1、0第六讲几何问题（一）知识点拨基本概念周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积基本公式：长方形的周长 (长 宽 )，面积 长 宽2正方形的周长 边长，正方形的面积 边长 边长4常用方法：对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解转化是一种重要的数学思想方法：在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图
2、形的面积转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形寻求正确有效的解题思路：意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法原有图形结构在几何中， 有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的这样的图形我们称为不规则图形不规则图形的面积往往无对称旋转平移新的图形结构在原有图形结构中解决问题较困难在新的图形结
3、构中解决问题较容易1法直接应用公式计算那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意割补：割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在九章算术注中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变对称：平面图形中有许
4、多简单漂亮的图形都是轴对称图形轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力例题精讲【例 1】 下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角已知西边篱笆长 米，17南边篱笆长 米四周篱笆长多少米？23丙丙
5、丙 丙1723丙丙丙 丙1723DC BA【解析】 因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段 ，将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段 ，则折线ADD的长等于折线 的长CBB所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等列式为：四周篱笆长为： (米)231780（ ）【巩固】(希望杯培训题)右图的周长是 分米6丙丙7丙丙【解析】 把那些与水平方向平行的小线段都”放” 下来，恰好与底边一致；把竖直方向的小线段都依次” 贴到 ”左边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为 分米，62所有的短竖线的长的和为 分米，图形的周长为 (分米)7672（ ）【巩
6、固】 计算右边图形的周长(单位：厘米) 。1510【解析】 要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图) ，这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长是： (厘米)。(105)20【例 2】 下图中标出的数表示每边长，单位是厘米它的周长是多少厘米？ 【解析】 平移转化为求长方形的周长，长方形的长 5+6=11(厘米) ，宽 1+3=4(厘米)，周长(11+4)2=30(厘米 )，(5+6)+(1+3)2=30(厘米)，它的周长是 30
7、厘米【巩固】 如下图是某校的平面图，已知线段 a120 米，b130 米，c70 米，d60 米，l250 米杨老师每天早晨绕学校跑 3 圈，问每天跑多少米？【解析】 平移法转化为长方形再求(120130+60)(70+250)233780(米)【巩固】 图、图都是由完全相同的正方形拼成的，并且图的周长是 厘米，那么图2的周长是多少厘米？(2)(1)【解析】 图的周长是小正方形边长的 倍，图的周长是小正方形边长的 倍，因此，218图的周长为 厘米283【例 3】 下图的小正方形边长为 1 厘米这个图形的外沿的周长是多少厘米？3【解析】 28 厘米【例 4】 一个周长是 20 厘米的正方形，剪下
8、一个周长是 6 厘米的正方形，剩下的图形的周长是 (写出所有可能的结果)【解析】 周长为 6 厘米的正方形的边长为： (厘米)，周长为 20 厘米的正方形的641.5边长为 (厘米)，在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：2045图1图2对于图 1 的周长，与原来正方形的周长相等，为 20 厘米；图 2 的周长，观察可以发现，比原来正方形的周长多了两条小正方形的边，即为： (厘米)01.53【巩固】 求右图的周长 【解析】 140 厘米【例 5】 求下图的周长【解析】 通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上 AB、CD 的长，即有周长为(50+35)2+102=190(厘米) 【例
9、 6】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛) 下面两张图中，周长较大的是 (在横线上填写表示图名的字母)4第 8题 141410BA【解析】 通过平移比较发现 比 多两小段边，得 的周长较大B【巩固】 如下图，正方形操场边长 100 米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长？ 它们各走了多少米？【解析】 我们分别求甲、乙的周长甲的周长可转化为长方形周长(如图)，即为(100+50+30)2=360(米)再求乙的周长 乙的周长等于长方形周长加上 2 个 30米，即为(100+50)2+302=360(米)所以它俩走的一样长【巩固】 求右图所示图形的周长(单位：分米) 501
10、050【解析】 这道题最简单的方法也是用平移法来解下面我们来看一个基本解法这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就可以使左边的矩形变得完整所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的 倍2即： (分米)501250（ ）【例 7】 如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长 5 厘米，这个零件高 30厘米，求这个零件侧面的周长是多少厘米？5【解析】 采用平移，零件侧面的周长等于长方形周长加上内部 10 条最短线段长，即(57+30)2+510=180(厘米) 【例
11、 8】 下图是一面砖墙的平面图，每块砖长 20 厘米，高 8 厘米，像图中那样一层、二层一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？【解析】 我们仍然可以通过平移转化为长方形来求长方形的长是 10 块砖的长度，即2010=200(厘米) ，宽是 10 块砖的宽度，即 810=80(厘米)，所以十层砖墙的周长是(200+80)2=560(厘米) 【巩固】 把长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？【解析】 66 厘米【例 9】 右图是由 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是 平方厘米，16 40那么它的周长是多少厘米？【解析】 考虑此类问题我们即可以局部分
12、析，各个突破，也可以纵观全局整体思考每个正方形的面积为 (平方厘米) ，所以每个正方形的边长是 厘401625 5米观察右图，这个图形的周长从上下方向来看是由 条正方形的边组成，7214从左右方向来看是由 条正方形的边组成，所以其周长为30厘米51427【巩固】 下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的“土”字图形试求出其周长6【解析】 周长是由 24 条 1 厘米的边长组成，所以周长=124=24(厘米)【例 10】 如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图( 单位：厘米) 求：图中所有长方形的周长之和21342【解析】 类似于上题，题目中所说的长方形，并
13、不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为 4、3、1、2 的线段分别被计算了 4、6、6、4 次然后再考虑大长方形的宽：因为共有 个长方形，所以长度为 2 的宽被计算了10（次） 102故总周长可以用下式计算得到： （厘米）4310136【铺垫】求图中所有线段的总长(单位：厘米)2134EDCBA【解析】 要注意
14、到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是 、AB、 、 四段，还包括 、 等等，因此不能简单地将图中标示的线BCDEAE段长度进行求和同时应该注意到， ；43B，等等因此，为了计算图中所有线段的总长，3126需要先计算 AB、BC、CD、DE 这四条线段分别被累加了几次这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由 1 段组成的线段共有 4 条，即AB、BC 、CD 、DE，而求和过程中 AB、BC、CD、DE 这四条线段各被累加了1 次类似地考虑到，由 2 段组成的线段共有 3 条，求和过程中 AB、DE 各被累加了 1 次，BC、CD 各被累加了 2 次由 3
15、段组成的线段共有 2 条，求和过程中AB、DE 各被累加了 1 次，BC、CD 各被累加了 2 次由 4 段组成的线段只有AE，其中 AB、BC、CD、DE 各被计算了 1 次综上所述， AB、DE 各被计算了4 次，BC 、CD 各被计算了 6 次因而图中所有线段的总长度为：(厘米)26348【例 11】 如图，正方形的边长为 ，被分割成如下 个小长方形，求这 个小长方形1212的所有周长之和7【解析】 4526【巩固】 （“希望杯”第一试）如右图，正方形 的边长是 厘米，过正方形内的任意两ABCD6点画直线，可把正方形分成 个小长方形。这 个小长方形的周长之和是多少厘99米？AB CD【解
16、析】 从总体考虑，在求这 个小长方形的周长之和时， 、 、 、 这四条9ABCDA边被用了 次，其余四条虚线被用了 次，所以 个小长方形的周长之和是：129（厘米） 。6427【例 12】 边长是 厘米的 个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？53【解析】 想一想，把几个正方形拼合在一起，拼出的长方形的周长与所有正方形的周长相差多少呢？由 个大小相同正方形拼成一个长方形，只有一种拼法，就是把三个正方形排成3一排于是拼成的长方形的长是 厘米，宽是 厘米153415所以长方形的周长是：(长 宽) (厘米)220（ ）【巩固】 两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个
17、正方形周长的和减少了 厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？6【解析】 先想一想，减少的 厘米相当于正方形的几条边的边长呢？把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的 条8边减少了 条边(如图所示)2而这两条边的和正好是减少的 厘米，所以，正方形的边长是 厘米，原6623来一个正方形的周长是 厘米3412所以原来一个正方形的周长是： (厘米)412【总结】通过这个例题，可以看出，求组合图形及一些特殊图形的周长与面积，一定要仔细观察，善于发现其中内在的联系，找出未知与已知的关系，将问题转化，从而得到解决下面我们来学习几种求几何图形周长和面积的技巧8【例 13】 ( 年”希
18、望杯”第一试)右图中的阴影部分 是正方形，线段 长207 BCGFFH厘米，线段 长 厘米，则长方形 的周长是 厘米18AC24ADHE HGFEDA CB【解析】 本题需要注意，长方形 的宽应等于正方形 的边长DHEBGF由于图中阴影部分 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形CGF的宽 的和应为长方形 的长加上正方形 的边长，ADHEAEC所以等于长方形 的长与宽之和所以长方形 的周长为：H厘米(1824)【巩固】 如图，在长方形 中， 是正方形已知 ， ，求ABDEH10cmF7c长方形 的周长CH GFED CBA【解析】 通过观察发现 是长方形的长与宽，所以长方形 的周长是F
19、GAD( )107234（ ） cm【例 14】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和 形区域乙和丙甲的周长为L厘米，乙的边长是甲的周长的 倍，丙的周长是乙的周长的 倍，那么丙的41.51.5周长为多少厘米？ 长多少厘米？EF丙丙丙JIFEHGD CBA【解析】 乙的周长实际上是正方形 的周长( 我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、JE向下平移) ，同样的，丙的周长也就是正方形 的周长由于 ，ACD41.56AE，所以丙的周长为 厘米，61.59AD9436(厘米)42EF【例 15】 用若干个边长都是 厘米的平行四边
20、形与三角形(如右图) 拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是 厘米，那么平行四边形和三角形各有2多少个？9【解析】 大平行四边形上、下两边的长为 厘米，观察上边，每 厘米(24)2106有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形 个，而三角形的64数量与小平行四边形的数量相等，也是 个【巩固】 用若干个边长都是 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四2边形，已知大平行四边形的周长是 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少236个？【解析】 大平行四边形上、下两边的长为 厘米，观察上边，每 厘米(236)2166有两个平行四边形的边， ，所以有三角形 个，小平行四19
21、9238边形 个3819【例 16】 有 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 个小长方形拼成的大长方形( 如图)的面积是 平方厘米，求这个大长方形的周长45【解析】 从图上可以知道，小长方形的长的 倍等于宽的 倍，所以长是宽的45倍每个小长方形的面积为 平方厘米，所以 宽 宽 ，541.291.25所以宽为 厘米，长为 厘米大长方形的周长为 厘2.5(2.4)9米【巩固】 右图的长方形被分割成 个正方形，已知原长方形的面积为 平方厘米，求原10长方形的长与宽【解析】 大正方形边长的 倍等于小正方形边长的 倍，所以大正方形的边长是小正方形23边长的 倍，大正方形的面积是小正方形面积的 倍，所
22、以小正方1.5 1.52.形面积为 平方厘米，所以小正方形的边长为 厘米，大正0(.3)164方形的边长为 厘米，原长方形的长为 厘米，宽为 厘米642610【例 17】 冯大叔给儿子做玩具用 个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两8种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是 的正方形小洞求小长方形的长和宽？2cm10乙甲【解析】 由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽，由乙图可以看出， 设小长方形的宽为 ，则小长方形的长为 ，根xcm(2)xcm据乙图小长方形的 个长等于小长方形的 个宽，列方程得 ，解得3553，所以小长方形
23、的长为 ，宽为 6x106【巩固】 用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示已知外面大正方形的周长是 厘米，里面小正方形的面积是 平方厘米，每块长26490方形条砖的长是_厘米，宽是_厘米 【解析】 外面大正方形的边长为 厘米，里面小正方形的边长为 厘米，从图26430中可以看出，长方形的宽为 厘米，长方形的长为(30)218厘米(618)2课后作业练习 1. 下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长【解析】 平移法，将锯齿状的零件转化成平行四边形，两组对边相等都等于 24 厘米 ，所以这个零件的周长是 242=48(厘米) 练习 2
24、. 右图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形求这个图形的周长？【解析】 平移法(3+5)3+3+52+6(5-3)2=76(厘米)11练习 3. 如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是 52 个平方单位，试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？ 【解析】 40 个长度单位练习 4. 用一块长 分米，宽 分米的长方形纸板与两块边长 分米的正方形纸板拼成一844个正方形拼成的正方形的周长是多少分米？48【解析】 两块边长 分米的正方形纸可以拼成一个长 分米，宽 分米的长方形纸板，与484原有的一块 分米，宽 分米的长方形纸板的面积一样大，而且这两个长方形两84条宽的和正好等于一条长所以，拼法如图所示然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长拼成的正方形的周长是： (分米)832
