1、1高等数学（第二学期）期末复习指导本学期高等数学的考试范围是：第六章至第十一章。内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用 级数理论及常微分方程的解法我们用了 72 课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固考试题型为：一.选
2、择题（每小题 4 分，共 16 分）二.填空题（每小题 4 分，共 16 分）三.计算题（每小题 7 分，共 49 分）四.证明题（本题 10 分）五.应用题（本题 9 分）下面分章复习所学知识第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点 与 的距离公式1(,)Axyz2(,)Bxyz2211(d2.非零向量 的方向余弦公式23,a31222 223131cos,cos,cosaa3.向量的运算设 ，则123123,ab123123,ijkaab两非零向量垂直、平行的充要条件12331200/abaabb4.向量 在非零向量 上的投影123,23,2123Prcos,bb abaj
3、ab （二）平面与直线1.平面方程（1）一般式： 0;AxByCzD（2）点法式： 00()()();z（3）截距式： 1;zabc（4）三点式：1212123330.xyz2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）： 000;xyzmnp（2）一般式： 1122;AxByCzD（3）参数式：0,;tyntzpt（4）两点式： 111222.xyz3.平面 与直线 平行、垂直的充要条件及夹角()()l（1） ;1212120()/ABC(2) ；121212/lmnp（3） ；11111()/ 0lABCmnp（4） 与 的夹角：1()231212cosABC(5) 与 的夹角：1l21212
4、cosmnp（6） 与 的夹角：1()l112221sinAnBpCm4.距离设点 ，平面00(,)Mxyz():0xyzD直线 111:lnp（1）点到平面的距离公式： 0022;AxByCzd(2) 点到直线的距离公式： ，01Ml其中 ， 是直线上任一点01010,Mxyz1,lmnpM（三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程（1）旋转曲面园锥面： ，旋转抛物面： ，旋转椭球面：2zxy2zxy22.xyac（2）柱面圆柱面： 椭圆柱面： ，22,xyR21xyab抛物柱面： ，双曲柱面：20p2.（3）二次曲面球面： 222()()();xaybzcR4椭球面： ；221,(0)x
5、yzabcab椭球抛物面： 同号） ；2,(zpqg双曲抛物面： 同号） ；2,(xyp单叶双曲面： ；221,(0)zabcab双叶双曲面： 22,()xy本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题例 1.设三角形 ，已知 为 的中点，则 上 ABC2,ijBCijkDBC的中线长 D10/2例 2. 1.两向量 与 互相垂直的充要条件是 .ab0ab2.向量 平行，则 1 .3(),(1)ijijk3.求同时垂直于向量 的单位向量是 .23,2, 0c解 ，231,0ijkcab单位化 .022,1,61()c例 .（单选题）过点 且平行于平面 的平面是（ ）2,355320xyzC520;
6、Axyz.1;B.1C .Dxyz例 3.（单选题）在空间直角坐标系下，方程 的图形是（ ）350D过原点的一条直线； 斜率为 的一条直线；.A.B垂直于 轴的一平面； 过 轴的一平面.Czz5例 4.（单选题）方程 在空间表示的图形是（ ）231xyB平行于 坐标面的平面； 平行于 轴的平面；.AXOY.z过 轴的平面； 直线CozD例 .（选择题）方程 在空间表示的是（ ）42xy抛物线； 抛物柱面；.B母线平行于 轴的柱面； 旋转抛物面第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为 的两要素，其定义域为平面上的点(,)zfxy集例 5(填空题) 二元函数 的
7、定义域是ln1zy0,(,)1xyD或二元函数 的定义域为21ln()xz2(,),xyxy2.极限：函数 的极限为 ，是指点 以任何方式沿某路径趋于点,fyA,时， ，记为0(,)xy()x0lim()xyf例 6.证明：极限 不存在20li()xy证明 如果动点 沿 趋于点 时，则(,)Px(0,)2400limlim1;()x xyy如果动点 沿 趋于点 时，则,(,)242002lili()x xyy因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数 在点 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：(,)zf0(,)（1）在 内有定义；（2） 存在；（3）0,Uxy0lim(,)xy
8、f6.00lim(,)(,)xyffxy否则间断例 7.（单选题）设 ，下面结论正确的是（ ）21xzyD在 平面上连续；.AXOY在 平面上不连续；B在 平面上只有 为间断点；.C(,0)1在 平面上，只有在区域 内，函数连续D2xy例 (单选题) 函数 在点 处（ ）72,()0,(,)0fxyxy(,0)C连续； 有极限但不连续；.A.B极限不存在； 无定义.CD（二）偏导数1.定义与计算偏导数 是整体记号，不具有商的意义，求 时，把 中的 固定 ,zxy zx(,)fxy（看作常数） ，利用一元函数的求导公式和法则求出记住：偏导函数 与一点的偏导数 记号不同，及它们之间的关zx00(,
9、)xxyzf系例 8.（填空题）设 ，则 .2(,)fy(3,4)xf252.高阶偏导数（以二阶为主）：2(,)();xzfyx 2(,)();yzfy2(,)();xy zfy2(,)().yx zfx（注意：二阶混合偏导数在定义域 内连续时，相等）D（三）全微分1.定义与计算：若函数 在点 的全改变量（全增量）可表为(,)zfxy0(,)，其中 不依赖于 ，仅与 有关，zAxByAB,xy0(,)xy，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作22()7.zdzAxBydxy例 9.（单选题）函数 由方程 所确定，则 （ (,)ln()0zxydzA）.;dxyA.;dBxy.;CzxD
10、例 求 的全微分及二阶偏导数.92ye解 22,xyxyzze22;xyxyded2 222(1),4xy xyzze22,(1).xyze2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系偏导数连续 可微 ，反之不一定成立.可 导极 限 存 在例 10.（单选题）二元函数 在点 处（ ）2zxy(0,)C不连续，两个偏导数不存在；.A不连续，两个偏导数存在；B连续，两个偏导数不存在；C连续，两个偏导数存在.D例 （填空题） 连续是 可微的 条件10(,),xyff(,)zfxy充 分3.方向导数与梯度（1）方向导数函数在特定方向（指定方向）上的变化率：，其中 为射线 与 轴正向夹角c
11、osscosfffxyzl ,l,xyz（2）梯度不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数 在点 处的梯度为：(,)ufz(,)x, .ffgradfxyijkyz8例 11.（填空题）函数 在点 处沿方向 的方向2uxyz(1,2)1,2l导数是 10 .（四）多元复合函数的导数（考点）1.锁链法则先画出链式图，写出公式，然后计算.，则有锁链公式：(,)(,)(,)zfuvxyvzvyuy2.几种推广情形（1）若 ，而 ，则有锁链公式：(,)zfvw(,)(,)(,)xvywxyuzxzvyy（2）若 而 ，则有锁链公式：(,)fux(,)uxzfyuy注意：这里 与 不同， 是把复
12、合后的函数，将 看作常数，对 求偏导；zxfzxyx而是把复合前的函数，将 看作常数对 求偏导f,uyx（3）设 ，而 ，则复合函数只有一个自变(,)ufxyzt(),()xttzt量， 求导 ，称为全导数.tdtzuxyudztttt何时用锁链法则：函数关系不具体；中间变量多于一个.例 12.（单选题）设 ，则2(,)()fxyxyxy9（ ）.()()fxyfC.2;A.2;BxyCxy.D例 13.（填空题）设 ，则2xyze2xy24xyze例 14.设 ，求arctn()zu,.uz解 由锁链法则 121();()zzxyx12();()zzuy21()ln.()zzxyz例 15.
13、设二元函数 ，其中 是二阶可微函数，求,xyff ,.xyz解 设 ，则1,2xyuv12;xzf12;yxzffy122213 2()()yxfff21122243.xxffffyy例 16.设 ，求(5,)ufz2.ux解 ； 12xfy2121.fyzfyzf（五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则） ，10解出所求的偏导数（是 的函数）.,xy2.公式法： ， zF.yzF3.微分法：利用一阶全微分形式的不变性，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数例 17.（填空题）由方程 确定 ，则 .21xyz(,)zxyz124xyz例
14、 18.设 求ln,xzy.解 由隐函数微分法 设 (,)lnlnxzFyzyy因为 2211,xyzFzz所以 2xzxz221.()yzFzxy例 19.设 ，证明：2sin(3)3xyy1y证明设 ，则,si(2)2Fzzxz, 2co31xys()yzxFc(3zFxy , 13xxzF23yxzF故 2.yxzxy（六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的参数方程 ，则 在点 处的(),(),xtytzt0(,)xyz11切线方程为： 000()()xyzttt法平面方程为： 000()ytz2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程： ，(,
15、)Fxyz显函数的曲面方程： ， f（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材 定理 1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在.264P的点上.2.极值的充分条件：设 为为函数 的驻点，0(,)xy(,)zfxy,则下结论000222,xxxyyyzzABC（1） 有极小值， 有极大值；2,BCA（2） ，无极值；0（3） ,不定，另作讨论.2A例 20.（单选题）下列说法中，正确的是（ ）可微函数 在 达到极值，则必有(,)fxy0,)00(,)(,);xyffx二元函数 在 达到极值，则必有.B可微函数 在 有C(,)fxy0,)00(,)(,);xyffx二元函数 在 的偏
16、导数不存在，则必不存在极值D例 21 求函数 的极值.224(3)zxy解 ，得驻点80()xyz(0,)又 ，22333(0,)(0,)(0,)22xyxyBACzz8()640故函数在 处无极值.(,)123.用 乘子法求条件极值的应用题Lagrne解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题；（2）作辅助函数 原函数+ 乘条件函数；(,)Fxyz（3）将辅助函数对 分别求偏导数，得方程组；（4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值例 22 应用题：造一个容积为 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？V解 设盒长
17、为 ，宽为 则高为 ，故表面积为： ，xyx2()VSxy于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，解得唯一驻点 ，2(0)SVyx3(,)V根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点，答：当盒子的长宽高都是 ，即正方体时，所用材料最少.3V第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限；三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量；三重积分表示空间物体的质量（无几何意义） 3.性质与定积分类似性质 3：如果在定义域 上，函数 ， 为 的面积，则D(,)1fxyD1d（二）二重积分的计算（考点）化为累次
18、积分.1.直角坐标系下二重积分的计算步骤： 面积元素 dxy先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图；如是 形积分域，将其化为先对 后对 的积分次序积出来xyx形积分域，将其化为先对 后对 的积分次序积出来.y13注 利用“穿口法”的定限口诀是：后积先定限，限内画条线；先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算何时采用极坐标：（）积分域是园形或环形；（）被积函数包含 .2xy记住极坐标变换： 面积元素： ， cosxrdriny然后将积分化为先对 ，后对 的次序积出来；积分限如下定：（）若极点 在域 内，则OD2()0(,)cos,in);rfxydfrd（）若极点 在域
19、的边界上，则()0(,)cs,i);rDfxyfr（）若极点 在域 的外部，则O21()(,)cos,in).rDfxydfrd例 23.（单选题）设 是连续函数，交换二重积分,f的的积分次序后的结果为（ ）1203ydx C.;Ad120.3;yBdxy210xCy .D例 24.(单选题)设域 ，且 ，则 （ 2:1,xy2DxydB）120.;Adxy 210.;xBdC 221.yDdy例 25.计算二重积分 ，其中 是由直线 及 轴所2yxe ,1xy围 的平面区域解 画出积分区域草图，这是 型积分域，故选取先对 后对 的积分次序，yxy14得 22100yyDxedexd22111
20、3000()6ytt te令102().6tted分 部 法例 26.计算 ，其中 由 围成Dyx2,yx解 将 改写为： ，则21，所以(,)1,0xyxy原式 1010()ydyd 54d2sin220 4(1sin).815yt tt 令例 27.计算 ，2DRxyd其中 是由圆周 所围成的闭区域2解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算cos22220RDRxydrd33320 4(sin)().例 28.求二重积分 ，其中2()xyDed 22:0,.Dxyxa解 选用极坐标计算2 2 2 2()20 01()(1).4aaxyr r aDeeede例 29. 是由曲线 以及
21、所围成的图形，试求 的面积.24()xy4D例 利用极坐标计算二重积分 ，29 2ln(1)Dxyd其中 2:1,0.xyy15解 由于极点在 的边界上，故D原式 12 220ln(1)ln()rdrrdr 220l()分 部 法 1220(1)ln(2ln1).44rrd解 22446().3yDySdxydx（三）三重积分的计算1.直角坐标系下的计算体积元素： dvxyz， （这是上下张着的曲面， 型的投影域）则12(,)(,):zyaxb x2211()(,)(,) ,);yxzxyafzdvdfzd2.柱坐标系（极坐标 轴）下的计算体积元素： rz，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外
22、部)则12(,),:z2211()(,)(,) cos,in);rzrfxyzdvdfrdz3.球坐标系下的计算体积元素： 2sinvr， ，则sicoxryz12(,)(,):rr.2211()(,) 2(,) sinco,sin,cos)inrfxyzdvdfrrdr 例 30.（填空题）设空间一光滑曲面 ： 是 在坐标面 上的投影，S(,)zfxyDSXOY16则 的面积D1Dd例 31.在柱坐标中， （常数）表示的曲面是： .az过 轴 的 半 平 面例 32.(填空题)设一立体由上半球面 及锥面 所围成，24zxy23()xy则其在 平面上的投影为： .XOY21yx例 33.（单选
23、题） ，其中 是由锥面 ，平面()dv2zxy所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ ）(0)za D20.;arAdz 220.;arBddz0Cd .rD例 （单选题）设区域 ，且 是连续函数，3 22(,)(1)xyzz()ft则（ ）22()fxyzdvA；cos200.(inAfrdr；22s 2cos1)iBd r；cos00.(Cfr22cs2. )sin.Dddr第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求）（一）曲线积分1.第型曲线积分（对弧长的积分）2.第型曲线积分（对坐标的积分） 与积分路径有关.3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线 由它的的参数方
24、程： 给出L(),xty(特例) )，则,()axb1722(,)(),(),();Lfxydsftttd（2）若弧 由 给出，起点 对应 ，终点 对应 则AB()tyAtB,t.,()(),()ABPdxQPttQttd 5. （格林）公式：Gren()DLdxyPy应用： ，得 得面积 .,Pyx12Adx6.平面曲线积分与路径无关的条件（1） 0;dQA（2）设 是单连通域， 在 内有一阶连续偏导数，则曲线积分G,GLPdxy在 内与路径无关的充分必要条件是： 在 内恒成立.PQyx例 34.（单选题）设 为由点 到点 的直线段，则AB(0,)(,0)B（ ）siniABydxC.2;.
25、1;.;.1D例 35.计算曲线积分 ，其中 是沿着园：2()()LxydyL从点 到点 的上半圆弧.2(1)()1x(,)(0,1)解 22,yxyPQ因为 2,(0,)()yxx所以，在不含原点的任何闭曲线 上 ，即在不含原点的任一闭区域内LA积18分与路径无关.故选择路径为线段 ，在 上有：:,102,ABxyxAB，故1,0yd原式 022()()1ABxydyxd 2 2200 01ln()arctnxxxln5arct.2例 36.计算曲线积分 ，其中 是园的渐开线：2(LydsLcosin),0.(ixatty解 222 2i)(sin)(1)tatat(sinco0xatcos
26、i)iyt t2dsxdat原式 223300(1)()td4323201.taa例 37.（填空题） 为园： ，计算弧长的曲线积分L4xy2LxydsA8第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别一.级数的概念1212,nnnnuuSu 若 ，则称级数收敛到和limnS级数收敛的必要条件： 收敛，则1nulim0.nu19二.逆否命题：若 则级数 发散lim0,nu1nu三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理；（1）绝对收敛定理与 有如下关系：1nu1n收敛 也收敛；1n1nu发散 收敛或发散；1nu1n收敛 收敛或发散；1n1nu发散
27、 必定发散.1nu1n（2）比值判别法 2（补充）3.交错级数的 （莱布尼兹）判别法；Leibz4.从定义、性质判别.四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数121n naqaq 当 时，级数收敛；当 时，级数发散.2. 级数p1123pppn n 当 时，级数收敛；当 时，级数发散；特例： 时， 称为调和级数，发散.1p1n五.判别级数收敛的一般步骤：1.先看通项 是否趋于零？nu20若 ，则级数 发散；若 ，则需进一步判断.lim0nu1nulim0nu2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限 是否存在？linS例 38.（单选题）若级数 收敛，则级数（ ）收敛1nu
28、D1.;nA21.;nB1.();nCuc1nDcu例 39.判定级数 的收敛性12si3n解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 ，而2sin()3nnu是公比 的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.12()3nn213q法二.用比值判别法 因 ，1112sin3limli2li.3nnnu无 穷 小 替 换由比值判别法，知原级数收敛.例 判断级数 的收敛性.391()ln()n解 因 1l()l(2)n nuu(,2)，故由 判别法，知原交错级数收敛.1lim0()nleibz例 （填空题 ）极限 的值为39 2!lin021解 以 为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据2
29、!nu收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例 证明：若 ，则级数 发散.390,lim0nnua1nu证明 因为 ，由 ，根据正项级数比值判别法lili1n n的极限形式，由于 为调和级数，发散，所以级数 也发散.1n1nu（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间1. 用比值判别法 2 （一般与 有关） ，再讨论，求出收敛半径.1()limnuxx2. ， 则收敛半径为：1lina1R3.对端点单独讨论后，确定收敛区间.例 40.（填空题）幂级数 的收敛域为1()nnx(0,2解 这是一般形式的幂级数，令 则幂级数化为 ，,t 1()nt收敛半径 1limli1naR讨论端点的情况：当 时，级数
30、化为 ，据 判别法，知其收敛，1t 1()nLeibnz当 时，级数化为 ，t1211()()nnn这是调和级数，知其发散. 综上讨论，知其原幂级数的收敛域为即 1,t,0.xx例 41.（综合题）求幂级数 的收敛域；当 时，是绝对收敛，2ln(1)n122还是条件收敛？并给出证明.解 收敛半径 ，1ln1limi()naR当 时，数项级数 为交错级数，1x1l()n令 ， （设为函数而不是数列，可以求导）2lnl(),xxff当 时， 单调减少，e()0,()f当 时， ，3n1nnuu又 ， （这时也理解为函数，分子分母双导）“llimii0nn罗 法 则由 判别法，知级数 收敛，Leib
31、z3l(1)n此级数加一项，即原级数 的收敛性不变；2l()n但一般项加绝对值后的级数 为正项级数，2ln是调和级数各项乘 的级数，发散2ln,nuvln2由比较判别法，知级数 也发散，故原级数条件收敛；2ln当 时，级数为 如上讨论，也是发散的，1x22lln(1)n故原级数的收敛域为 .,（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数 的收敛半径为 ，则在 内，和函数具有下列性质：0nax(0)R(,)R（1）和函数是连续的；（2） 逐项可导，且 ；()Sx 100()nnSxax23（3） 逐项可积，且 .()Sx 10000()xxxnnnaStdatdtdx注意：求导和积分后的
32、和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同例 42.求幂级数 的和函数.41n解 设和函数 ，易得收敛区间为 ，利用逐项微分和积分，41()nxS (1,)414424()()()nn nxxx 这是 的等比级数，由因 ，故4q0S440001()()()xxxSddx 4 22001()xx 1arctnl.2x(1x（四）傅立叶级数设 是以 为周期的函数，形如()fx的三角级数，称为傅立叶级数，其中01(cosin)2naxb)nfd(0,12)(sinbxn例 函数 的周期为 在 上的表达式为42)f2,()f,，将 展成傅氏级数。,0(3xffx解 满足迪氏收敛定理条件，在间断点 处
33、)fx (21),(0,2,)k的傅氏级数收敛于(24(0)()22ff在 的连续点 处） ， 的傅氏级数收敛于 ，其傅氏系()fx1xk()fx()fx数为 00(3oad020,1(2cs)nxnxcondn 为 偶 数为 奇 数0 105(i3si)(,nbd 所以 的傅立叶展开式为()fx21 5cos(1)(sin4()nf nxx ,0,xk第十一章 微 分 方 程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程： 的解法()dyfxg分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程： 得解法()Fx令 ，则 ，分离变量并积分，得通解；yudu3.一阶线性非齐次方程： 的解法解法 常数变易
34、法()ypxq通解公式为： ()()pxddyeec注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程： 的通解：是两个线性无关特解()0ypxq的12(),yx线性组合，即 ；12()()ycxy252.非齐次方程： 的通解：（通俗解释）()()ypxqyfx非齐通（ ）齐通（ ） 非齐特（ ）y（三）二阶常系数线性齐次方程： 通解的特征根解法；0yp二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法.例 43.（单选题）下列微分方程中，通解为 的方程是212(cosin)xex（ ）B.450;Ay.450
35、;By.2C2xDe解 .的特征方程为：B2450， 4160i2,1故通解为： .212(cosin)xyex例 44.（填空题）微分方程 的通解为 .l0ycxye这是可分离变量的方程 dx分离变量 lny两边积分 ()ldxy得 1nlnc11l,.cxyxye例 应用题：（本题 9 分）4设有一质量为 千克的质点作直线运动. 从速度等于零的时刻 起，有0 0t一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 20）的力作用于它， 同时还受一个与速度成正比（比例系数为 50）的阻力作用。求该质点运动的速度与时间的函数关系。解质点在 时刻的速度为 则依题意得初值问题：tv262051dvt
36、vt0tv这是一阶线性非齐次方程，由通解公式，得(5)5522dtdtttecedc5555() ()tt ttteec 分 部 法， 又由初始条件得521ttc即 ，0C2所以所求函数关系为： 5.tvte例 45.求微分方程 的通解.228(1)xy解 这是二阶常系数线性非齐次方程，该方程的特征方程是 20有二重根 ，故对应的齐次方程的通解为 1,212()xyce特殊右端 的 不是特征根，故设特解为 8()xe2201xb将 代入原方程，得2.),4xyy2220148xx xebe比较两端同函数得系数，得 ，因此特解为 ，01,b28xye故原方程通解为 22()().xxyce例 4
37、6.求微分方程 的通解.sinx解 这是二阶常系数线性非齐次方程，先求对应齐次方程的通解特征方程 的共轭复根是 ，210i故有通解 ；2cosinyx再求原方程的一个特解，设 ，cosin2yabx27将 ,()2sincos2yaxb,()4cos2inyaxb代入原方程，有4coiini即 ，3ssi比较两端同函数的系数，得 ，故有特解 ，10,3ab1sin23yx因此，原方程的通解为 12sincosi.yx例 47.用常数变易法求微分方程 的通解.cot5e解 先求对应齐次方程 的通解，这是可分离变量的方程，0dyx分离变量 cot两边积分 s(sin)indyxdx得 1lllc故通解为 ，cs,()yx设非齐次方程的通解为 ，csyx将 代入原方程，第二，三项消去后得,()cs()otyx，5xe两边积分 ()sin(cs)xcxdcoinxxee分 部 法5s5sixd分 部 法这时出现循环，移项除 ，得61()(coin)xcec故通解为 .15ssi6xyx282009.6.1 完稿于惠州学院数学系.
