1、1第五章 特征值和特征向量一. 填空题1. 设 A 是 n 阶方阵, 为 A 的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵 的特征值是_, 特征* *AB向量是_.解. 因为 , 所以对于任意 n 维向量 . 所E|* |*AE有以|A| = 5 是 的特征值 , 任意 n 维向量 为对应的特征向量.B2. 三阶方阵 A 的特征值为 1, 1, 2, 则 的特征值为_.23AB解. 的特征值为: 23 423,5)1(3)(,1223. 设 且 A 的特征值为 2 和 1(二重), 那么 B 的特征204,204BA值为_.解. 具有相同的特征值. , 所以 B 和 A 具有相同的特征值. B 的特
2、征值为: 2 和T, T1(二重).4. 已知矩阵 相似, 则 x = _, y = _.102102yxA与解. 因为 A, B 相似, 所以 .1,2102| yyBx相似矩阵的迹相等: . 于是 .2)(2)( trtr x5. 设 A, B 为 n 阶方阵, 且 , 则 AB 与 BA 相似, 这是因为存在可逆矩阵 P = _, 0|A使得 .P1解. 因为 , 所以 A 可逆. 令 , 则 . 即 AB 与 BA 相0|PBAABP11似. 二. 单项选择题1. 零为矩阵 A 的特征值是 A 为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件解.
3、 假设 为 A 的所有特征值, 则 . 所以: n,21 nA2|20 为 A 的特征值 A 可逆(C)为答案.2. 设 是矩阵 A 的两个不同的特征值, 是 A 的分别属于 的特征向量, 则21, 21(A) 对任意 , 都是 A 的特征向量.02k21k(B) 存在常数 , 是 A 的特征向量.1(C) 当 时, 不可能是 A 的特征向量.,2k21k(D) 存在惟一的一组常数 , 使 是 A 的特征向量.0,21k解. 为 A 的二个相异的特征值, 所以存在非零向量 , 满足 . 21 21,A而且 线性无关. ,假设存在 满足: )()(2121kk所以 , 即 21k 0)()(22
4、1kk因为 线性无关, 所以 = 0, ; = 0, . 1k2和 矛盾. 所以(C)为答案 .213. 设 是 n 阶矩阵 A 的特征值, 且齐次线性方程组 的基础解系为 , 0 0)(0xAE21和则 A 的属于 的全部特征向量是(A) (B) 21和 21或(C) ( 为任意常数) (D) ( 为不全为零的任意常数)C21, C21,解. 因为齐次线性方程组 的基础解系为 , 所以方程组0)(0xAE和的全部解为 ( 为任意常数 ). 但特征向量不能为零, 则 A0)(0xAE211,的属于 的全部特征向量是: ( 为不全为零的任意常数), (D)为答案.C24. 设 是矩阵 A 的两个
5、不同的特征值 , 是 A 的分别属于 的特征向量, 则有21, 与 21是与(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量解. (B)是答案.35. 与 n 阶单位矩阵 E 相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵 D (主对角元素不为 1)1(k(C) 单位矩阵 E (D) 任意 n 阶矩阵 A解. 令 . 所以 . 所以(C)是答案.P1,则 EP16. 是 n 阶方阵, 且 , 则BA, BA(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同B,(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵 T, 使得, BAT1解. , 则存在可逆方阵 P, 使得
6、 . 所以A1| 1 EPEB 所以 的有相同的特征方程, (B)是答案.A三. 计算证明题1. 设 1是矩阵 的特征值, 求: i. t 的值; ii. 对应于 1的所有特征10423t向量.解. 0)1(24)1(310423| 2 ttEA当 时, . 所以 t 为任意实数.14i. 时0t 01201420142042tEA所以 . 方程组 基础解系所含解向量个数为)(r)(xEA23)(3r相应的方程组为 . 取 . 所以解向量为 , 对应于 的0132x2,13x得 12014全部特征向量为 ;120kii. 时,0t 02102140214024EA所以 . 方程组 基础解系所含
7、解向量个数为)(r)(xEA123)(3r相应的方程组为 . 取 . 所以解向量为 , 对应于 的0321x2,3x得 1201全部特征向量为 .1k2. 求 n 阶矩阵 的特征值与特征向量.010A解. 0,)(11| nEA, 0101EA 1)(nEAr所以方程组 的基础解系所含解向量个数为 .)(x 1)(n5相应的方程组为 , 令 , 得解向量032nx 10于是对应于 的全部特征向量为 ( ).0k3. 假定 n 阶矩阵 A 的任意一行中 , n 个元素的和都是 a, 试证 是 A 的特征值, 且(1, 1, , 1)T 是对应于 的特征向量 , 又问此时 的每行元素之和为多少?a
8、1A解. 假设 , 且nnnaaA 212211 ),21(1nianki 11121212112 aaaAnknkknnn所以 为 A 的特征值, 对应的特征向量为(1, 1, , 1) T.因为 A 可逆, 所以 为 的特征值, 对应的特征向量也是(1, 1, , 1) T.a1即 . 所以 的每行和为 .111a4. 设 均是 n 阶方阵, 且 , 证明 有公共的特征向量.BA, nBrA)(A,解. 考察方程组 . . 所以方程组有非零解 0x则解向量为 A, B 的公共特征向量, 对应的特征值为 .05. 设三阶矩阵 A 满足 , 其中列向量 , ,)321(iiT)21(T)12,
9、(, 试求矩阵 A.T)21,(36解. 矩阵 21P 1026301021 92110321906321 9211092110302所以 , 2191P 301AP所以 21212930A= 235071865091632412196. 设矩阵 A 与 B 相似, 其中 , ,xA0110yBi. 求 x 和 y 的值; ii. 求可逆矩阵 P, 使得 .解. 因为 A 相似于 B, 所以|A| = |B|, 所以 ; 且 , 所以 . y)(trAt 2yx得 . 1,由 B 的表达式知: A 的二个特征值为 17i. 1, 020,)( xxEA即, 120 2)(EAr方程组 的基础解
10、系只有一个解向量.)(xEA相应的方程组为 , 取0321x得特征向量: 1ii. , , 002,)( xxEA即 1)(EAr方程组 的基础解系有二个解向量.)(相应的方程组为 , 321x取 , 取 ,0,21x得 1,0321xx得得二个线性无关的特征向量: . ,所以矩阵 10P7. 设矩阵 , 矩阵 , 其中 k 为实数, E 为单位矩阵, 求对角矩2A2)(AkEB阵, 使得 B 与 相似, 并求 k 为何值时, B 为正定矩阵.8解. 1012012)(2 kkkAkEB)(2)()( 222kk 1)(020)(01)(| 222 kkEB0)(4)(1)( 222 kk解得
11、 . 其中 为二重根.3,21k23,2)(当 时, )( 241)( 22 kkkEB )(020)(0222 kk 0kk, 所以方程组 的基础解系有二个解向量, 所以 B 可以对角1)(EBr)(xEB化. 即 B 相似于对角矩阵: .220)(kk时, B 的特征值都为正, 此时, B 为正定阵.0,2k8. 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, , n, 试求 .|2|EA解. 因为 A 的特征值为 1, 2, , n, 所以 2A + E 的特征值为 . 所以),21(ni.niE1)2(|2|9. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将 熟练工支援
12、其61它生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核9有 成为熟练工, 设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 和 , 记52 nxy成向量 nyxi. 求 与 的关系式并写出矩阵形式 : = A ;1nn 1nyxnii. 验证 , 是 A 的两个线形无关的特征向量, 并求出相应的特征值;4112iii. 当 = 时, 求 .1yx1nyx解. i. 由题设可得以下递推关系 :第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 和 , 熟练工的 , 即 支nxy61nx援其它生产部门, 缺额招收新的非熟练工, 所以总的非熟练工为 .
13、到第 n + 1 年, n其中的 成为熟练工, 还是非熟练工. 所以得到5253, 即 )61(532nnnyxynnyxy5310291所以 , nnyy531029531029Aii. , 412, 所以 是 A 的特征向量, 相应的特征值为 ;1453109A141, 所以 是 A 的特征向量, 相应的特征222 12值为 .1210iii. 假设 , 则 , 14P4151P2101AP所以 nnnnnA )21(4)(145)2(0201所以 21121 nnnnn AyxyxAyx= =nn)2(41)(45n)(38012. 设 是方阵 A 的两个不同的特征值, 是 A 的对应于 的线性无关的特征21,r,1 1向量, 是 A 的对应于 的线性无关的特征向量, 证明 , 线性无关.s 2r, s解. 由题设知: ; )1(1rii )2(2jj 假设 ,01 srrrkkk所以 )()(1srrrAA于是 21 srrr kkk 所以 0)()(1rr 所以 0)121 rk因为 , 所以r因为 线性无关, 所以 r21 021rkk所以 0srrkk因为 线性无关, 所以 s,21 21srrrkk即 , 线性无关.r s1
