1、1啊习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.【解】 352435,1()0.C.()0.6XPX故所求分布律为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；(3).133,1,12222PXPX【解】 315231350,.C()().CPX故 X 的分布律为X 0 1 2P 235235135（2） 当 xa
2、 时，F （x ）=1即分布函数80,0()1,xFxaa18.设随机变量 X 在2，5 上服从均匀分布 .现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5 ，即 1,25()30xfx其 他53()dPX故所求概率为 233120C()()7p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗1()5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解】依题意知 ，即其密度函数为1()5XE51e,0()xf该顾客未等到服
3、务而离开的概率为 2510()edxPX,即其分布律为2(5e)Yb225525()C(e),1,3410(e)0.67kkYP20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，10 2） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，4 2）.（1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路，XN （40，10 2） ，则406(6) (2)0.971xPX9若走第二条路，XN（50，4 2） ，则+5
4、06(60) (2.5)09384XP故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若 XN（40，10 2） ，则 05(45) (0.5)6911X若 XN（50，4 2） ，则 4() (.2)XP1(.25)0.16故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，2 2） ，（1） 求 P20;(2) f(x)= .,0,212他b试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】 （1） 由 知()dfx| 02ed2edxaa故 即密度函数为 e,2()0xf当 x0 时 1()()de2xxxFf当 x0 时 00dx1e2x12故其分布函数 1e,02(),xFx(2) 由 1
5、2011()ddbfbx得 b=1即 X 的密度函数为 2,01(),fxx其 他当 x0 时 F（ x）=0当 00 时， (e)(ln)xyPXyln)dyXf故 2/ln(11()(ln)e,0yYYxFffy(2) 2(1PX当 y1 时 ()0YFPy当 y1 时 2(1)Xy2 12yyP(1)/2dyXfx故 d11()()42YY XyyfyFffy(1)/412e,(3) (0)PY当 y0 时 ()0YFPy当 y0 时 )|()XXy15()dyXfx故 d()()YYXfyFffy2/e,0y31.设随机变量 XU（0,1） ，试求：（1） Y=eX 的分布函数及密度函
6、数；（2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数.【解】 （1） (01)P故 eX当 时y()0YFy当 10 时， )(2ln)Xz/2(lnezP/21/2edzzx16即分布函数 -/20,()1eZzF故 Z 的密度函数为 /2,0()zZf32.设随机变量 X 的密度函数为f(x)= 2,0,.x其 他试求 Y=sinX 的密度函数.【解】 (01)P当 y0 时， ()0YFyP当 00）=1，故 06,则 P（X 1 时， (e)(ln)XyyPyln01dyx即 ,()01YyFy故 2,()Yyfy2451.设随机变量 X 的密度函数为fX(x)= ,)12求 Y=1 的密度函数 fY(y). 3x【解】 33()1)()FyPPy332(1)(1)3darctg)arctg(yyxy故 26(1)()Yyf52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 t 的泊松分布.（1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；（2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率Q.（1993 研考）【解】 （1） 当 t t与N(t )=0等价，有()1)1()01etTPNt即 e,(0tTFt即间隔时间 T 服从参数为 的指数分布。（2） 168e(16|8)(16)/(8)QPPT
