1、1南京师范大学附中高三考前数学模拟考试一、填空题：本大题共 14个小题,每小题 5分,共 70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸指定的位置上.1. 已知集合 ，则 _【答案】【解析】 ，所以 2. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的模 _【答案】【解析】因为 ，所以 3. 某时段内共有 100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段的时速超过 的车辆数为_辆. 【答案】【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得时速超过 的汽车的频率为；所以时速超过 的汽车辆数为 所以答案应填：77考点：频率分布直方图4. 如图所示的流程
2、图中，输出的 为_2【答案】【解析】由题意输出 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 函数 的定义域是_【答案】【解析】由题意得 ，即定义域是6. 袋中有形状、大小相同的 只球，其中 只白球， 只红球， 只黄球，从中一次随机摸出 只球，则这只球颜色不同的概率为_【答案】【解析】试题分析：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 ，则一次取出 2 只球，基本事件为 、 、 、 、 、 共 6 种，其中
3、2 只球的颜色不同的是 、 、 、 、 共 5 种；学&科& 网.所以所求的概率是 考点：古典概型概率37. 已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则该四棱锥的侧面积是_【答案】【解析】四棱锥的侧面积是 8. 设变量 满足约束条件 ，若目标函数 的最小值为 ，则 _【答案】【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部， 其中 ,因为目标函数的最小值为 ，所以 ，因此 ，解得 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行
4、域的端点或边界上取得.9. 设函数 ，且 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，则 在区间 上的最大值为_【答案】【解析】 ，由题意得 ， 因此 ，则 在区间 上的最大值为 1.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征10. 设 是等比数列 的前 项和，若满足 ，则 _【答案】【解析】因为 ，所以 ，因此 411. 若 且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】因为 ，所以 ；因为 ，所以，即 因此 当且仅当 时取等号12. 已知 是圆 上的一动点， 是圆 的一条动弦（ 是直
5、径的两个端点） ，则 的取值范围是_【答案】【解析】设圆 圆心为 C.则 ，又,因此 13. 设 ，对 总有 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】由题意得当 时， ；当 时， ；当 时， ；令 ，则 ，因此当 时，；当 时， 当 时， ，综上 的取值范围是14. 在 中，已知边 所对的角分别为 ，若 ，则 _【答案】 学&科&网.【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得,即 因为所以 5点睛：三角形中问题，一般先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或三角函数有界性求取值范围. 最后根据等号取法确定函数值.第卷（共 80分）二、解答题 （本大题共 6小
6、题，共 90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）求 的值；（2）若 ，求 的面积.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将角的关系转化为边的关系: ,即得 的值；（2）根据向量数量积得 ,再利用余弦定理得 ,结合 ,解方程组可得，代 得 ,即得 ，最后根据三角形面积公式求面积.试题解析：解：（1）由正弦定理， ；（2） ，所以 ，所以 .16. 如图，在四棱锥 中, .（1）若 是 的中点，求证： 平面 ；（2）若 ，求证：平面 平面 .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，利
7、用平几知识证明四边形 是平行四边形，即得 .最后根据线面垂直判定定理得 平面 ；（2）由平均知识计算 ，再由 ，根据线面6垂直判定定理得 面 ,最后根据面面垂直判定定理得平面 平面 .试题解析：解（1）取 的中点 ，连接 和 ，由因为 是 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，由题意 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 . 因为 ，所以 平面 ；(2)由题意，在直角梯形 中，经计算可证得 ，又 面 ，, 面 ,又 面 ，所以平面 平面 .点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.学& 科
8、& 网.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米圆心角为 （弧度）的扇形景观水池，其中 为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过 万元，水池造价为每平方米 元，步道造价为每米 元.（1）当 和 分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；（2）若要求步道长为 米，则可设计出水池最大面积是多少.【答案】 （1）最大值为 400.（2）当 时， 最大 平方米，此时 .【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长 ，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于 的一元不等式，7解得 的范围
9、，确定最大值为 400.（2）由条件得 ，消 得 ，由及 ，解出 ，根据二次函数最值取法得到当 时， 最大试题解析：解：（1）由题意，弧长 为 ，扇形面积为 ，由题意 ，即 ，即 ，所以 ，所以 ， ，则 ，所以当 时，面积 的最大值为 400.（2）即 ， 代入可得或 ，又 ，当 与 不符，在 上单调，当 时， 最大 平方米，此时 .18. 平面直角坐标系中，椭圆 过点 ，离心率为 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 作一直线与椭圆 交于 两点，过 点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为 ，试问直线 与 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】 （1） （2）直线
10、与 过定点 .【解析】试题分析：（1）由离心率得 ，由椭圆过点 得 ，解方程组可得8（2）先根据对称性得定点必在 x轴上，再利用特殊位置确定定点为 .最后证明直线 与皆过定点 .试题解析：解（1）由题意得 ，所以椭圆的标准方程为 .（2）当直线 的斜率不存在时，准线 与 的交点是 ；当直线 的斜率存在时，设 ，直线 为 ，由 ，所以 ， ，所以 ，联立解得 ，学& 科&网.代入上式可得 ，综上，直线 与 过定点 .点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似
11、，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19. 设 为常数）.（1）当 时，求 的单调区间；（2）若 在区间 的极大值、极小值各有一个，求实数 的取值范围.【答案】 （1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数大于零得三角不等式，解得单调增区间；同理根据导函数小于零得三角不等式，解得单调减区间，注意单调区间不可用并集连接， （2）导函数 必有两个不9等的零点，利用导数分析导函数图像得：先增后减再增，比较两个端点及两个极值点知， ，解不等式可得实数 的取值范围.试题解析：解：（1）当
12、时， ，令 ，则 单调增；令 ，则 单调增，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）设 ，则 ，令 ，则 ，令 ，则 ，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .故 在 处取得极大值，在 处取得极小值，所以 若 ，则 在 上单调增，故 在 无极值，所以 ；若 ，则 在 内至多有一个极值点，从而 ，于是在区间 内 分别有极大值、极小值各一个，则在 内无极值点，从而，所以的取值范围是 .20. 设 是各项均不相等的数列， 为它的前 项和，满足 .（1）若 ，且 成等差数列，求 的值；10（2）若 的各项均不相等，问当且仅当 为何值时， 成等差数列？试说明理由.【答案】 （1） （2）当
13、且仅当 时， 成等差数列【解析】试题分析：（1）根据 解出 （用 表示） ，再根据 成等差数列，得 ，代入解出 的值；（2）先研究 成等差数列时 为何值，同（1）根据 解出 ， （用 表示） ，再根据 成等差数列解出 的值 ；再证明 时， 成等差数列，实际上求出 这个关系式.试题解析：解：（1）令 ，得 ，学&科& 网.又由 成等差数列，所以 ，解得 .（2）当且仅当 时， 成等差数列，证明如下：由已知 ，当 时， ，两式相减得 ，即 ，由于 个各项均不相等，所以 ，当 时，所以两式相减可得 ，当 ，得 ，当 时，所以 ，所以 ，故 成等差数列.再证当 成等差数列时， ，因为 成等差数列，所以
14、 ，可得 ，所以 ，所以当且仅当 时， 成等差数列.1121. 如图， 为 的直径， 为 上一点，过 作 的切线交 的延长线于点 ，若 ，求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：根据弦切角定理得 ，而 可得 ，因此，即得 ，因此 .试题解析：解：连接 ，因为 为切线且点 为切点，所以 ，因为 ,所以又因为 所以故 ，所以 ，从而 .22. 已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵 的变换下得到点 ，学&科&网.求矩阵 的两个特征值.【答案】【解析】试题分析：由矩阵变换得 ，解得 ，再利用特征多项式求特征值试题解析：解： ，所以 ，即 ，特征方程 ，因此 .23. 已知点 是曲线 为参数， ）上一点，
15、 为原点，若直线 的倾斜角 ，求点 的直角坐标.【答案】点 的坐标为 .【解析】试题分析：先根据同角三角函数平方关系消去参数得曲线 的普通方程，再根据点斜式得直线的方程，最后联立方程组解出点 的直角坐标.12试题解析：解：由题意得，曲线 的普通方程为 ，直线 的方程为 ，联立得 （舍去）或 ，所以点 的坐标为 .24. 已知实数 满足 ，求 的最小值.【答案】【解析】略25. 某小组共 10人，利用暑假参加义工活动，已知参加义工活动此时为 的人数分别为 ，现从10人中学车 2人作为该组参加座谈会.（1）记“选出 2人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 ，求事件 的发生的概率；（2）设 为选出
16、 2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望.【答案】 （1） .（2） ，分布列见解析【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用概率公式求解； (2)借助题设条件运用概率公式和数学期望公式求解.试题解析：由题得：的可能取值为， ， 的分布列为：13考点：概率公式及数学期望的计算公式等有关知识的综合运用26. （1）设 ，求 .（2）设 ，求 的整数部分的个位数字.【答案】 （1） （2） 的个位为 .【解析】试题分析：（1）利用二项式定理分别求 项系数得 .（2）取对偶关系式， 的整数部分的个位数字利用二项式定理证明 为整数且个位数为 0，根据范围确定 ，从而得到试题解析：解：(1)因为，所以 .（2）令 ，则 ,已知 为整数且个位数为 0，而 ，所以 ，所以 的个位为 .14
