1、第 4 章 电路定理 本章重点1、叠加定理的应用及注意事项；2、替代定理的含义；3、应用戴维南、诺顿定理分析电路；4、最大功率传输定理 Maximum power transfer theorem 的内容。 本章难点1、含有受控源电路应用叠加定理；2、求解含有受控源电路的戴维南、 诺顿等效电路。 教学方法本章讲述了电路理论的一些重要定理，共用 6 课时。采用讲授为主，自学 为辅的教学方法。为使学生能理解定理内容，并 应用定理来分析问题和解决问题。在课堂上讲述了大量例题， 课下布置一定的作业，使学生能学会学懂，由于 课时量偏紧， 对于定理的证明要求自学。 授课内容4.1 叠加定理线性函数 ： )
2、(xf可加性 Additivity)(2121xff齐次性 Homogeneitya叠加性 Superposition)(bbf（ 、 为任意常数 Arbitrary Constant）一、定理对于任一线性网络，若同时受到多个独立电源的作用，则这些共同作用的电源在某条支路上所产生的电压或电流等于每个独立电源各自单独作用时，在该支路上所产生的电压或电流分量的代数和。例 1：试用叠加定理计算图 4-1（a）电路中 3电阻支路的电流 I。图 4-1（a）_2 634V 6V+_ +I二、注意事项（1）只适用于线性电路中求电压、电流，不适用于求功率；也不适用非线性电路；（2）某个独立电源单独作用时，其
3、余独立电源全为零值，电压源用“ 短路”替代，电流源用“断路”替代；（3）受控源不可以单独作用，当每个独立源作用时均予以保留；（4）“代数和”指分量参考方向与原方向一致取正，不一致取负。例 2：电路如图 4-2（a），试用叠加法求 和 。UxI图 4-2（a）解：第一步 10V 电压源单独作用时如图 4-2（b）。图 4-2（b）（受控源须跟控制量作相应改变）x3210Ix2IA6VU第二步 3A 电流源单独作用时如图 4-2（c）。U2IxIx_10V+ 2 1 +_3A +_2 634V+I2AI6V+“I“1A3I2 36_5/6A“x2I_“U“xI2 1+3A +_10V2 +_x2I
4、1U+_+_xI图 4-2（c）（受控源须跟控制量作相应改变）x“x1()322UIIx1.2V06AUI第三步 10V 电压源和 3A 电流源共同作用时如图 4-2（a）。7.2“xx14II例 3：电路如图 4-4（a），已知，当 3A 电流源移去时，2A 电流源所产生的功率为28W， 8V，当 2A 电流源移去 时， 3A 电流源产 生的功率为 54W， 12V ，U 2U求当两个电流源共同作用时各自产生的功率。图 4-4（a）解：由问题出发，若要求出各电源发出的功率 The power to give out 时，最关键的是要求得两个电流源共同作用时，电流源各自的端电压。如何求得端电压
5、？显然，所给的电路与以前涉及的电路存在明显差别，它不再有具体结构，也即无法列写明确的电路方程组进行求解。而电路定理此时便提供了分析途径。利用叠加定理Superposition theorem 和所提供的已知条件可以得知：当 2A 电流源单独作用时，电路如图 4-4（b）。图 4-4（b），2814VU38当 3A 电流源单独作用时，电路如图 4-4（c）。图 4-4（c），“21VU“35418当两个电流源共同作用时， ， 622AU2+_线 性 电 阻 网 络 3AU3+_2AU2+_线 性 电 阻 网 络U33A线 性 电 阻 网 络U“2U“3则 ，2A5WP3A78例 4：电路如图 4
6、-5 所示。 （1） 中仅含线性电阻 Linear resistor，若 ，NS18AI时， ；若 ， 时， 。当 时，S21Ix0VUSIS24AIx0VUS120x?（2）若 中含一个独立源， 时， ；（1）中数N120x据仍有效，求当 时，S120AIx?U图 4-5解：（1）由题意可知 Ux应该是 Is1 和 Is2 共同作用所引起的响应，所以 Ux 可以表示为：xS12aIb其中：aI s1 可看作为是 Is1单独作用时引起的分量 Ux（注： 不变）；而xS1aI02sbIs2 可看作是 Is2单独作用引起的分量 Ux。根据已知条件即可得到一个二元一次方程组 Binary linea
7、r equation groupba480122.5abxS12.5UI当 Is1=Is2=20A 时，U x=5 20+2.5 20=150V （2）由于此时 N 中含有一个电源，则根据叠加定理 Superposition theorem 有当 时，xS12abIS120I“x40VU401ab将 （ ） 中 条 件 代 入时，xS20IS12AIx64.2 替代定理 Substitution Theorem一 、定理在任意的线性或非线性网络 Linear or nonlinear network 中，若已知第 K 条支路的电压和电流为 UK 和 IK，则不论该支路是什么元件 组成的，总可以
8、用下列的任何一个元件去替代。即：1）电压值为 UK 的理想电压源；2）电流值为 IK 的理想 电流源；NUx+ _IS2IS13）电阻值为 UK/IK 的线性电阻元件 RK。替代后电路中全部电压和电流都将保持原值不变。替代定理如图 4-2-1(a)所示电路说明。图 4-7(a) 图 4-7(b)图 4-7(c) 图 4-7(d)例：如图 4-8(a)所示电路中 ，1310,4,2.8ssUVIAIIA时 ，；130,2.5.ssUVIAI时 ，若将图（a）换 以 电阻，在图（b）中求 时，80s13?图 4-8解：图（a）中，根据叠加定理得1234,ssssIkUIkI340.810.52KK
9、124UK+_IKN N IKUK+_IKIKN UK+_ IKIKN UK+_ KRI(a)US+_I3ISI1线 性 电阻 网 络线 性 电阻 网 络I3(b)ISI18I1线 性 电阻 网 络I3(c)IS-8I1+_1 30.5.20.2.ssssIUIUI图（b）中将 8电阻用电压源（-8I 1）替代如图（c ）则313.(8)528AI I4.3 戴维南定理和诺顿定理 Thevenins theorem and Nortons theorem一 、定理对于任一含源线性二端网络，就其两个端钮而言，都可以用一条最简单支路对外部等效。1以一条实际电压源支路对外部等效，其中电压源的电压值等
10、于该含源线性二端网络端钮处开路时的开路电压 ，其串联电阻值等于该含源线OCU性二端网络中所有独立源令为零时，由端钮处看进去的等效电阻 ，此eqR即戴维南定理。2以一条实际电流源支路对外部进行等效，其中电流源的电流值等于该含源线性二端网络端钮处短接时的短路电流 ，其并联电阻的确定同 1，SCI此即诺顿定理。这里 。上述定理可用图 4-9 和图 4-10 说明。OCSeqUIR图 4-9N Uk+_Req IkUk+_UOC+_Req ISCUk+_IkI=0UOC+_N ISCI=0NReqN0IUNUS=UOCRS=Req+_UI图 4-10例 1：求图 4-11（a）所示电 路的戴维南等效电
11、路。解：在图 4-11（a）所示电路中求 a、b 两点的开路电压 Uoc 时，可以用前面介绍的支路法、网孔法、节点法、叠加法等方法 进行，何种方法较为简便需考虑。显见若用叠加法进行时，仅涉及到常用的分压、分流关系即可，无需列写 电路方程组解方程。当 1V 电压源单独作用，如 图 4-11（b）利用分压公式。（a） （b） OC2136UV当 1A 电流源单独作用，如 图 4-11（c）利用分流公式。当 1V 电压源和 1A 电流源共同作用，如图 4-11（a），由叠加法得。ococ34戴 维 南 等 效 电 路诺 顿 等 效 电 路IS=ISCRS=ReqI1Vab1A1 1121+ _ 1/
12、2V2/3V1112ab11V+_OCUab1A1 11211A “OC172V36U_1/3A2/3A1/2A （c）在图（a）所示 电路中令独立源 为零时，便成为图（d）的无源 电阻网络。（d）图（a）的戴维南等效电路应为图（e）。（e） 图 4-11结论：与理想电流源串联的元件对外部电路不起作用，可以短接。例 2：求图 4-12（a）所示电 路的戴维南等效电路。图 4-12（a）解：本题可以将原电路分成左右两部分，先求出左面部分电路的戴维南等效电路，然后求出整个电路的戴维南等效电路。左面部分电路的戴维南等效电路如图图 4-12（b）1ab1121eq76R 7/64/3V+_ab1121
13、 120.81A1/5V+_abcd *OCeq231v551.UR11211Acd2/53/5 图 4-12（b）则原电路可等效图 4-12（c）、（d）。图 4-12（c） 图 4-12（d）注意两点与理想电压 源并联的电 阻对外部电路不起作用，可以断开。当两条相同的实际电压 源支路并联时,其戴维南等效 电路的准确求取。二 、 定理证明：现设一个线性含源二端网络与一负载相联如图 4-13（a）。当流过负载的电流为 I 时 ，则根据替代定理，可以用一个理想 电流源替代 该负载如图（b）。可 见，此时，整个网络就成为一个线 性网络。由此，可以利用叠加定理求 a、b 两点间的电压 U。将上述网络
14、中的独立源分成两组，即线性含源二端网络中的所有独立源为一组，电 流源 I 为一组。当线性含源二端网络中的独立源共同作用时，电流源 I 断开，如图（c ），此时求得的电压分量 ，即为 a、b 支路断开时的开路电压 UOC，得 。 OC当电流源 I 单独作用时，原线性含源二端网络中的所有独立源令为零值，如图（d），此 时从 a、b 两点向左看即为等效电阻 ，则 （注意参考方向）。eqRIeq可见，由叠加定理即可得到 a、b 两点间的电压为： IReqOC由 a、b 两点间的伏安关系出发，可以构筑一个简单的等效电路，如图（e）。最后将理想电流源用负载替代如图（f）。图（a） 图（b）线性或非线性含源
15、或无源线性含源负载NIU+_Req _+N0 U”+替代定理线性电路N U+_IS=I叠加定理 N U2 21/5V+_ 1/5V+_abcd11/5V+_abOCU图（c） 图（d）IRUeqOC图（e ） 图（f）图 4-13在等效前后，a、b 两点左端的网络对负载的影响总是不变的。而此时被等效的网络内部，其电压、电流的关系一般都是不等效的。关于诺顿定理的证明可以采用相似的方法进行。三 、求等效电阻的一般方法：外加激励法图 4-142. 开路短路法：图 4-15， 与 的方向在断路与短路支路上关联OCeqSURISCI说明：求等效电阻 时，若电路为纯电阻网络，可以用串、并 联化简时，直eq
16、接用串、并联化简的方法求，无法用串并联化简时， 则用一般方法求。当电路中含受控源时，则一定要用一般方法求其戴维南等效电阻。四、利用戴维南定理分析含受控源的电路eq“RIUOCUReq+_I+_N0 U+_IN0 U+_I eqRI注意：U 与 I 的方向内部关联IS=I替代定理N UOC+_N ISC负载UOC+_U+_IReq原则：1. 被等效电路内部与 负载内部不应有任何 联系（控制量为端口 U或 I 除外）2. 求 要用一般方法eqR例 3：电路如图 4-16（a）所示，用戴维南定理求电压 U。（a） （b）（c） （d）（e）图 4-16解：1. 求 ，如图（b）所示。OCU24OC8
17、VU2. 求 ，如图（c）所示。eqR则3()I52Ieq10RI或如图（d）所示， ， SC40.8A3IOCS3求电压 U 作出戴维 南等效电路如图（e）所示。V8610例 4：试求如图 4-17（a）所示 电路的等效电路。解：对于较简单的含受控源的电路，若要求出它的戴维南等效电路，可以先直接写出电路端口上电压电流的伏安关系，再由伏安关系去作等效电路。 2(2)8UIII2 36U/44V+_ U+_U=04V32 +U/4+_ISC1068V+_+ K_U4V+_2Uoc/4 UOC+_U/4I2 3+U3（a） 图 4-17 （b）由端口的伏安关系可以求得出 Req=8 ， Uoc=0
18、 一步法 （利用 UI 关系）则得等效电路如图 4-17（b）所示。五、最大功率传输我们知道一个含源线性二端网络，总可以用一条戴维南等效电路对外部等效。当这 个含源线性二端网 络外接一个负载电阻时，如图 4-18（a）所示，其中等效电源发出的功率将由等效电阻与负载电阻共同所吸收，如图 4-18（b）所示。在电子技术中，总希望负载电 阻上所获得的功率越大越好。那么，在什么条件下，负载电 阻方可获得最大功率？负载电阻的最大功率值 Pmax=？（a） （b）图 4-18我们知道： 而2IRPLLeqocRUI2)(LeqocLU利用数学中求极值的方法： 23422 )()()( ocLeqLeqoc
19、LeqoceL URRURdP 令 ，得 0L即：当负载电阻 RL 与戴维 南等效电阻 Req 相等时，负载电阻可从含源线性二端网络获得最大功率。此时最大功率为： eqocUP42max而戴维南等效电路中电源 Uoc 的效率 2150%()LeqRLoc eqI 负 载 所 获 功 率所 产 生 的 功 率可见此时等效电源 Uoc 的效率只达 50%，而 Uoc 所产生的功率有一半白白地损耗在等效电阻 Req 上，这在电力系统中是决不允许的，故电力系统中通常取NIRLReqUOC+_RLI+_2V2 22I2V_ +IU+_8IU+_RLReq。负载电阻吸收的功率和电源 Uoc 的效率随 负载
20、电阻变化的曲线如图 4-19 所示。图 4-19注意：此时是指可调负载 RL 可获最大功率的条件为 RL=Req 4.4 特勒根定理定理 1(又名功率守恒定理)：对于网络 N 共有 n 个结 点， b 条支路，其支路电压、支路 电流向量分别为 ， ，且各支路电压与电流参T1b U T1bII考方向相关联。则 或 。即 。T0IT0kU证明：已知支路电压与节点电压之间的关系为：U =ATUn则 nn()()IAII同理可证 。0TU定理 2(又名似功率守恒定理)：对于网络 和 ，可以由不同的元件构成，但N它们具有相同的结构，即 ，其中各网络的支路电压、支路电流向量分别为， ， ，且各网络中支路上
21、T1bU T1bII T1bI T1bU的电压与电流参考方向关联，则 ，或 ，即 ；00TI 01kkI，或 ，即 。0TIU0TI1bkkIU证明： Tnnn()()0AIA同理可证 ， ， 。0TI0例 1：已知图 4-20 中 N 为线性电阻无源网络，由图 （a）中测得 ，S120Vu， ，当图（b）中， 时，求0i2i 14iS2?u50%Pmax,0RLR LPRLRL=Req+ Ni2i1uS1_ u1+_ u2+_ 1u_+i_ S2uNN3i（a） （b）图 4-201S122N:20V,A,0,uiui S434?T121()bkiiuii1200kukkkkiRiu 11b
22、bkkkiui则： 2()uii2()iiS2040S210Vu由该例可见，若网络 N 为线 性电阻无源网络时， 仅需对其端口的两条外支路直接使用特勒根定理即可。在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、 电流的参考方向要关联。4.5 互易定理互易定理适用的条件： 1. 线性电阻网络； 2. 仅有一个独立源作用。对于单一激励的不含受控源的线性电阻电路，存在三种互易性质。定理 1：在图 4-21(a)与(b)所示电路中，N 为仅由电阻 组成的线性电阻电路，有21sui(a) (b)_ 2u1u1+_ NuS1+_+1 22i2122_+ Su1ui1iNN+_ _+_1NuS1+1 22i2
23、1221N _+i1 uS2(c) (d)图 4-21 互易定理 1互易定理 1 表明：对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电压源)与响 应(电流)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。当激励 us1=us2时，则 i2 = i1。证明：将图 4-21(a)、(b)中各电路变量标出，如 图 4-21(c)、(d)所示，使用特勒根定理 2，有： 1212uiiu210ii ss S212ssuii当 us1=us2时，则 i2 = i1 证毕。定理 2：在图 4-22(a)与(b)所示电路中，N 为仅由电阻 组成的线性电阻电路，有21siu（a） 图 4-22 （b）互易定理 2
24、 表明：对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电流源)与响 应 (电压)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。当激励 is1=is2时，则 u2 =u1。互易定理 3：在图 4-23(a)与(b)所示电路中，N 为仅由 电阻组成的线性电阻电路，有21siu(a) (b)图 4-23互易定理 3 表明：对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励与响应的位置，且把原电压激励改换为电流激励，把原电压响应改换为电流响应，则互易位置前后响应与激励的比值仍然保持不变。如果在数值上 us1=is2时，则 u2 =i1。例 1：电路如图 4-24(a)所示，试求电流 I。u2a bcd41
25、222+ _I8Va b d2+_8V4122I2 I1II3c1N1 221221N iS2iS1 u111iS2221122+_u2N+_uS1 Ni1(a) 图 4-24 (b)解：原电路为一不平衡桥式电路，但为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。互易后的电路如右图所示。此时应注意互易前后对应支路上的电压电流的参考方向必须同时关联或非关联。在图 4-5-4(b)中可以求得：AI241281根据分流公式： II3143由 KCL 可得： 原电路中所求电流AI2AI32注：此例也可用戴维南定理求解。例 2：在图 4-25 中已知 为线性电阻无源网络，图（a）中， 时，0NS4VU，问在图（b）中 12V 时， I3？128A,6IISU(a) (b)(c) (d)图 4-25解：对图 4-25（b）采用诺顿定理求流过 R 的电流。当将 6支路短路求短路电流 Isc 时，如图（c）所示，由互易定理和齐性原理有：Isc=3AscsUI2当求 R 两端向右看的诺顿等效电阻图(d)时，可利用图(a)电路，则 Req= Isc_12VN0+6I3 IscReqI2US_ N0+I1Req N0_+ SI3N06 诺顿定理Us/ I1=24/8=3 则诺顿等效电路如下图所示，I 3=1A。
