1、11.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用三角形的面积公式提出问题在 ABC中，若 AC3， BC4， C60.问题 1： ABC的高 AD为多少？提示： AD ACsin C3sin 60 .332问题 2： ABC的面积为多少？提示： S ABC BCAD 4 3 .12 12 332 3问题 3：若 AC b， BC a，你发现 ABC的面积 S可以直接用 a， b， C表示吗？提示：能 S absin C.12导入新知三角形的面积公式(1)S aha(ha表示 a边上的高)12(2)S absin C bcsin A acsin B.12 12 12化解疑难三角形的面积公式 S abs
2、in C与原来的面积公式 S ah(h为 a边上的高)的关系12 12为：h bsin C，实质上 bsin C就是 ABC中 a边上的高三角形的面积计算例 1 在 ABC中，已知 C120， AB2 ， AC2，求 ABC的面积3解 由正弦定理知 ，ABsin C ACsin B2即 ，所以 sin B ，23sin 120 2sin B 12由于 AB AC，所以 C B，故 B30.从而 A1801203030.所以 ABC的面积S ABACsin A12 2 2sin 3012 3 .3类题通法1求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些
3、不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值2事实上，在众多公式中，最常用的公式是 S ABC absin C bcsin A acsin 12 12 12B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式活学活用1在 ABC中，若 A60， b16， S ABC64 ，则 c_.3解析：由已知得 S ABC bcsin A，12即 64 16csin 60，解得 c16.312答案：162在 ABC中，若 a3， b2， c4，则其面积等于_解析：由余弦定理得 cos A ，b2 c2 a22bc 4 16
4、 9224 1116所以 sin A ，1 cos2 A31516于是 S ABC bcsin A 24 .12 12 31516 3154答案：3154三角形中的恒等式证明问题例 2 在 ABC中，求证： .a ccos Bb ccos A sin Bsin A3证明 法一：左边a c a2 c2 b22acb c b2 c2 a22bc a2 c2 b22a 2bb2 c2 a2 右边，ba 2Rsin B2Rsin A sin Bsin A其中 R为 ABC外接圆的半径 .a ccos Bb ccos A sin Bsin A法二：左边sin A sin Ccos Bsin B sin
5、Ccos Asin B C sin Ccos Bsin A C sin Ccos A 右边，(cos C0)sin Bcos Csin Acos C sin Bsin A .a ccos Bb ccos A sin Bsin A类题通法解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解活学活用在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，求证： c .ab ba (cos Bb cos Aa )证明：由余弦定理的推论得cos
6、 B ，cos A ，a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc代入等式右边，得右边 c(a2 c2 b22abc b2 c2 a22abc ) 左边，2a2 2b22ab a2 b2ab ab ba c .ab ba (cos Bb cos Aa )三角形中的综合问题例 3 (浙江高考)在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知4b c2 acos B.(1)证明： A2 B；(2)若 ABC的面积 S ，求角 A的大小a24解 (1)证明：由正弦定理得 sin Bsin C2 sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin( A B)sin
7、 Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin( A B)又 A， B(0，)，故 0 A B，所以 B( A B)或 B A B，因此 A(舍去)或 A2 B，所以 A2 B.(2)由 S 得 absin C ，故有 sin Bsin C sin A sin 2Bsin Bcos B.a24 12 a24 12 12因为 sin B0，所以 sin Ccos B.又 B， C(0，)，所以 C B.2当 B C 时， A ；2 2当 C B 时， A .2 4综上， A 或 A .2 4类题通法解决三角形的综合问题，除灵活运用正弦、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要
8、用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键活学活用已知 a， b， c是 ABC中角 A， B， C的对边， S是 ABC的面积若 a4， b5， S5，求 c.3解： S absin C，125 45sin C，312sin C .32而 0C180，于是 C60或 120.又 c2 a2 b22 abcos C，5当 C60时， c24 25 2245cos 6021， c .21当 C120时， c24 25 2245cos 12061， c ，故 c的长为 或 .61 21 6162.破 解 多 边 形 中 的 几 何 问 题典例 (
9、12 分)如图，在四边形 ABCD中， AC CD AB1，12 1，AB AC sin BCD .35(1)求边 BC的长；(2)求四边形 ABCD的面积解题流程规范解答(1) AC CD AB1，12 | | |cos BACAB AC AB AC 名师批注向量数量积运算公式易用错，在 ABC中， 和 夹角有时误认为是 ABC，从而AB AC 不得分2cos BAC1，cos BAC ， BAC60.(3 分)12在 ABC中，由余弦定理有：BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC2 21 2221 3， BC .(6分)12 3(2)由(1)知，在 ABC中有： AB2 BC2
10、AC2， ABC为直角三角形，且 ACB90，(7 分)7 S ABC BCAC 1 .(8分)12 12 3 32又 BCD ACB ACD90 ACD，sin BCD ，cos ACD ，(9 分)35 35名师批注利用了诱导公式求 cos ACD，求解时对取正负号要特别注意.sin ACD ，(10 分)1 cos2 ACD45 S ACD ACCDsin ACD 11 .(11分)12 12 45 25 S 四边形 ABCD S ABC S ACD .(12分)32 25 4 5310活学活用在 ABC中， AB2，cos C ， D是 AC上一点， AD2 DC，且277cos DB
11、C .5714求：(1) BDA的大小；(2) .AD CB 解：(1)由已知 cos DBC ，5714cos C ，从而知 sin DBC ，277 2114sin C ，217cos BDAcos( DBC C) ，5714 277 2114 217 12 BDA .3(2)设 DC x，则 AD2 x， AC3 x，设 BC a，则在 DBC中，由正弦定理得 ，xsin DBC asin BDC a x.7在 ABC中，由余弦定理得4(3 x)2( x)223 x x .7 72778解得 x1，| |3，| |2，| | .AC AD BC 7 | | |cos( C)AD CB A
12、D CB 2 4.7 (277)随堂即时演练1已知 ABC的面积为 ，且 b2， c ，则 A的大小为( )32 3A60或 120 B60C120 D30或 150解析：选 A 由 S ABC bcsin A得 2 sin A，12 32 12 3所以 sin A ，故 A60或 120，故选 A.322在 ABC中，若 ，则( )ACAB cos Bcos CA A C B A BC B C D以上都不正确解析：选 C ，ACAB sin Bsin C cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C.sin( B C)0.又 B C， B C0，即 B C.3等腰 ABC中，
13、顶角 A120，腰长 AB1，则底边 BC长为_解析：易知 B C30，由正弦定理知： ，BCsin 120 1sin 30 BC .3答案： 34三角形的两边分别为 3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程 5x27 x60 的根，则这个三角形的面积为_cm 2.解析：方程 5x27 x60 的两根为 x12， x2 ，35因此两边夹角的余弦值等于 ，359并可求得正弦值为 ，45于是三角形面积S 35 6(cm 2)12 45答案：65在 ABC中，若 B30， AB2 ， AC2，求 ABC的面积3解： AB2 ， AC2， B30，3根据正弦定理，有sin C ，ABsin BAC
14、 23122 32又 AB AC， C B，则 C有两解，当 C为锐角时， C60， A90， S ABC ABACsin A2 .12 3当 C为钝角时， C120， A30， S ABC ABACsin A .12 3综上可知， ABC的面积为 2 或 .3 3课时达标检测一、选择题1在 ABC中，已知 AB2， BC5， ABC的面积为 4，若 ABC ，则 cos 是( )A. B35 35C D35 45解析：选 C S ABC ABBCsin ABC12 25sin 4，12sin .45又 (0，)，cos .1 sin2 352在 ABC中，已知 A30， a8， b8 ，则
15、ABC的面积为( )3A32 B16310C32 或 16 D32 或 163 3 3解析：选 D 在 ABC中，由正弦定理 ，得asin A bsin Bsin B ，bsin Aa 83128 32又 b a， B60或 120.当 B60时， C180306090， S ABC 88 32 ；12 3 3当 B120时， C1803012030， S ABC absin C 88 16 .12 12 3 12 33在 ABC中， A60， AB2，且 S ABC ，则边 BC的长为( )32A. B33C. D77解析：选 A S ABC ABACsin A ，12 32 AC1，由余弦定理可得BC2 AB2 AC22 ABACcos A41221cos 603.即 BC .34 ABC的周长为 20，面积为 10 ， A60，则 BC的边长等于( )3A5 B6C7 D8解析：选 C 如图，由题意得Error!由得 bc40，由得 a2 b2 c2 bc( b c)23 bc(20 a)2340， a7.5某人从出发点 A向正东走 x m后到 B，向左转 150再向前走 3 m到 C，测得 ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为( )334
