 球的表面积为 4)8(3)，故选 A学科网11 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，203则图中 的值为（ ）x4240383634323028262
8、4xFEDCBAy22 x侧侧侧A B C. D来源:学,科,网 Z,X,X,K3125【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和基本运算能力【答案】C 3432302826242201816OECBDCDA FEDCB Ay 22侧侧侧12 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】如图，在四边形 中， ，B2AC， .现沿对角线 折起，使得平面 平面 ，且三棱锥 的体90AAAB积为 ，此时点 ， ， ， 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）43A B C D9282373028262422018161412C ABD CAB DC
9、ADAF EBA侧【命题意图】本题主要考查棱锥的体积公式，球的体积公式，组合体等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力【答案】A3028262422018161412E EC ABD CAB DCADAFBA侧13 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2 的正方形；俯视图是边长为 2 的正方形及其外 接圆则该几 何体的表面积为(A) (B) 来源:Z_xx_k .(C) (D)2434061823【命题意图】本题考查三视图、几何体表面积等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求
10、解能力9.C【解析】由三视图知，该几何体是由半径为 的半球和棱长为 的正方体组成的组合体，其中半球在22上面，正方体在下面，故表面积 ，故选 C()()461S14 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】如图，网格上小正方形的边 长为 1，粗实线与粗虚线画出的是正方体中挖去了两个半圆锥得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D326416438434637B【命题意图】本题主要考查三视图与正方体、圆锥的体积，意在考查空间想象能力、转换能力、运算求解能力15 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】已知 过半径为 2 的 球的球心的截面 圆内有一个内接正，点
11、是过 且与平面 垂直的球的截面圆上任意一点，则点 到平面 的最大距离为（ ABC PABPABC）A B C3 D32 2310B【命题意图】本题主要考查球的性质、面面垂直的应用，意在考查空间想象能力、运算求解能力【解析】如图所示，由题意，知平面 平面 ，所以点 在平面 上的射影 落在 上，PABCPABCDAB所以 平面 ，所以当 为 的中点时，点 到平面 的距离最大，即为 因为PD P是正三角形，则 ， ，故选 BAC 31COD三23OD16 【2017 年第三次全国大联考（山东卷） 】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(A) 28+65(B) 30+65(C) 56+
12、12(D) 60+125【命题意图】本题考查由三视图确定几何体及其表面积的求解，意在考查基本的空间想象能力和运算能力【答案】B【解析】由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中 AE平面 CD， B，且 =4CD，523AE ， ， ， 4 ， ， 5 又 B， ，则 平面 B，故 A，所以 =41C，且 10ACDS 在 RtAE 中， 42BE ， ，故 =5A在 RtD 中， 5B ， ，故 10BCDS ，且 =1在 中， 5 ， ，故 10ABDS 在 A 中， =2,=4C，则 边上的高 6h ，故1S256ABC，因此，该三棱锥的表面积为 30+65S故选 B17 【2
13、017 年原创押题预测卷 01（新课标卷） 】如图网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A 12B 18C 20D 24224681012141615 10 5 5 10 15侧侧侧侧侧侧侧侧侧【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和基本运算能力【答案】D18 【2017 年原创押题预测卷 01（新课标卷） 】已知三棱锥 PABC的各顶点都在同一球面上，且PA平面 BC，若该棱锥的体积为 23， 2AB， 1， 60，则此球的表面积等于（ ） 来源:Zxxk.ComA 5 B 20 C. 8 D
14、6【命题意图】本题主要考查几何体的体积，几何体的外接球，球的表面积公式等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力【答案】B19 【2017 年原创押题预测卷 01（新课标卷） 】已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）248A B C D4824169024841627.D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为 、高为 的 圆锥与底面为直角边长为 等腰直角三r341r3角形，侧棱 垂直底面，高为 的三棱锥组成的组合体，其体积为POr4= ，解得 =2，所以圆锥的底面半径为 6，母线长为 10，r)3(214)3(142482
15、r所以该几何体的表面积为 + + + =610681222)3(10，故选 D416220 【2017 年原创押题预测卷 01（新课标卷） 】如图所示，网格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形，粗线 画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为 A，则（ ）A 3 B 3A C 2A D 23【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及运算求解能力.【答案】C21 【2017年原创押题预测卷01（新课标卷） 】在三 棱锥 PABC中， 2P，3ACPB， 2PA，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A 12 B 1 C 14 D 36
16、【命题意图】本题以四面体为载体，考查异面直线的概念，异面直线所成的角，空间向量的应用等基础知识，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.【答案】C22 【2017 年原创押题预测卷 01（山东卷） 】已知一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的内切球表面积是（ ）A B C D43 649 64 3236.B【解析】由三视图可知该几何体是底面为边长为 8、斜高为 5 的正四棱锥，则该几何体的高为 ，5242=3则该四棱锥的表面积为 ，其体积为 ，设该几何体=88+4(1285)=144 =13(883)=64的内切球的半径为 ，则 ,则 ，则该球的表面积为 ；故选 B.13= =36414
17、4=43 =4169=649O23 【2017 年原创押题预测卷 02（新课标卷） 】如图是某几何体的三视图，图中小方格单位长度为 1，则该几何体外接球的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D） 81216244D来源:学科网24 【2017 年原创押题预测卷 02（新课标卷） 】已知一个简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D3483843)1(4.D25 【2017 年原创押题预测卷 02（新课标卷 ） 】如图所示,棱长为 1 的正方体形网格中,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱长的和为（）A12 B C D4+58+464+83【答案】C【解析
18、】根据几何体的三视图可知,该几何体是一个斜四棱柱,底面是边长为 1 的正方形,侧棱长为 ,所以6该几何体的所有棱长的和为 ,故选 C.8+4626 【2017 年原创押题预测卷 02（新课标卷） 】在三棱锥 中, ,ABCD1,A2DBC,则三棱锥 的外接球表面积为( )3ADBCABCDA B C D7447【答案】D27 【2017 年原创押题预测卷 02（山东卷） 】已知直线 平面 ，则“直线 平面 ”是“平面/aa平面 ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. A【解析】若直线 平面 ，直线 平面 ，可得平面 平面 .所以“直线 平面 ”是“
19、平面a/aa平面 ”的充分条件；若平面 平面 ，又直线 平面 ，那么直线 平面 ，直线 平面 都可能成立.如正方体中/a中，平面 平面 ，直线 平面 ，但直线 平面1ABCDABCD1B/AD1BCAD；直线 平面 ，但直线 与平面 不垂直.所以“直线 平面 ”是“平/1 a面 平面 ”的不必要条件.综上， “直线 平面 ”是“平面 平面 ”的充分不必要条件.故选 A.学科网a28 【2017 年原创押题预测卷 02（山东卷） 】如图为某几何体的三视图，则其体积为A. B. C. D.1832326163232167. C来源:学科网 ZXXK所以该组合体的体积为 .故选 C.12341623
20、2V二、填空题1. 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】在三棱锥 PABC中， 平面 ABC， ，且三棱锥的最长的棱长为 2，则此三棱锥的外接球体积为_ 14 43【解析】因为 PA平面 BC， 平面 ，所以 ，又因为 ，所以BC平面 ，所以 ，从而 P是三棱锥最长的棱， 且 PB是其外接球直径，故外接球半径长为 1，所以此三棱锥的外接球体积为 341A CBP2 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】已知一个正六棱锥的底面边长为 2，高为 2，则该正六棱锥的外接球的表面积为_来源:学,科,网 Z,X,X,K【命题意图】本题主要考查多面体外接球的表面积，意在考查学生作图能力、
21、运算求解能力【答案】 93 【2017 年第一次全国大联考（江苏卷） 】已知四棱锥 PABCD的底面四边形 ABCD的外接圆半径为 4，且此外接圆圆心到 P点距离为 3，则此四棱锥体积的最大值为_【命题意图】本题考查圆内接四边形面积的最值、棱锥体积等基础知识，意在考查基本运算能力.【答案】 32【解析】由题意得四棱锥的高 3h, 底面四边形 ABCD面积最大值为1832，因此四棱锥体积最大值为132.4 【2017 年第二次全国大联考（山东卷） 】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .【命题意图】本题主要考查三视图的识别、空间几何体体的结构特征及其表面积的求解等，考查空间想象能力
22、和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】60【解析】还原为如图所示的直观图， 矩 形表 梯 形 梯 形 VABCDEFACFDABECBEFSSS111=34+53+(25)4(2+5)=602故答案为:60 .5 【2017 年第二次全国大联考（江苏卷） 】已知正四棱锥 PAD的所有棱长都为 2，则此四棱锥体积为 _.【命题意图】本题考查正四棱锥概念，棱锥体积等基础知识，意在考查基本运算能力.【答案】4236 【2017 年第三次全国大联考（江苏卷） 】已知一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 3倍，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为_【命题意图】本题考查圆锥侧面
23、积、圆锥轴截面、圆锥截面面积的最大值的求法等基础知识，意在考查基本运算能力【答案】 2【解析】由题意得23,3rllr，因此轴截面的顶角小于2，由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为21.rl7 【2017 年原创押题预测卷 01（新课标卷） 】已知球 的表面积为 ，则球 的内接圆锥（球心O10O在圆锥内部）体积的最大值为 O16.4081【解析】设球的半径为 ，球内接圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 ，由题知， ，解RrhV24R10得 =5，所以 ，即 ，所以 = = = R225)(hr 210hr213r2(0)h23()h，所以 = = ，当 时， 0，当 10 时，)10(hV
24、203)()0hV00，所以 在区间 上是增函数，在区间 是减函数，所以 时， = =V)(, )1,32 32hmax)32(V4818 【2017 年原创押 题预测卷 02（新课标卷） 】如图，在正方体 中， 分别1DCBAHGFE,为棱 的中点，则 与平面 所成角的余弦值为 111,DCBAGHEF1D1C1B1AEFG15 03CABD1D1C1B1AEFHGM9 【2017 年原创押题预测卷 02（江苏卷） 】如图，在直三棱柱 1CBA中，若四边形 CA1是边长为 4的正方形，且 BA,5,3是 1A的中点，则三棱锥 1M的体积为 .MC BA1 B1C1【命题意图】本题考查直三棱柱
25、、三棱锥的体积公式等基础知识，意在考查学生运算求解能力及运用所学知识分析问题解决问题的能力【答案】 4三、解答题1. 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】如图所示,正三角形 ABC 所在平面与梯形 BCDE 所在平面垂直, , =4 , ,F 为棱 AE 的中点.BECD 2BEC(1)求证：平面 平面 ；ABECDF(2)若直线 与平面 所成角为 ,求二面角 的余弦值.45BCFD【答案】(1)见解析，5 分(2) .7 分2719(2)因为 , ,所以 ,又 , ,BECD ABEABCAB所以 平面 ,所以 平面 ,所以 为 与平面 所成的角,即 ,从而 .(7 分)45DDC
26、以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,xyz则 , , , , ,0B40E13A02C132F所以 , .(8 分)来源:学&科&网 Z&X&X&K132,F,2B设平面 的 法向量为 ,则 ,即 ,解得 .BCFxyzn0BFCn1320xyz34xzy令 ,得 .4z3,04由(1)可知 平面 ,所以 为平面 的一个法向量.ABDF0,13BADF所以 .257cos 9三n因为二面角 为钝角,所以其余弦值为 .(12 分) 学科网BCF12 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】如图，菱形 ABCD中， 60， AC与 BD相交于点 O， ED， 23AEBF ， ， .
27、（I）求证： A平面 ；（II）当直线 F与平面 所成角的大小为 45时，求二面角 E的余弦值.ODCABEFzyxOMDCBAEF（II）以 O为原点，以 ,AO所在直线分别为 x轴， y轴，以过点 O且平行于 EA的直线为 z轴建立空间直角坐标系.则 (0,)， 0,3,3,01,3BDF.设 (0)AEa，则 1,a，7 分1,2,OFEB，设平面 BDE的法向量为 ,xyzn，则 0,n即 230yxaz，令 1z，得 ,1a， 23cos,10OFan，直线 与平面 BED所成角的大小为 45，2310a， 解得 2a或 1（舍） ， 2AE.10 分故平面 BDE的一个法向量为 ,
28、01n，又 (,0)， 13(,0)2M，所以平面 ADE的一个法向量为 3(,0)2AM，则 cos,An5，故二面角 DEB的余弦值为 1512 分3 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】已知直三 棱柱 1ABC的底面为正三角形， ,EF分别是 1AC， 1上的点，且满足 11AEC， 13F（1）求证：平面 AEF平面 1BC；（2）设直三棱柱 的棱均相等，求二面角 1CAEB的余弦值【命题意图】本题主要考查空间平面与平面的垂直关系、运用空间向量求二面角，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力、逻辑推证能力、计算能力来源:学科网 ZXXK（2）以 A为坐标原点，以 1,AC分别为
29、y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系6 分设直三棱柱 1B的棱均为 2，则 (0,)， (3,10)B， (,2)E，所以 (0,2)E， (3,)8 分设 1xyzn是平面 E的一个法向量，则由 10AB，得03zxy，取 23，则 1(2,3)n9 分易知平面 1C的一个法向量 2(1,)n，10 分所以 1229cos,|n11 分由图易知，二面角 1AEB为锐角，所以二面角 1CAEB的余弦值为 21912 分4 【2017 年第一次全国大联考（山东卷） 】如图，多面体 中，四边形 为平行四边形，其ABCDEFABCD中 ， ， ，等边 所在平面与平面 垂直， 平面 ，6BAD31
30、AB F且 .32FC（）点 在棱 上，且 ， 为 的重心，求证： 平面 ；PAE2PQEBC PQ EDC（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.DFB【命题意图】本题考查空间中线面平行的证明、空间二面角的求解以及向量的基本运算等，考查基本 的空间想象能力和逻辑推理能力、运算能力等.【解析】 （）如图，在棱 上取点 ，使得 ；连接 并延长，交 于点 .则在BEM2BEBQCEN中，又 ，所以 ，又四边形 为平行四边形，所以 ，所以ABE 2P/ACD/ABD. 在 中， 为重心，所以 ，又 ，所以 .又因为/MCD QNM， ，所以平面 平面 .又 平面 ，所以 平面EC/PEP/PQ. EDC
