1、全国中学生物理竞赛分类汇编光学 11 第 21 届预赛一、（15分）填空1 d一个可见光光子的能量的数量级为_J。2已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80。试判断下列说法是否正确，并简述理由。a 反射光子数为入射光子数的80；b每个反射光子的能量是入射光子能量的80。2 六、（ 15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的 C点，球面的半径R1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P 点紧贴一张画片， P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看
2、到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1 1.56，酒的折射率n 21.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。3 第 21 届复赛四、(20 分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形） 如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简
3、化了的情况来说明如图，S 1、S 2、 S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为 =arctan 的圆锥形光束请使用三个4完全相同的、焦距为 f = 1.50h、半径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于 z 轴（以S2 为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点 （加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距 ）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明
4、对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据LS1S3 PS2hh z4 第 20 届预赛一、 （20 分）两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置，如图所示已知 L1 的焦距 f1=f , L2 的焦距f2=f，两透镜间距离也是 f小物体位于物面 P 上，物距 u1 3f（1 ）小物体经这两个透镜所成的像在 L2 的_边，到 L2 的距离为_，是_倍（虚或实） 、_像（正或倒） ，放大率为_。（2 ）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向_边移动距离_这个新的像是 _像（虚或实）、_像（正或倒）放大率为_。5 第 20 届复赛四、(20 分)如图所示，一半径
5、为 、折射率为 的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半Rn径为 的区域被涂黑一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面 为以球0h Ox心 为原点，与平而垂直的坐标轴通过计算，求出坐标轴 上玻璃半球右边有光线通O x过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标6 第 19 届预赛五、 （20 分）图预 19-5 中，三棱镜的顶角 为 60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 的两个完全相同的凸透镜 L1 和 L2若在 L1 的前焦面上距主光轴下方30.cmf处放一单色点14.y光源 ，已知其像 与SS对该光学系统是左右对称的试求该三棱镜的折射率7 第 19 届复赛五、 （
6、20 分）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为 和 ，则透镜两侧各有一个焦点（设为 和 ） ，但 、1n2 1F21和透镜中心的距离不相等，其值分别为 和 2f。现有一个薄凸透镜 ，已知此凸透镜2F1 L对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。1试求出此时物距 ，像距 ，焦距 、 2f四者之间的关系式。uv12若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为 ，则与之相应的出1射线与主轴的夹角 多大？23 ， ， ， 四者之间有何关系？1f1n8 六、 （20 分）在相对于实验室静止的平面直
7、角坐标系 中，有一个光子，沿 轴正方向Sx射向一个静止于坐标原点 的电子在 轴方向探测到一个散射光子已知电子的静止质Oy量为 ，光速为 ,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1100mc1试求电子运动速度的大小 ,电子运动的方向与 轴的夹角 ；电子运动到离原点距vx离为 （作为已知量）的 点所经历的时间 0LAt2在电子以 1 中的速度 开始运动时，一观察者 相对于坐标系 也以速度 沿 中vSSvS电子运动的方向运动(即 相对于电子静止 )，试求 测出的 的长度S OA全国中学生物理竞赛分类汇编光学 21 第 18 届预赛三、（18 分）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经
8、透镜折射后，会聚于透镜处，透镜的折射率 。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前 12 处，48cmf1.5n cm求最后所成象的位置。2 第 18 届复赛一、 （22 分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率 ，中心轴线长 ，一端是半1.5n45cmL径为 的凸球面10cmR1要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统） ，取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求 （此比值等于此玻璃棒望远系统1 21/的视角放大率） 3 第
9、 17 届预赛三、 （15 分）有一水平放置的平行平面玻璃板 ，厚 3.0 cm，折射率 。在其下表面H1.5n下 2.0 cm 处有一小物 ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜 ，其焦距 ，透镜的主轴SL30cmf与玻璃板面垂直； 位于透镜的主轴上，如图预 17-3 所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到 的像就在 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?4 第 17 届复赛二、 （20 分）如图复 17-2 所示，在真空中有一个折射率为 （ ， 为真空的折射率） 、n0n半径为 的质地均匀的小球。频率为 的细激光束在真空中沿直线 传播，直线 与小rBC球球心 的距离为 （ ） ，光束于小球体表面的
10、点 点经折射进入小球（小球成为光Olr传播的介质） ，并于小球表面的点 点又经折射进入真空设激光束的频率在上述两次折D射后保持不变求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小5 六、（25 分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯和包层 组成， 的折射率小于 的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面ABA射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯 和包层 的分界面上发生多次全反射现在利B用普通光纤测量流体 的折射率实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心 ，经端F O面折射进入光纤，在光纤
11、中传播由点 出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹O角为 ，如图复 17-6-1 所示最后光从另一端面出射进入流体 在距出射端面 处放0 F1h置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏 ，在 上出现一圆形光斑，测出其直径为 ，然后移动Dd光屏 至距光纤出射端面 处，再测出圆形光斑的直径 ，如图复 17-6-2 所示D2h2d1若已知 和 的折射率分别为 与 ，求被测流体 的折射率 的表达式ABAnBFFn2若 、 和 均为未知量，如何通过进一步的实验以测出 的值?n06 第 16 届预赛五、 （15 分）一平凸透镜焦距为 ，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它 处，垂直于f 2f主轴放置一高为 的物，其下
12、端在透镜的主轴上（如图预 16-5） 。H1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。2. 用计算法求出此像的位置和大小。7 第 16 届复赛二、 （25 分）两个焦距分别是 和 的薄透镜 和 ，相距为 ，被共轴地安置在光具1f21L2d座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。全国中学生物理竞赛分类汇编光学 1参考答案1 第 21 届预赛 2004.9.5一、1. d. 10192. a正确，b 不正确。理由：反射时光频率 不变，这表明每个光子能量h 不变。评分标准：本题1
13、5分，第1 问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3 分。2 六、把酒杯放平，分析成像问题。 1未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n 1和 n01。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心 C的光线PO 经过顶点不变方向进入空气中；由 P发出的与PO成 角的另一光线PA在A 处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为 ，由折射定律和几何关系可得n1sinin 0sinr （1） i+ （2）在PAC中，由正弦定理，有（3）siniRPC考虑近轴光线成像， 、i 、r 都是小角度，则有（4）10rin（5）RiPC由（2）、（4 ）、（5 ）式、n
14、0、n l、R的数值及 cm可得4.8PCO图 1 1.31i （6）r 1.56i （7）由（6）、（7 ）式有r （8）由上式及图1可知，折射线将与 PO延长线相交于P ，P 即为P点的实像画面将成实像于P 处。在CAP 中，由正弦定理有（9）siniRCPr又有 r + (10)考虑到是近轴光线，由（9）、（ l0）式可得(11)CPRr又有（12）O由以上各式并代入数据，可得cm （13）7.9P由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2斟酒后，杯底凸
15、球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n 1和n 2，如图2所示，考虑到近轴光线有（14）12nri图 2代入n 1和n 2的值，可得r1.16i （15）与（6）式比较，可知r （16）由上式及图2可知，折射线将与 OP延长线相交于P ，P 即为 P点的虚像。画面将成虚像于P 处。计算可得（17）rCPR又有（18）O由以上各式并代入数据得cm （19）13P由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P 处，距O点13cm即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。评分标准：本题15
16、分求得（13 ）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。3 第 21 届复赛四、1考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴，三个光心 O1、O 2、 O3 的连线平行于 3 个光源的连线，O 2 位于 z 轴上，如图 1 所示图中表示组合透镜的平面， 、 、 为三个光束M S23中心光线与该平面的交点 u 就是物距根据透镜成像公式(1)fuL1zLS1PS2hh1SS3O1O2(S2)O3图 1MMu可解得4212fLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点，来自各光源
17、的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有 2utan h 即 u2h在上式中取“”号，代入 f 和 L 的值，算得1.757h (2)36(此解满足上面的条件 分别作 3 个点光源与 P 点的连线为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点，3 个透镜的光心 O1、O 2、O 3 应分别位于这 3 条连线上（如图 1） 由几何关系知，有(3) hhLuO854.0)24(21 即光心 O1 的位置应在 之下与 的距离为S(4)hhS16.021同理，O 3 的位置应在 之上与 的距离为 0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜3S3中心之间距离必须等于 0.854h，才能使 S1、S 2、
18、S 3 都能成像于 P 点2现在讨论如何把三个透镜 L1、L 2、L 3 加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径 r = 0.75h，将它们的光心分别放置到 O1、 O2、 O3处时，由于 0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，21O3然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况图 2 画出了 L1、L 2 放在 平面内时相互M交叠的情况（纸面为 平面） 图中 C1、C 2表示 L1、 L2 的边缘， 、 为光束中心光线与1S2透镜的交点，W 1、W 2 分别为 C1、C 2 与 O1O2 的交点为圆心的圆 1 和以 （与
19、 O2 重合）为圆心1S S的圆 2 分别是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产0.146h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2)O1W1W2Q QN NT TC1C2圆 1圆 2图 2x2x1K生的光斑的边缘，其半径均为(5)hu439.0tan根据题意，圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜首先，圆 1 的 K 点（见图 2）是否落在 L1 上？由几何关系可知(6)hrhSOK75.058.146.039.1 故从 S1 发出的光束能全部进入 L1为了保证全部光束能进入透镜组合，对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分下面举
20、出一种对透镜进行加工、组装的方法在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 和 若沿位于 和 之间且与它们平行的任意直线QNQN对透镜 L1 和 L2 进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合T所需组合透镜的上半部同理，对 L2 的下半部和 L3 进行切割，然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜这个组合透镜可以将 S1、S 2、S 3 发出的全部光线都会聚到 P 点现在计算 和 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件设透镜 L1QN被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1，透镜 L2 被切去部
21、分沿 O1O2 方向的长度为 x2，如图 2所示，则对任意一条切割线 ， x1、x 2 之和为T（7）hrd64.021由于 必须在 和 之间，从图 2 可看出，沿 切割时，x 1 达最大值(x 1M)，x 2 达TQN Q最小值(x 2m)， 11OSrxM代入 r， 和 的值，得1OS(8)hx457.01代入(7)式，得(9)xdMm89.12由图 2 可看出，沿 切割时， x2 达最大值(x 2M)，x 1 达最小值( x1m)， NrxM2代入 r 和 的值，得(10)hxM31.02（11）dm5.1由对称性，对 L3 的加工与对 L1 相同，对 L2 下半部的加工与对上半部的加工
22、相同评分标准：本题 20 分第 1 问 10 分，其中（2）式 5 分， （3）式 5 分，第 2 问 10 分，其中(5) 式 3 分， (6)式 3 分，(7)式 2 分，(8)式、(9) 式共 1 分，(10)式、(11) 式共 1 分如果学生解答中没有(7)(11)式，但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉） ”给 3 分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h，再给 1 分，即给(7)(11) 式的全分（4 分） 4 第 20 届预赛一、参考解答（1 ） 右 f 实 倒 1 。（2 ） 左
23、2f 实 倒 1 。评分标准：本题 20 分，每空 2 分。5 第 20 届复赛四、参考解答图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域） ，光线在球面上的入射角和折射角分别为 和 ，折射光线与坐标轴的交点在 。i P令轴上 的距离为 ， 的距离为 ，根据折射定律，有OPxMPl（1）sin在 中OMP（2）sinlxi（3）22coslRi由式（1）和式（2）得xnl再由式（3）得22(cos)Rxi设 点到 的距离为 ，有MOxhsin222coRiRh得 222xxn（4）21()0Rh解式（4）可得（5）2221nnx为排除上式中应舍弃的解
24、，令 ，则 处应为玻璃半球在光轴 上的傍轴焦点，由上0hxOx式 2(1)1nnxRR或由图可知，应有 ，故式（5）中应排除号中的负号，所以 应表示为R x（6）2221nhnhx上式给出 随 变化的关系。xh因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有 ，其中折射0h光线与 轴交点最远处的坐标为Ox（7）2220001nRhnhx在轴上 处，无光线通过。0x随 增大，球面上入射角 增大，当 大于临界角 时，即会发生全反射，没有折射光hiiCi线。与临界角 相应的光线有CiC1sinhR这光线的折射线与轴线的交点处于（8）22C1nnRx在轴 上 处没有折射光线通过。OxR由以上
25、分析可知，在轴 上玻璃半球以右Ox（9）C0的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。 与 就是所要求的分界点，如图复解 20-0xC4-2 所示评分标准：本题 20 分。求得式（7）并指出在 轴上 处无光线通过，给 10 分；求得式（8）并指出在 轴Ox0 Ox上 处无光线通过，给 6 分；得到式（9 ）并指出 上有光线段的位置，给 4 分。0x Ox6 第 19 届预赛五、参考解答由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由 射向 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对S1L称性可知12ir由几何关系得 1260ri由图可
26、见1ir又从 的边角关系得1FSOtan/yf代入数值得arct(14.3/0)25.49由、与式得 ，1.i根据折射定律，求得1sin.65r评分标准：本题 20 分1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。2. 、式各给 2 分，式给 3 分，式给 1 分，式给 4 分。7 第 19 届复赛五、参考解答利用焦点的性质，用作图法可求得小物 的像 ，如下图所示。PQ（1）用 和 分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得y（1）12ufvf121()f简化后即得物像距公式，即 ， ， ， 之间的关系式uvf2（2）12fuv（2）薄透镜中心附近可视
27、为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图中 为入射角， 2为与之相应的出射角， 为平行板中的光线1与法线的夹角。设透镜的折射率为 ，则由折射定律得n（3）12siisin对傍轴光线， 、 21，得 ， ，因而得12in（4）12n（3）由物点 射向中心 的入射线，经QO折射后，出L射线应射向 ， 如图复解19-5-3所示，QQPP F1F2u vn1 n2yyf1f2图复解 19-5-1n1 n212n图复解 19-5-2QQPPF1F2L2u vuy 1yn1 n2图复解 19-5-3在傍轴的条件下，有（5）12tantanyyuv，二式相除并利用（
28、4）式，得（6）12yvn用（1）式的 代入（6）式，得1/()fuf12()nfv即 （7）21ufn用（1）式的 代入（6）式，得2/()/yvf21unf即 （8）21vfnu从而得 ， ， ， 之间关系式1f22（9）1nf8六、参考解答（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为22001.1(/)mccv（1）由此可解得0.21.470.2vc（2）图复解 19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向电子A入射光子和散射光子的动量分别为 和hpc，方向如图复解19-6所示。电子的动量为 ， 为运动电子的相对论质量。hpc mv由动量守恒定律可得（3）02cos1(/)mvh
29、（4）02sin(/)cvc已知 （5）20.1hm由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得（6）20.37/ch（7）.m（8）127tanrcta()36.1电子从 点运动到 所需时间为OA（9）02.4/Ltcv（2）当观察者相对于 沿 方向以速度 运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得SOv（10）201(/)c（11）.9L全国中学生物理竞赛分类汇编光学 2参考答案1 第 18 届预赛三、参考解答1先求凸球面的曲率半径 。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在R球面上发生折射，交主光轴于 点，如图预解 18-3-1 所示。 点为球面的球心，FC，由正弦定理，可得COR（1）si
30、n()fr由折射定律知（2）sin1r当 、 很小时， ， ， ，由以上两式得isirsin()risni（3）11fRi所以（4）()nf2. 凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜，如图预解 18-3-2 所示令 表示物所在位置， 点经平PP面折射成像 ，根据折射定律可推出（5）POn由于这是一个薄透镜， 与凹面镜P的距离可认为等于 ，设反射后成像于 ，则由球面镜成像公式可得P（6）12RPO由此可解得 ，可知 位于平面的左方，对平面折射来说， 是一个虚物，3cmP P经平面折射后，成实像于 点。（7）1OnP所以 （8）24cm最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。评分标准：本题 18 分（
31、1 ） 、 （2 ）式各 2 分；（3）或（4）式 2 分；（5 ）式 2 分；（6 ）式 3 分；（7）式 4 分；（8 ）式 3 分。2 第 18 届复赛一、参考解答1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解 18-1-1 所示，图中 为左端球面的球心1C由正弦定理、折射定律和小角度近似得（1）111sin()(/)AFRririn即 （2）1n光线 射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球1PF心 一定在端面顶点 的左方， 等于球面的半径 ，如
32、图复解 18-1-12CB2C2R仿照上面对左端球面上折射的关系可得（3）12FRn又有 （4）11BLA由（2） 、 （3 ） 、 （4 ）式并代入数值可得（5）25cmR即右端为半径等于 5 的向外凸的球面2. 设从无限远处物点射入的平行光线用、表示，令过 ， 过 ，如图复1CA解 18-1-2 所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点 ，即为左端球面对此无限远M物点成的像点现在求 点的位置。在 中M1AC（6）11sin()siin()RAMC又 （7）1sin已知 ， 均为小角度，则有（8）11()RAMn与（2）式比较可知， ，即 位于过 垂直于主光轴的平面上上面已知，玻1AF1F璃棒为天文望远系统，则凡是过 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光M线容易看出，从 射出 的光线将沿原方向射出，这也就是过 点的任意光线（包括2CM光线、）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为 ，由图复2
