1、【2017 年高三数学优质试卷分项精品】专题三 导数与应用一、选择题1. 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】已知 , 是 的导函cos0fxfxf数,若 , ,且 在 上没有最小值,则 的取值范围是（）0fffx+A B C D1,23,231,21,+8.C2 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】已知 ,给出下列结论： ；12ex12elnx.则( )21lnexA正确,错误 B错误,正确 C都正确 D都错误12.C 学科网【解析】设 ,则 ,所以 在 上是增函数,在 上是减函数,故lnexf1efxfx0ee,即 ,当且仅当 时取等号,所以由 可得 ,即 ,l0fxl
2、12x12fxf12lnlex即 ,所以 ,故正确；由 可得 ,所以1212lnex12elnxlnelne,取 得 ,当 时取等号,故正确,故选 C. 11lnlexx12x21lne12x3 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷 ） 】已知函数 若函数 的32sin,1()95,.xf ax()fx图 象与直线 有四个不同的公共点，则实数 的取值范围为（ ）yxaA B C D(16,)(,20)20,16(0,16)4 【2017 年第一次全国大联考（新课标卷） 】已知函数 与函数2()fxm1()ln3gxx的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）1(,2)
3、xxA B C D5ln452ln,l245ln2,l42ln,【命题意图】本题主 要考查函数的图象、函数最 值与导数的关系、方程的解，意在考查学生运算求解能力以及数形结合思想【答案】D【解析】由题意知方程 在 上有解，等价21()ln30fxgmx1,2于 令 ，则 令 ，得23lnmx2lhx()xh ()0hx或 1，则由 ， ， ，比较大小知 ，()()ln15(ln24max2，所以实数 的取值范围是 ，故选 Dmin()2lhxm,5 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】若方程 在 上无解，则实数(2)12ln0ax1(,)2的最小值为（ ）来源:Z.xx.k.ComaA
4、 B C D26ln2lnln4l【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，利用导数求函数的极值等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，并考查转化与化归思想【答案】D6 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】已知函数2()e1xfab，其中 ,abR， e为自然对数的底数若 (1)0f， ()fx是 f的导函数，函数 在区间 (0,)内有两个零点，则 的取值范围是(A)2(e3,+)(B)2(e3,)(C)2(,e)(D)2(e6,)【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查综合分析问题和解决问题的能力12A【解析】由已知2(1)10fab，得 21
5、ea，2()eexxfab1，记22()1egfa ，则2()4exga，当 0时， ()0gx，则()x在 0,上递增，最多有一个零点；当 0时，令 0，得1ln2，当la或ln2a， ()gx在 ,1上单调，最多有一个零点，不满足题意，故，即 2e当1(0,ln)2ax时， ()0gx；当1(ln,)2a时， ()0gx，故要使得函数 ()fx在区间 (0,1)内有两个零点，只需满足 ， () ，l2，由得 2e3a；由得 2ea；由得2ln+1e0a，令21,e)at，不等式变形为 2ln10tt，记2()2lhtt，则 ()lnhtt，当2(,)时， ()h，故221ln1e30t，故
6、不等式1l0ag恒成立，综上， a的 取值范围为2(e3,+)，故选 A7 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】已知函数 存在极值，若这些极值的2lnfxax和大于 ，则实数 的取值范围为（ ）5ln2aA B C D,44,2,【命题意图】本题考查函数的极值，一元二次方程等基础知识，意在考查转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力【答案】B【2017 年第三次全 国大联考（新课标卷） 】已知函数 存在极值，若这些极值的和2lnfxax大于 ，则实数 的取值范围为（ ）5ln2aA B C D 来源:Z（2）当 x为何值时，等腰梯形钢板的面积最大？并求出最大值.【
7、命题意图】本题考查抛物线方程，利用导数求函数最值等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题解决问题的能力（1）由题意得:13(,)24C,391248S.6 分（2）因为 Dx（米） ，所以点 ,01Cxx，从而等腰梯形钢板的面积221012S x.8 分所 以 3Sx.令 0得，1舍 去，列表： x1(0,)31(,)3S+ 0 - 极大值27所以当13x时， S取得最大值32.12 分答：（1）当 2时，等腰梯形钢板的面积为98平方米.来源:学&科&网 Z&X&X&K（2）当13x时，等腰梯形钢板的面积最大，最大值为327平方米. 14 分 学科网5 【2017 年第一次全国大联考（山东
8、卷） 】已知函数 ， .()lnfx2()gxa()R（）求 的单调区间；()()hxfgx（）若 恒成立，求参数 的取值范围.2a【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、含参函数的单调区间、不等式恒成立求参数范围等，考查基本的逻辑推理能力、运算能力以及数学应用意识等.当 时， ， .此时， 函数 在 上单调递增. (,2)a10x2()hx0,)当 时， .此时，当 时 ， ，函数 单调递增；,1228,4a(0hx()hx当 时， ，函数 单调递减；当 时，28(,)4aax()0hx()hx28(,)4a，函数 单调递增. )0h()hx综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减
9、区间；当 时，,2a()x(,)(2,)a函数 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为()hx280,4a28(,4a. 228(,)4a6 【2017 年第一次全国大联考（江苏卷） 】设函数 xgaxfalo)(,)(，其中 0，且 1a.（1）求 )1(0gf值；（2）若 ea， 为自然对数的底数，求证：当 0x时， )(xf；（3）若函数 )(xfy为 ),0上的单调函数，求实数 a的取值范围.来源:学,科,网【命题意图】本题考查利用导数及零点存在定理证明不等式，利用导数研究函数单调性等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力【解析】 （1）依题意
10、 1log)1(00af.2 分（2）记 )()(xgfxq，则exxq，设 e1h,则当 0时 (1)0xh,因此函数 ()e1xh在 ),0(上是单调增函数，且)(,02( ，所以由零点 存在定理知， )(xh在 ),0上存在唯一的零点 00,(ln)xx,5 分令 0)(xq得 0，列表： ),(0x 0来源:Zxxk.Com),(0x)(xq)(xq 极小值 所以 0ln)(000 xee，故 )(xgf8 分若 yfxg为 (0,)上的单调减函数，则 0y，即 21lnxa在 (0,)上恒成立因为210ln2 211()lnl lnaraa，来源:学。科。网所以 2lx在 (0,)上
11、不恒成立，舍去. 12 分当 01a时， ln若 yfxg为 (0,)上的单调增函数，则 0y，即 21lnxa在 (0,)上恒成立由 ln(1ln)0xxraa得1lnx，列表： x(0,)lnal1(,)lna)q+ 0 -(x 极大值 所以max1)lnelrra所以 21elna，即 lnea，故 e1a14 分若 yfxg为 (0,)上的单调减函数，则 0y，即 21lnxa在 (0,)上恒成立由 2 知，当1,lna时， 0rx；当,lx， rx所以 210ln，不成立，舍去综上， ea16 分备注：由函数图象能得出若单调必递增（因为图象交点左侧 y 小于 0，右侧 y 大于 0）
12、 ，可减少对 a的讨论.7 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】设函数 ()ln.fx（1）令 （ 03x） ，若 的图象上任意一点 0(,)Pxy处切线的斜率 21恒成立，()aFxf()Fk求实数 a的取值范围；（2）当 0时，设函数 ，且函数 g有且仅有一个零点，若22()gfxaex， m，求 的取值范围【命题意图】本题考查导数的几何意义、函数的零点、利用导数研究函数的单调性 等基础知识，意在考查学生的综合分析问题、解决问题的能力，运算求解的能力以及逻辑思维能力，并考查转化与化归思想（2）因为 ，令 ，则 ，即0,x22()0gxfxa22lnxax1lnaA，令 1lnhA
13、，则 22211lh ，7 分令 22l,xtxxt， 0,txt在 ,上是减函数，又10h，所以当 1时， h，当 时， hx，所以 hx在 0,1上单调递1增，在 1,上单调递减， max1h， 0a，当函数 gx有且仅有一个零点时，a.当 时， ，若 2,exm，则 max，22()gxfx13lngx，令 0x得 1或32，又 2e，函数 g在32,e上单调递增，在32,1e上单调递减，在 ,e上单调递增，又332221,geg， ， ，32g2max3gem 12 分8 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷） 】已知函数2()lnfxx（ R） （I）讨论函数 ()fx的单调性；
14、（II）设函数 ()f有两个极值点 12x、 ，且 1(0,)2，求证：123ln4fxf.【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查综合分析问题和解决问题的能力学科网综上所述，当 2a时，函数 ()fx的单调递增区间为 (0,)，无单调递减区间；当 2a，函数()fx的单调递增区间为28(0,4a和28,4a；单调递减区间为228,)4a5 分（II）由已知得 12x，因为 1(0,)2x，所以 21,x，且 21,iiax，所以 1211lnlnffaa2 21112 2lnllxxx22l4，.9 分设2121, lnttxttfxft，所以20t，故 ()t在 ,)上单调递增，
15、所以3ln4t，即 123(ln4fxf.12 分9 【2017 年第二次全国大联考（新课标卷）】已知函数 2()1e()xfxmR（）当 12m时，讨论函数 ()fx的单调性；来源:学+科+网 Z+X+X+K（）当 0,x，且 10,4时，求证： 3210fxxx21 【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数在不等式中的应用，意在考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及分类讨论思想当 102m时， ln0，则当 (,ln2)xm时， ()0fx， ()f单调递减； 当ln,x时， ()fx， )f单调递增；当 ,时， ， fx单调递减；当 时， l， (e1xx恒成立， ()f
16、在 ,)上单调递减，无增区间；4 分综上，当 0m时， ()fx的单调减区间是 (0,)，单调增区间是 (,0)；当 12m时， ()fx的单调减区间是 (,ln2,)和 ，单调增区间是 (ln2,m；当 时， ()fx的单调减区间是(,)，无增区间5 分所以 ()hx在 0,上单调递增，则 ()0hx，即 ()0gx，所以函数 g在 上单调递增， ()g，10 分即不等式 2e10xm成立，故不等式 320fxx成立12 分10 【2017 年第二次全国大联考（山东卷） 】已知函数 （ ）.21()e()xfaxaR（）讨论函数 的单调性. ()fx（）设 ，若 ， 都有成立 ，求 的取1l
17、n2(1)gx1(2,0)x21,x12()fxga值范围.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值、导数与函数的单调性、不等式恒成 立以及函数的定义域等，考查分离参数法、函数与方程的思想、分类讨论思想以及 基本的运算能力和逻辑推理能力等，是较 难题.【解析】 （ ）1 分()e+(1)=(e)x xfaa当 时：令 得 或 2 分0a012lnx（1）当 时， ，此时令 ，得 或 ；令 ，得e2x()0flnx()0fxlnx（2）当 时， ，=a121()=(e)xf（3）当 时， ，此时令 ， 得 或 ；令 ，得 1ea12xa()0fx1lnxa5 分当 时：令 ，得 ；令 ，得 5
18、分0()0f1()f综上，当 时， 的单调递增区间 ， 的单调递减区间 ；当 时，ax,()fx1)（ -， 10ea的单调递增区间 ， ， 的单调递减区间 ；当 时， 在()fxln)a（ -,()lna（ ,=()fx上为增函数；当 时， 的单调递增区间 ， ， 的单调递减区间R1efx-)（ ,1()(fx. 6 分1ln)a（ -，11 【2017 年第二次全国大联考（江苏卷） 】如图，是一形状为三棱锥 OABC的帐篷，三个侧面,OABC所需布料为 21m，三个钢骨架 ,AB两两垂直，且长度之和为 9m.（1）设 x（ ） ，求 x取值范围；（2）求帐篷体积最大值.【命题意图】本题考查
19、三棱锥体积与侧面积，基本不等式，利用导数求函数最值等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题解决问题的能力（2）帐篷体积231124(9)(49),1566Vxbcxxx10 分因为22(483)(8)，所以由 0V得 x或 4 12 分列表如下 x1(,2)(2,4)(,5)V 0083A13A83A103来源:学科网由表知，当 25x或 （ m）时， V取最大值103，因此帐篷体积最大值为310m.14 分12 【2017 年第二次全国大联考（江苏卷） 】设 函数 ()(ln.fxax（1）若不等式 ()0fx对 恒成立，求 a的值；（2）若 在 2e,内有两个极值点，求负数 的取值范围
20、；（3）已知 2,e0,(),0xsahf，若 对任意实数 k，总存在实数 0x，使得 0()hk成立，求正实数 s的取值集合【命题意图】本题考查利用导数及零点存在定理研究极值点，利用单调性研究不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力学科网【解析】解（1）若 ea ，则当 (e,)xa时， 0,ln1,()0xfx，不合题意；若 ea ，则当 (,)0,x时， ,，不合题意；若 ，则当 e时， ,ln1()xfx，当 (,e)时，0,ln1,()xf，当 e时， 0f，满足题意，因此 a的值为 . 4 分(iii)当 12ea时，21(e)
21、0,(),g2(e)0g因此 ()gx在21e,)上有且仅有一个零点，在12(e,)上有且仅有一个零点，从而 ()fx在上有且仅有两个零点， ()fx在2e,)内有且仅有两个极值点；综上负数 a的取值范围为12(e,).10 分若 es，则函数lnxy(0)s在 (,e上是增函数，在 (e,)s上是减函数，其值域为1(,e，又12，不符合题意，舍去；13 分若 0es，则函数lnxy在 (0,)s上是增函数，值域为ln(,)s，由题意得l2s，即 2eln 记2()elnuss则2()su当 0时， (0， (在 ,e)上为单调减函数当 es时， )us， )s在 上为单调增函数，来源:Z*x
22、x*k.Com所以，当 时， (有最小值 (e)0u，从而 ()0s恒成立(当且仅当 s时， s) 15 分由得， ()0us，所以 es综上所述，正实数 的取值集合为 16 分13 【2017 年第三次全国大联考（新课标卷） 】已知函数 .since(o)xfx（1）如果对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；20,xecosxfkk（2）若 ，过点 作函数 的图象的所有切线，令各切点的横坐标2157,x 1,02Mfx按从小到大构成数列 ，求数列 的所有项之和.nxnx【命题意图】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题、利用 导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查学生的综合分析问题、解决问题的能力，运算求解的能力以及逻辑思维能力，并考查转化与化归思想当 时， 恒 成立， 在 上为增函数， ， 1k0gxgx20,min0gx满足题意；当 时， 在 上有实根 , 在 上是增函数，则当21ek0gx2,0xh20,x时， ， 不符合题意；0,xg当 时， 恒成立， 在 上为减函数， 不符合题意，2ek0gxx20,0gx
