1、第一章 函数与极限1. 答：（1，10） (由 得 )1lg0x02. 答：( 2，2) (由 0x 24,解得2x2) 3. ,0)arcsin 得由4. )1(， )0 1(2xx， 得由5. 0，16. )0(，)0(x， 即由7. 答：（1，+） 1log2x 得8. 得且有由 02xx 02x且1)ln(22 x或 得 有由故函数的定义域为 2 0 ， 9. ； 解 得， 有由 2lnxxx2110f或有时 ， 对当 的 定 义 域 为故 函 数 xf)( )2 () (， 10. ；， 解 得， 有由 13121arcos x；， 解 得， 有由 202xx2 3 ，故 函 数 的
2、 定 义 域 为11. bmxabxa且由)0( 得；的 定 义 域 为时 ，当 )(2xFabmmba，的 定 义 域 为时 ，当 012. 12102xx 得由 故 的 定 义 域 为 ， ， ，f()1213. 65065lg22xx 得由 解 得 ： 或x61故 的 定 义 域 是 ， ，f()1U14. 由 得25050xx故 的 定 义 域 为 ， ，f()15. 得由 xya0| )1(2)(1)( xxf 故 f()2这 时 ya由 得yx|11故 x16. 52)(2 ttf时 ，当1042ttf 2utt， 则令)()2()uuf 6u6)(xf17. 2 ,0xzy时因
3、2)(xf 故有 f)( )()yyf )(2xyxz2(x18. )1(2)1()(2:2 已 知 xfxf )()()(:2 xff故 得21)()(2 xfxf:21得消 去 f 1314)(3xxf1)(x故 19. A 20.C 21. D 22. A)0()0()(.23ffy时 ， 有取 故 f()0)()()()( ，即于 是 ， 有取 xfxfxf。因 此 是 奇 函 数24. 由 得yexx21x21xy2ln反 函 数 ()l1定 义 域 ，()125 因 ， ， 且xffx0()fxf11()()ffx()()1从 而fxfx()126. 定 义 域 ， ；12值 域
4、， 。0227. fxx()4， ；， 28.D 29.C 30.D 31.C 32.A 33.D 34.C 35.A 36.B 37.C 38.C 39.B 40.C)1(,0.41coscosxxeex 因 当 (cos)ex1e2故 原 式 limx0242. 原 式 limsincota(s)x021202litnit)xx1452(021)(lim3.432312baxax故 因 即 a则 lilim()x xbx13213221aab3，4. B 45. 设 xnnn122 2 则 n又 x11 () 又 lim()2 , 故 limn2 46. 0 47. 原 式 lim( )x
5、nnxx1121)2 ()48. 49. 25e6314lim43li.02xxxxe而 limxxx2lix23不 存 在故 原 极 限因 xxe4li,1351.C 52.C 213lim)23(lim)(44arcsn 2ln00.5232 33232 333 xxxx xx 原 式 ，当54. 设 un ncoscos2 12i ixxxn n 12nxsii limlisisinnnuxx2,则 有 1ilmli00xunx 55. eexxxxcosco(cos)1当 ， ex0ss(cos)ln()12x原 式 lim(cos)cosxxe021156.D 57.A58. 原 式
6、 li()nn12 e12 59. 原 式 lim(si)xx0 nisin12 e 60. 原 式 li()()xx12232 e32 3 61. 原 式 limn(si)lncosixx01 sil()sinxxx021 1 62. 原 式 lixxe02 m()2 1 63. 原 式 li(sni)taxxxe031=1limtansil(sin)tanxxxeex0031164. 原 式 lilnx1 ll()ex1 n 65. 原 式 limxnx11 mn 2)(li)0(.0xg 因 为于 是 不 存 在limx 而 ， 当， 当 f x()sin()i02所 以 li()l(s
7、i)xxfg00 nns nnsnn 41)2()(12)2(1)(1)(.672222 证 s4即 有0)2(1)(1)(lim0li4122 因 此 ，而 nnn68. 原 式 lita()(ta)sinxxx33limta()limtas()x xx33633lisin()cox x 612()24nnxxn2 221)( )1(.69 显 然 ： 即 数 列 单 调 增又 nnn131211312 ()() 即 数 列 有 上 界 为x2根 据 准 则 ： 单 调 有 界 数 列 还 有 极 限因 此 ： 存 在limn 221.701kkkxxnx时 ，则 当 成 立时 ，设 当 时
8、 ，当 由 数 学 归 纳 法 原 理 知 ： 数 列 有 上 界 为xn2下 面 再 用 数 学 归 纳 法 证 明 数 列 为 单 调 增当 时 ，设 时 ， 成 立则 当 时 ，所 以 数 列 单 调 增nxxkxxxkkkkkn121111211根 据 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 ， 知 存 在limxn可 设 ， 则由 ， 得limlinnnxAxA201解 得 ： ， 舍 去 ） ， 因 此 xn212(li71. )cossi(tanli0xx 原 式 t12mxx 43)21( 72. 原 式 liscosic()xx ns1 122cose 73. 原 式 lim
9、(tan)(si)nxxx0311 2scox 102linsx 474. fxax()(1lim()li1211当 时 ， fxx()lili211xxfaa得()li)(limli()320120121212xxxf a故 欲 使 ， 必 须即 ali()li()xxfx12121275. limlixxx xee343425 153 xx而 .4li2不 存 在因 此 xxe76. 原 式 limcosinxx213 23 7. 原 式 lin1025 78. nn1)3( lim原 式 3 79. 由 ()12kk 原 式 li()()nn34 m2 1 0li.8na因 为 时 ，当
10、 所 以 limnna20 当 时 ，因 为 n1lim()1)(lili nnnaa所 以 81. 原 式 li()n122 () 82.B 83.B 84.C 85.C 86.A 87.D 88.D 89.D 90.B 91.B92.A 93.C 94.C 95.B 96.C 97.C 98.D 99C 100.C 101.D102.B 103.D 104.A 105.C 106.D 107.C 108.B 109.D存 在的 可 去 间 断 点 ， 则是若 解 法 一 ： )(lim)(0.10xfxf 从 而 lim()sinli(sinsin)xxf xabx020210故 abxl
11、i(ii)021再 由 得)snlim(i)xfx020即 bxxlisin0211故 当 ， 时 ， 是 的 可 去 间 断 点af0()解 法 二 ：若 是 的 可 去 断 点 ， 则 必 极 限 存 在xf fx00()lim()而 所 以 必 须limsn(i(sin)xxabx0221求 得 ： ， 此 时 afxxbbxx1120022li()lisi(si)inm()sinis(sin)仅 当 ， 即 时 ， 上 面 极 限 存 在120b综 上 述 ， ， 时 ， 是 的 可 去 断 点axf10()111. fxfx()(1， 与 是 的 间 断 点因 为 ： lim()x0
12、1所 以 是 的 无 穷 间 断 点xf0()而 lim()x12所 以 是 的 可 去 间 断 点f12. xfx012， ， ， 没 定 义 () 由 于 li()litanlimtaxf001 所 以 是 的 可 去 间 断 点xf()fx12， ， 均 为 的 无 穷 间 断 点 () kfx31， ， 也 是 的 间 断 点 () 且故 ， ， 是 的 可 去 间 断 点limtan()xkkfx3120212)1arcsin()(0.13xf时 ，时 所 以 的 连 续 区 间 为 ， 及 ， 时 没 定 义xf)()()00而 ffxx()lim()020 所 以 是 的 跳 跃
13、 间 断 点f()114. x1， 是 的 间 断 点因 为 lim()liarctnxxfx0010所 以 是 可 去 间 断 点而 fxfxx()liarctn()limrt10121010所 以 是 跳 跃 间 断 点f xfxx()liarctn()limrt10121010所 以 也 是 跳 跃 间 断 点15. B 16. a 17. ) ,2 1,0(n x 是 (xf的 间 断 点 。 由 于 tlim0， 所 以 x是 可 去 间 断 点 ) ,( axnx所 以 2 1n是 无 穷 间 断 点 ) , ,0(K 2K 也 是 )(xf的 间 断 点 talimxx 所 以
14、是 )(f的 可 去 间 断 点 118. 当 时， 是连续的初等函数。0当 时0x1sinlmsinl)( 00xxfx1f所以 是 的跳跃间断点。0x)(f 是， 所 以， 但即 解 ： 0)0(2)(lim2)limli0 2sinlmsinl(.1920 000 xfxf xxffxx 的 一 个 可 去 间 断 点ffxxfxlili)()()1011002所 以 是 的 一 个 跳 跃 间 断 点 处 连 续在， 可 使可 去 间 断 点 ， 补 充 定 义 是，解 ： 042tan)(lim2tanli.120020 xyyxxx limtanli()tanxxxyy22224是
15、 可 去 间 断 点 ， 补 充 定 义 可 使 在x2处 连 续论 ， ， 由 于所 以 是 可 去 间 断 点 ， 补 充 定 义 可 使 在 xmxyyxm()()litan21220210处 连 续)(12Zx证 ， ， ， 由 于knk0)为 无 穷 间 断 点， 所 以 kx xk2tanlim121. fx012， ， 都 是 的 间 断 点()由 于 fxxx()lin()ml010所 以 是 跳 跃 间 断 点li()linxxf x1101， 是 可 去 间 断 点lim()lixxf222， 是 无 穷 间 断 点12. A xxfx 1li)(li.300解 ： lim
16、()xx011limlin()xxf所 以 ， 但 ， 故 在 处 不 连 续()()ffx0100124. fff()()(0101 所 以 在 点 处 连 续x 处 不 连 续在 点所 以 ，2)(5f 2是 的 一 个 跳 跃 间 断 点 125. 要 在 处 连 续 ， 必 须fx1 f()()(0 而 ， bbfa30 求 得 ，21 即 ， 时 ， 在 处 连 续fx1()126. 当 时 ， 在 处 连 续lim()xf1 因 为所 以 要 存 在 ， 必 须li()xab1420 lix141即 于 是 lim()xbx142 即 x23 求 得 ： ，ba3127. 解 ：
17、在 ， 、 ， 内 是 连 续 的f()()0 因 为 ，efxxlimlimsn0 010 又 ， 所 以 在 点 也 连 续 ， 故 在， 是 连 续 的ff f()()()12cos)(.18xxf， ， ，解 ： 当 时 ， 连 续f()故 是 的 一 个 跳 跃 间 断 点x1在 处 ， ，又 ， 所 以 在 处 连 续fffx010()()()12lim)0(.1290xf解 ：fx()li10 所 以 是 的 一 个 跳 跃 间 断 点f(130. 解 ： ， ，bfa)()0 当 时 处 处 连 续abfx( 4)(.f解 ： exxxlim(cos)0540faax()ntl
18、i220 当 ， 即dff()( a12时 ， 在 处 连 续132. 证 ： 设 ， 在 ， 上 连 续fxfx()()57412 又 ，f()0230 故 在 ， 由 方 程 ， 即 方 程至 少 一 个 实 根 745 5x )sin(1)(0)(sin.13 babaff fxx，上 连 续 ， 且 ，在，证 ： 令若 ， 则 是 原 方 程 的 实 根sinab1 若 ， 则 ， 由 零 点 定 理知 在 ， 内 至 少 有 一 个 实 根()0 综 上 述 ， 原 方 程 至 少 有 一 个 正 根 ， 且 它 不 超 过 ab0)()10()0( )(134(.134123fff
19、 xfxf， 使，所 以 ， 存 在 点 ，由 于 内 连 续， 在，解 ： 设 即 为 原 方 程 一 实 根1又 ， 故 存 在 点 ，f()52 使 2 又 ， 必 存 在 点 ， 使， 于 是 存 在 点 ， ， 使lim()()xf xf0031 3， 故 原 方 程 有 三 个 实 根又 因 为 为 三 次 方 程 ， 它 最 多 有 三 个 实 根 ，故 方 程 有 且 仅 有 三 个 实 根fx() 135. 证 ： 反 证 法 ， 若 在 ， 内 不 处 处 为 正fxab() 即 在 ， 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 (abfx00 于 是 由 零 点 定 理 ， 在
20、 与 点 之 间 必 存 在 一 点C使 f()0 为 相 邻 两 根 矛 盾，与 ，的 一 个 根内 还 有 方 程，即 bxaxf)( 所 以 在 ， 内 处 处 为 正f() 136. 解 ： 设 ， 则 原 方 程 即fxx()sin2 0 因 为 ，ffi2310 所 以 必 存 在 点 ， 使()( 故 原 方 程 至 少 有 一 个 不 超 过 的 正 根 137. 证 ： 引 入 辅 助 函 数 ()xfx ()abaf在 ， 上 连 续 ， 0 f0 所 以 至 少 有 一 点 ， ， 满 足 ， 即()()bf 上 连 续，在 ， 则证 ： 设113)(.384xfxf又
21、，ff()()500由 零 点 定 理 ， 必 存 在 点 ， 使 ， 即()(10f 431所 以 方 程 在 ， 内 有 实 根 x0139. 因 是 无 穷 间 断 点 故 lim()()xfab01 由 此 得 且 ，0 又 因 是 可 去 间 断 点 ， 即 存 在fxA11lim() 于 是 li()li()xxfbb1 3210由 上 知 ， 故 得综 上 述 ， 为 所 求ba20 140.D 141.B142. xxf02， ， 是 的 间 断 点() 在 处 ， f4102() 故 是 的 跳 跃 间 断 点xf0()在 处 ，fxxx2214lim()li() 故 是 的
22、 可 去 间 断 点 在 处 ， fxx22lilim故 是 的 无 穷 间 断 点xf() 143.C 144.B 145.D146. ffx()li()0 arcsntx2 i16 147. D 148. 230bffx()lim()licosxb0221令 ， 即2343022b解 或 为 所 求1149. xxn02， ， ， ， 都 是 的 间 断 点f()在 处 ， ，xnnzfxx()silim)01故 ， ， ， 是 的 第 二 类 间 断 点fx23 ()在 处 ， 无 意 义xf010li()sin()f0是 的 可 去 间 断 点()在 处 ，xff110()sin()sinffxf()0 是 的 跳 跃 间 断 点150. fxabx()(4121 在 处连 续 故 有 lim()xf1021114lilixxfab得 ablim()li()lixxxfxb114232 b3从 而 a2即 当 ， 时 在 处 连 续fx1()151.A 152.A 153. 1/2)0()0(.154ffx 处 连 续在因 即 ，eae 而 在 处 连 续 fffabef()()202143令 ，23eb 故 ， 为 所 求ae2 15. C
