1、1第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C 等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物 a 是集合 M的一个元素，就记 a M（读 a 属于 M） ；若事物 a 不是集合 M 的一个元素，就记 a M 或 a M（读 a 不属于 M） ；集合有时也简称为集。注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2：集合的表示方法： 等 。中在 点；为 我 校 的 学 生；须 有 此 性 质 。 如
2、 ： 中 的 元 素 必中 ， 且， 即 ： 有 此 性 质 的 必 在所 具 有 的 某 种 性 质合 可 表 示 为 ： ， 那 么 该 集若 知 其 元 素 有 某 种 性 质不 到 元 素 规 律 的 集 合 ，、 列 不 出 全 体 元 素 或 找为 全 体 偶 数 集 ；，然 数 集 ， 为 全 体 自，写 出 ， 如 ：元 素 的 规 律 ， 也 可 类 似、 对 无 限 集 ， 若 知 道 其 ；鸡一 只 猫 ， 一 只 狗 ， 一 只 的 方 法 来 表 示 ， 如 ：可 用 列 举 出 其 全 体 元 素、 若 集 合 为 有 限 集 ， 就枚 举 法 ),( ),(037
3、5)(642 321,0 ,)( 23Dyx yxCxBxxA AiBi A 3：全体自然数集记为 N,全体整数的集合记为 Z,全体有理数的集合记为 Q,全体实数的集合记为 R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4：集合间的基本关系：若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有 ，必有Ax，就称 A 为 B 的子集，记为 ,或 (读 B 包含 A)。xB显然： .QZN若 ,同时 ,就称 A、B 相等,记为 A=B。5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。6：不含任何元素的集称为空集,记为 ,如： = , = ,Rxx,01212:x空集是任何集
4、合的子集,即 。7：区间：所有大于 a、小于 b 的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),()即(a,b)= 。bxa同理：a,b= 为闭区间， 和 分x,bxab,bxa别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。以上均成为有限区间，a 、 b 分别称为左、右端点。2对无穷区间有： ， Rxxabx ),(),(, 在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用 I 表示。8：邻域：设 a 和 为两个实数，且 0.集合 称为点 a 的 邻域，记为,a 为该邻域的中心， 为该邻域的半径，事实上，),(aU。),(ax同理：我们称 为 a 的去心 邻域，或 a 的空心 邻域。0)
5、,(a 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注 1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。2：常量
6、一般用 a,b,c等字母表示，变量用 x,y,u,t等字母表示，常量 a 为一定值，在数轴上可用定点表示，变量 x 代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如： 表示 可代表 中的任一个数。),(baxx),(ba二、函数的概念【例】正方形的边长 与面积 之间的关系为： ，显然当 确定了， 也就确定xS2xSxS了。这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。定义：设 和 为两个变量， ， 为一个给定的数集，如果对每一个 ，按照一定的xyDDx法则 变量 总有确定的数值与之对应，就称 为 的函数，记为 .数集f y)(xfy称为该函数的
7、定义域， 叫做自变量， 叫做因变量。Dx当 取数值 时，依法则 的对应值称为函数 在 时的函数值。x0f )(xf0所有函数值组成的集合 称为函数 的值域。),(DyWy注 1：函数通常还可用 等表示。)(,tusxFg2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。【例 1】 的定义域为 ，值域为 。xysin),(1,3【例 2】 的定义域为 ，值域为 。xy1),1),0【例 3】 的定义域为 ，值域为 。0112xx 1,2,0【例 4】 的定义域为 ， 的定义域为 ，从而显然)(f ),(xh( ),(),(。)(xhf3、若对每一个 ，只有唯一的一个 与之
8、对应，就称函数 为单值函数；Dy)(xfy若有不止一个 与之对应，就称为多值函数。如： 等。以后若不y 1,22x特别声明，只讨论单值函数。4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例 3 的法则是：当自变量 在x上取值，其函数值为 ；当 取 0 时， ；当 在 上取值时，其函数1,0( 2x21)(xfx)0,1值为 。 （这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同x的算式，但它们合起来只表示一个函数！5、对 中任一固定的 ，依照法则有一个数 与之对应，以 为横坐标， 为纵坐Dyy标在坐标平面
9、上就确定了一个点。当 取遍 中的每一数时，便得到一个点集xD，我们称之为函数 的图形。换言之，当 在 中变动),(),(xfyxC)(xfxD时，点 的轨迹就是 的图形。, )(fy【例 5】 书上的几个例子。 （同学们自己看）【例 6】 例 3 的图形如下图4三、函数的几种特性1、 函数的有界性：设 在 上有定义，若对 ，使得：)(xfyD0,MDx，就称 在 上有界，否则称为无界。Mxf)()(f注：1、若对 ， ，使得 ，就称 在 上有上(下)界。x)()(xfMfxf在 上有界 在 上同时有上界和下界。)(xfD)(f2、 在 上无界也可这样说：对 ，总 ，使得 。f 0Dx0Mxf)
10、(0【例 7】 上段例 1、3、4 中的函数是有界的；例 2 中的函数是无界的，但有下界。2、函数的单调性：设函数 在区间 上有定义，若对 ，当 时总有：)(xfI Ix21、 21x（1） ，就称 在 上单调递增，特别当严格不等式)(21fxf)(fI成立时，就称 在 上严格单调递增。)(2fx（2） ，就称 在 上单调递减，特别当严格不等式)(21fxf)(fI成立时，就称 在 上严格单调递减。)(21fx注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！2、 2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。3、 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。【例 8】 符号函数和取整函数均为单增
11、函数，但不严格单调。【例 9】 在 上是严格单减函数。xy1),0(【例 10】 例 3中的函数在定义域 上不是单调的，但在 上是严格单减的，1,)0,1在 上是严格单增的。1,0(3、函数的奇偶性：设函数 的定义域 为对称于原点的数集，即若 ，有)(xfDDx，Dx(1) 若对 ，有 恒成立，就称 为偶函数。)(ff)(xf(2) 若对 ，有 恒成立，就称 为奇函数。x【例 11】 ， , ,是偶函数， ， ， ，是奇函2xycosy3xyxsinxysg5数。， 是非奇非偶函数。32xyxysinco【例 11】 是奇函数。)1l(2注：1、偶函数的图形是关于 轴对称的，奇函数的图形是关于
12、原点对称的。y2、若 是奇函数，且 ，则必有 。)(xf D00)(f3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性：设函数 的定义域为 ，如果 ，使得对 ，有 ，)(xf lDxl且 恒成立，就称 为周期函数， 称为 的周期。)(xflff )(f【例 12】 分别为周期为 的周期函数， 为周tgxyy,cos,sin ,2xy期为 1 的函数。注 1：若 为 的周期，由定义知 也都是 的周期，故周期函数有无穷l)(xf l4,32)(xf多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期） ，然而最小正周期未必都存在（
13、为什么？）例如： ，设有最小正周期。1cossin22xy2：周期函数在一每个周期 （ 为任意数， 为任意常数）上，有)1(,(lkalak相同的形状。四、反函数设 的定义域为 ，值域为 ，因此，对 ，必 ，使得 ，这)(xfDWyDxyxf)(样的 可能不止一个，若将 当作自变量， 当作因变量，按函数的概念，就得到一新yx函数 ，称之为函数 的反函数，而 叫做直接函数。)(y)(f)(f注 1：反函数 的定义域为 ，值域为 ；)(xD2：由上讨论知，即使 为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此)(xfy问题还作研究；3：在习惯上往往用 表示自变量， 表示因变量，因此将 中的 与 对换
14、一y)(yxxy下， 的反函数就变成 ，事实上函数 与 是表示同一函数)(xfy)(x)(y的，因为，表示函数关系的字母 没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关“6系。所以说：若 的反函数为 ，那么 也是 的反函数，且)(xfy)(yx)(x)(xfy后者较常用；4：反函数 的图形与直接函数 的图形是对称于 （证明很简单，)()(f 大家自己看书） ；5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。【例 13】 函数 的反函数分别为： 或分32,xybaxy 31,yxabyx别为 。31,bxy1、2 初等函数一、幂函数形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数。xy其定义域较为复杂，下作
15、一些简单的讨论：（1） 当 为非负整数时，定义域为 ；),(（2） 当 为负整数时，定义域为 ；0（3） 当 为其它有理数时，要视情况而定。【例 1】 的定义域为 ；31xy),(的定义域为 ；432, ,0的定义域为 。1xy),(（4） 当 为无理数时，规定其定义域为 ，其图形也很复杂，但不论 取何值，),(图形总过（1，1）点，当 0 时，还过（0，0）点。二、 指数函数与对数函数1、 指数函数：形如 的函数称为指数函数，其定义域为 ，其)1,(ayx ),(图形总在 轴上方，且过（0，1）点，x（1） 当 时， 是单调增加的；ax（2） 当 时， 是单调减少的；ay以后我们经常遇到这样
16、一个指数函数 的意义以后讲，其图形大致如下图所示，eyx,7特别地， 与 关于 轴对称。xayxy2、对数函数：指数函数 的反函数，记为 为常数， ,称为对xayaxy(log)1,0a数函数，其定义域为 ，由前面反函数的概念知： 的图形和 的图形),0( xylog是关于 对称的，从此，不难得 的图形，xyxyal的图形总在 轴右方，且过（1，0）点alog（1） 当 时， 单调递增，且在（0，1）为负， 上为正；1xyalog ),1(（2） 当 1 时， 单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；0特别当 取 时，函数记为 ，称为自然对数函数。aexyln三、 三角函数与反三角函数1、 三
17、角函数三角函数主要是：正弦函数： ),(sinxy余弦函数： co正切函数： ,2102ta nnxy余切函数： ,c正弦函数和余弦函数均为周期为 的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割 和余割 ，其图形在此不做讨论了。xycos1exysin1c2、 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数： 1,sinAry反余弦函数： cox反正切函数： ),(tary8反余切函数： ),(cotxAry显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将 限制在
18、上，得一单值函数，记为 ，它就是所取主值函xArcysin2, xyarcsin数， 叫做主值区间，显然 ，2, 2arcsinx同理：将 限制在 上，得xrcyos,0yo将 限制在 上，得Atan2xarct将 限制在 上，得xrcy,y从图中不难看出 和 是单调递增的， 和 是单调递减的。sixrctarosxarct四、 复合函数和初等函数设 ，定义域为 ， ，定义域为 ，值域为 ，且 ，这样对于)(ufy1D)(u2D2W12D，由 可算出函数值 ，所以 ，由 又可算出其函2x)(x12W1u)(ufy数值 ，因此对于 ，有确定的值 与之对应，从而得一个以 为自变量， 为因y2yxy
19、变量的函数，我们称之为以 为外函数， 为内函数复合成的复合函数，)(ufy)(x记为 ，其中 为中间变量。)(xfy【例 1】 就是 和 复合而成；2sin2yxsin就是 和 复合而成。coxyuco2注 1：并非任何两函数都可以复合的，例如： 和 不能复合；arsin2x和 也不能复合。uy12：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：就是 复合成的。2)tan(lxxvuyln,tan23：在函数复合中，未必都有 、 的形式，一般为 和 ，)(f)()(xfy)(xgy这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有 和 之分。92、初等函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数
20、和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。【例 2】 等都是初等函xyxyxyxx sin1arct,)tan(l,si,21, 22 数。本教材讨论的主要都是初等函数。五、 双曲函数和反双曲函数双曲正弦： ),(2xeshxyx双曲余弦： ),(cx双曲正切： ),(xehxstyx反双曲正弦： ),()1ln(2ars反双曲余弦： 1xxchxy（多值函数 取“+”号为主值）)l(2反双曲正切： ),(1lnxxarty由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。1、3 数列
21、的极限所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排） 。在数学中，我们可用这样的话来定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 ，由于全体自然3,21),(nfxn数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为 或数列 nx,21 nx。数列中的每一数称为数列的项，第 项 称为一般项或通项。n nx【例 1】 书上用圆内接正 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列126n10（多边形的面积数列） ,21nA【例 2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列： ，通项为 。 ,1,32nn21【例
22、 3】 ;,)(,;1 34,64 n都是数列，其通项分别为 。n1,2)(,11注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将 依次在数轴上描出点的位置，nx我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然， 是无限接近于 0 的；n1,2是无限增大的； 的项是在 1 与 两点跳动的，不接近于某一常数；n21)(n无限接近常数 1。1对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。我们来观察 的情况。从图中不难发现 随着 的增大，无限制地接近 1，n1n1亦即 充分大时， 与 1 可以任意地接近，即 可以任意地小，换言之，当n 充分大时 可
23、以小于预先给定的无论多么小的正数 。例如，取 ，由 10，即 从第 101 项开始，以后的项101nnn1都满足不等式 ，或者说，当 时，有,23,011x 0x10n。同理，若取 ，由 ，即n101n从第 10001 项开始，以后的项 都满足不等式1 ,023,0211xx11，或说，当 时，有 。一般地，不论给定的正数10nx10n10n多么小，总存在一个正整数 ，当 时，有 。这就充分体现了当 越Nn来越大时， 无限接近 1 这一事实。这个数“1”称为当 时， 的极限。n n1定义：若对 （不论 多么小） ，总 自然数 ，使得当 时都有00NN成立，这是就称常数 是数列 的极限，或称数列
24、 收敛于 ，记为axn anxnxa，或 （ ） 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。limxn【例 4】证明数列 收敛于 1。 ,1,342证明：对 ，要使得 ，只须 ，所以取 ，当 时，0nn1NNn有 ，所以 。n11limn注 1： 是衡量 与 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管 具nxa 有任意性，但一经给出，就应视为不变。 （另外， 具有任意性，那么 等2,也具有任意性，它们也可代替 ）2： 是随 的变小而变大的，是 的函数，即 是依赖于 的。在解题中， 等于N NN多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个 ，使得当 时，有n就行了，而不必求最小的 。ax
25、n【例 5】证明 。1lim2n证明：对 ，因为 ,因为0n nanna222)(1（此处不妨设 ，若 ，显然有 ）a0lim2n12所以要使得 ，只须 就行了。12nana2即有 . 所以取 ，当 时，因为有2n2NNna2，所以 。12na1lim2n注 3：有时找 比较困难，这时我们可把 适当地变形、放大（千万不可缩小！） ，Naxn若放大后小于 ，那么必有 。【例 3】 设 ，证明 的极限为 0，即 。1q ,12nq0lim1nq证明：若 ，结论是显然的，现设 ，对 ， （因为 越小越好，不妨设00） ，要使得 ，即 ，只须两边放对数后，1n1n成立就行了。因为 ，所以 ，所以l)1
26、(qn q0lnq。qnl1l取 ，所以当 时，有 成立。NlN01nq收敛数列的有关性质：定理 1：（唯一性）数列 不能收敛于两个不同的极限。nx证明：设 和 为 的任意两个极限，下证 。abba由极限的定义，对 ，必分别 自然数 ，当 时，021,N1n有 (1)xn当 时，有 (2)令 ，当 时， （1） ， （2）同2Nbxn 21,Max时成立。现考虑：)()( bannnn13由于 均为常数 ，所以 的极限只能有一个。ba,banx注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。【例 4】证明数列 是发散的。1)(nnx证明：（反证法）假设 收敛，由唯一性，设 ，按定义，对 自然数 ，
27、axnlim,21N当 时， ，考虑 ，而N2axn 11 axn， 总是一个“1” ，一个“ ”，所以 ,所以矛盾，nx1 nx所以 发散。1)(nnx定理 2. （有界性）若数列 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 ，若 正数 ，n nxM对一切 ，有 。nMx证明：设 ，由定义对 自然数 当 时， ，所以当alim,1,Nn1axn时， ，令 ，显然对Naxn ,21MaN一切 ， 。n注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列 是有界的1)(nnx（ ） ，但函数收敛。此点希望注意！1nx1、4 函数的极限由上节知，数列是自变量取自然数时的函数， ，因此，数列是函数的一种)(n
28、fx特性情况。此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面：一、 自变量 任意接近于有限值 ，或讲趋向（于） （记 ）时，相应x00x0x的函数值 的变化情况。)(f二、当自变量 的绝对值 无限增大，或讲趋向无穷大（记 ）时，相应的函xx x数值 的变化情况。)(f14一、 自变量趋向有限值 时函数的极限0x与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值 时的函数极限可理解为：当 时，0x 0x（ 为某常数） ，即当 时， 与 无限地接近，或说 可任意Axf)( 0x)(fAAf)(小，亦即对于预先任意给定的正整数 （不论多么小） ，当 与 充分接近时，可使得x0小于 。用数学的语言
29、说，即xf)(定义 1：如果对 （不论它多么小） ，总 ，使得对于适合不等式000的一切 所对应的函数值 满足： ，就称常数 为函数 当x)(xf Axf)(A)(xf时的极限，记为0，或 （当 时）Axfn)(limxf)(0x注 1：“ 与 充分接近”在定义中表现为： ，有 ，即 。0 0x),(0xU显然 越小， 与 接近就越好，此 与数列极限中的 所起的作用是一样的，x0 N它也依赖于 。一般地， 越小， 相应地也小一些。2：定义中 表示 ，这说明当 时， 有无限与 在 点000x)(f)(0xf（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与 值也无关） 。03：几何解释：对 ，作两
30、条平行直线 。由定义，对此 Ay,。当 ，且 时，有 。0,00xx0xAxf)(即函数 的图形夹在直线 之间（ 可能除)(fyy, 0外） 。换言之：当 时， 。从图中也可见 不唯),(0xU),()AUxf一！【例 1】 证明 （ 为一常数）Cx0lim证明：对 ，可取任一正数 ，当 时， ，0x 0)(CAxf15所以 。Cx0lim【例 2】 证明 )0()(00 abxa证明：对 ，要使得 ，只须 00)(xax， 所以取 显然当 时，有 。ax0 0a)()(0bax【例 3】 证明 。3212lim1xx证明：对 ，因为 所以0,a )12(312312.0 xxx此处 ，即考虑
31、 附近的情况，故不妨限制 为 ，即1x10x 0， 。因为 ，要使 ,203)12(3,2x312x只须，即 。取 （从图形中解释） ，当 时，31x31x,min 0有 。22x定理 1：（保号性）设 ，Axf)(li0（i） 若 ，则 ，当 时， 。0),(0xU0)(xf)(f（ii） 若 ，必有 。)()(xff A证明：（i）先证 的情形。取 ，由定义，对此 ，当 时，0A2,),(0xU，即 。2)(xf )23)(fxfA当 时，取 ，同理得证。（ii）(反证法)若 ，由(i) 矛盾，所以 。00)(xf 0A当 时，类似可证。xf16注：(i)中的“ ”， “ ”不能改为“ ”
32、， “ ”。在(ii)中，若 ，未必有 。0)(xf 0A在函数极限的定义中， 是既从 的左边（即从小于 的方向）趋于 ，也从0x0x0x的右边（即从大于 的方向）趋于 。但有时只能或需要 从 的某一侧趋于 的0x0x 00极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：定义 2：对 ， ，当 时，当 时，有00xx00x.这时就称 为 当 时的左右极限，记为Axf)(A)(f或 。xlim0xf( 或 。f)(0 )0定理 2： 。AxfxfAxx )(lim(lili 000【例 4】 ，因为 ，所以 不存在。1)sgn,1)sgn(1)sgn(lim0xx【例 5
33、】设 ，求 。02xxf )(li0fx解：显然 1lim)(li00xxf)(因为 ，所以 。li)(li00ffxx 1)(lim0xf二、自变量趋向无穷大时函数的极限定义 3：设 当 时是有定义的，若对 ，当 时，有)(xf)(a )(,aXXx，就称 为 当 时的极限，记为 或A(xfAfxlim（当 时） 。xf)(x注 1：设 在 上有定义，若对 ，当 时，),(),ba 0,X)(Xx有 ，就称 为 当 时的极限，记为Axf( )(xf )(x，或 （当 ） （ ，或 （当x)limAf)(Afxlimxf)(17） ） 。x2： 。AxfxfAfx )(lim)(li)(lim
34、3：若 ，就称 为 的图形的水平渐近线（若 或xy Axfx)(lim，有类似的渐近线） 。f)(li【例 6】 证明 。0sinx证明：对 ，因为 ，所以要使得 ，只须x1sini0sinx，故取 ，所以当 时，有 ，所以11xXXi。0sinlmx1、5 无穷小与无穷大一、无穷小若 当 或 时的极限为零，就称 为当 或 时的无)(xf0x)(xf0x穷小，即有定义 1：对 若 ，使得当 时，有 成立，,)(X )(00X)(f就称 为当 时的无穷小，记为 。)(xf0x 0lim0li0 xxf注 1：除上两种之外，还有 的情形。, 00x2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为
35、0） ，不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是 0 函数，由此得：0 是唯一可作为无穷小的常数。【例 1】 因为 ，所以 当 时为无穷小；42)(lim2x42x2同理： ，所以 当 时为无穷小，0snxsin而 ，所以 当 时不是无穷小。)4(li0x0定理 1：当自变量在同一变化过程 （或 ）中时：0（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即： 为 的极限A)(xf18为无穷小。Axf)(（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限（证明在下一节）。二、无穷大若当 或 时 ，就称 为当 或 时的无穷大。0x)(xf)(xf0x定义 2：若对
36、 ，使得当 时，有 ，0,XM )(XMxf)(就称 当 时的无穷大，记作: 。)(xf )(x limli0 xfx注 1：同理还有 时的定义。)(,)(ff2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。3：若 或 ，按通常意义将， 的极限不存在。)(lim0xf)(lixf )(xf【例 2】 可证明 ，所以当 时 为无穷大。201x 021定理 2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若 为无穷大，则 为无穷小。)(f )(xf（ii）若 为无穷小，且 ，则 为无穷大。)(xf 0f)(1xf（证明自己看）1、6 极限运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法
37、来求极限。定理 1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 （证明0)lim(0li,lim在后面） 。注 1： 与 都表示函数 与 ，而不是常数。u)(xu2： “ ”下放没标自变量的变化过程，这说明对 及 均成立，但须同lim0x一过程。定理 2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 有界， 。u0limliu证明：证明 时的情况，设函数 在 的某邻域 内有界，即 ，当0xu0x),(10xUM19时，有 ，又设 为当 时的无穷小，即 ，故),(10xUMu0x0limx对 ，当 时，有)(,1),(0Uxu所以 ，即 为无穷小；同理可证 时的情形。0lim0x x推论 1：常数与无穷小的乘积
38、仍为无穷小，即若 为常数， 。k0lim0lik推论 2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设。)lim(0lilili 2121 nn定理 3：若 ，则 存在，且BxgAxf)(lim,)(li )(lixgf。)(liAf证明： 只证 ，过程为 ，对 ，当x)(li 0x0,1时，有 ，对此 ， ，当 时，有10x2f 22x，取 ，当 时，有2)(Bg,min10x 2)()()()()( BxgAfBgAxfAxf所以 。Bgfx)li0其它情况类似可证。注 1：本定理可推广到有限个函数的情形。2：在本定理中，设 ，0)(lim)(li)(,)(lim AxfAxgxgAf反之，若 ，其中
39、 ，即证xf)( flili(0li1.5 定理 1。3：若令 ，即证定理 1。0A定理 4：若 ，则 存在，且Bxgxf)(li,)(li )(lixgf。mlimf证明：因为 ，由1.5 定理 1（i）xAxf)(li,)(li ,)(Bgxf20（ 均为无穷小） ，记, )()()( BABAxgf，由定理 2 的推论 1.2 及定理 1 为无穷小，再由1.5 定BA 理 1（iii） 。xf)(lim推论 1： （ 为常数） 。)(licxfc推论 2： （ 为正整数） 。nnxf)(li定理 5：设 ，则 。0)(lim,)(li BgAf )(lim)(lixgfBAxgf证明：设
40、 （ 为无穷小） ，考虑差：xxf,)()( BBg其分子 为无穷小，分母 ，我们不难证明 有A0)(2B)(1B界（详细过程见书上） 为无穷小，记为 ，所以 ，由)(BAAxgf)(1.5 定理 1（ii） 。xgf)(lim注：以上定理对数列亦成立。定理 6：如果 ，且 ，则 。)(xbxax)(li,)(lia【例 1】 。babaxxxx 00000 mli(lim【例 2】 。nn00推论 1：设 为一多项式，当nn axxaxf 11)(。)(li 00000 xfnx 推论 2：设 均为多项式，且 ，由定理 5， 。)(,QP)(0xQ)()lim00xQPx21【例 3】 。3
41、15105(lim221 xx【例 4】 （因为 ） 。97397li550x 035注：若 ，则不能用推论 2 来求极限，需采用其它手段。)(0Q【例 5】求 。32lim1xx解：当 时，分子、分母均趋于 0，因为 ，约去公因子 ，1x)1(x所以 。532lim32li11 xxx【例 6】求 。)(li1x解：当 全没有极限，故不能直接用定理 3，但当 时，,3 1x，所以12)(1123 xxx。)(lim(lim22131 xx【例 7】求 。li2x解：当 时， ，故不能直接用定理 5，又 ，考虑：0 42x，42lim2x由1.5 定理 2（ii） 。2limx【例 8】设 为
42、自然数，则nba,0,0。 时当 时当 时当 mnbaxbmmnnx 0li10 22证明：当 时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6 定理 5，先变形：xmnmnxmnnx xbbaabbaa 1010 lili时当 时当 时当 mnba000100 【例 9】求 。)21(lim2nn解：当 时，这是无穷多项相加，故不能用1.6 定理 3，先变形：原式 。21li2)1(li)(li2 nnnn【例 10】证明 为 的整数部分。xx,1证明：先考虑 ，因为 是有界函数，且当 时， ，所以由xx0x1.6 定理 2 。1lim0)1(li0limxxx1.7 极限存在准则、两个重要极限准
43、则 I：如果数列 满足下列条件：nzy,（i）对 ;nx,（ii） azylimli那么，数列 的极限存在，且 。nxaxnli证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即zylili 0,1N1nayn，对 ，当 时，有 ，即 ，又an2N2azz因为 ，所以当 时，有 ，zxy,21Maxn axynn即有： ，即 ，所以 。an n axnlim准则 I如果函数 满足下列条件：)(,)(xhgf23（i）当 时，有 。)(,0MxrUx )()(xhfxg（ii）当 时，有 。A,那么当 时， 的极限存在，且等于 。)(0x)(xf作为准则 I的应用，下面将证明第一个重要极限： 。1sinl
44、m0x证明：作单位圆，如下图：设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即：xAOB20x AODBAOBSS扇 形，即 ，xtan21sin21tansi1icocosix（因为 ，所以上不等式不改变方向）0x当 改变符号时， 及 1 的值均不变，故对满足 的一切xsin, 20x，有 。 xco又因为 ，x 214)2(si1)s(1s 2xx所以 colimco20xxx而 ，证毕。1snli1limsli 000 xxx【例 1】 。sinlsilinl 00arcsin0 ttxtxt令24【例 2】 。1sinlm)sin(lsilm0txxtxt【例 3】 。3co13itai00 【例 4】 。21)sin(l2)(sinlcos1li 0020 xxxx准则：单调有界数列必有极限如果数列 满足： ，就称之为单调增加数列；若满足：nx nxx21，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通 x21称为单减数列和严格单减数列。如果 ，使得： ，就称数列 为有上界；若
