1、2005 年高中数学联赛第 13 题的背景及解法讨论广东深圳市育才中学 王 扬探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作，它即可挖掘知识之间的纵横联系，又可以培养学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还可以揭示命题人的思维方法，为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的模式，让他们也能享受到做科学研究的乐趣，使他们以后在科学研究的道路上走的更好些，更远些。下面我们对 2005 年的一道全国高中数学联赛 13 题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。一题目。2005 年全国高中数学联赛 13 题为：数列 满足： 证明：（1）对任意na ,),36457(21, 20
2、 Nnaannn nN，a n 为整数。 （2）对任意 nN，a n+1an-1 为一个完全平方数。二先看本题的解法。（1） 一般有三种解法。解法一：递推并利用根与系数关系。对原递推式移项，再两边平方整理便得 097212nnaa再递推得 097212nnaa改换一种叙述方式得 212nn可以看出， 为下面关于 x 的一元二次方程： 的两个 ,1n 0972ax根，所以 ， 即 7a na 1-n1a7 n据 及原递推式知 ，再结合数学归纳法知对于任意 都是整数。10a51 nN，解法二：递推并分解因式。对原递推式移项，再两边平方整理便得 097212nnaa再递推得 ，这两式作差并分解因式，
3、得097212nnaa)(11n但据原递推式 ， 由（4）知 ，12nnn 071nnaa以下同解法一 。解法三：解方程法对原递推式移项，再两边平方整理便得 97212nna再递推得 ，视为 an-1 的方程，求出 an-1 得到097212nnaa（a n-1 an 由条件知求根公式取负号） ),3645(1nna联立原递推式与，知 ，。71n（2） 有两种方法。解法一：由（1）的解法一的知 9211nnaa再配方得 ，即 )()1(921nnaa 2n11)3(n据（1）的结论知： 对任意 都是整数，所以 的左端为整数，从而右端也是nN，整数，即 3（a n+1+an）, 即 是一个完全平
4、方数。1a解法二：由知对于任意 nN ，有 ，所以递推得2n11) 3a(n2201012n11)35()3() aaan这表明 an+1an-1 为一个完全平方数。说明：找到数列相邻几项的递推式是解决第一小题的关键，而配方是完成第二小题的根本，值得我们记取。三本题的背景探索1 （第 9 届全俄中学生数学竞赛题之一）已知，证明：对一切自然数 n，x n 均为整数。,.)210(245,10 nxxn2 （英国 2001 年数学奥林匹克（第二轮） ）证明：数列（n0）是整数数列。,.)(3(2, 210 yynnn3.（第 19 届巴尔干地区数学奥林匹克）已知数列：求所有正整数 n，使得 1+5
5、anan+1 为一个完,1,0, 1221 aaann全平方数。4 （2002 年，罗马尼亚为 IMO 和巴尔干地区数学奥林匹克选拔考试供题（第一轮） ）设数列 如下定义： ，证明：对所有的正)0( na )1(14,10 naann整数 n， 是完全平方数。12本题可以看做是今年这道竞赛题经过转化得到递推式后的情形。反过来，今年的这道竞赛题便可以看作是上述题 2、3 的合成（串联） 。5.(26 届 IMO 备选题 )设 （nN，kN ） ，1,)(12)(1(,201 akaka nnn证明对于一切自然数 n，a n 均为整数。四几个类似题1. (22 届 IMO 侯选题 )已知数列 满足 且 n ,1x（n1）,求数列x n的通项公式。)241(6nnxx2试证由 所确定的数列各项都是整数。5,9321021aann3.设 ，求证：对于任意的 均为)2(,1321 na naN,整数。以上几道题目都可以用前面解竞赛题的方法求解，供感兴趣的读者练习。
