1、23.圆中成比例的线段知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。精典例题：【例 1】已知如图，AD 为O 的直径，AB 为O 的切线，割线 BMN 交 AD 的延长线于 C，且 BMMNNC，若 AB2。求：（1）BC 的长；（2）O 的半径 。r分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。解：（1）设 BMMN NC ，由切割线定理可得：x BMNA2即 解得： ，BC)(2x2；3x（2）在 RtABC 中，AC 14
2、2ABC由割线定理可得： MND 714ANC 145)2()(21r【例 2】如图，PA 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA 10，PB5，BAC 的平分线与 BC 和O 分别交于点 D 和 E，求 的值。A分析：由切割线定理有 ，可得直径 BC 的长，要求 ，由PCB2ACEADB 得 ，也就是求 CA、BA 的长。ED解：连结 CEPA 是O 的切线， PBC 是O 的割线 PCBA2又 PA10，PB5，PC20，BC15PA 切O 于 A，PAB ACP又P 为公共角，PAB PCA 210CBC 为O 的直径，CAB90 0例 1图 ON MDC BA例 2
3、图 POEDC BA 252BCAAC ，AB563又ABCE，CAEEABACEADB， ACDE 90536BAD【例 3】如图，AB 切O 于 A，D 为O 内一点，且 OD2，连结 BD 交O 于C，BC CD3，AB6，求 O 的半径。分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。解：延长 BD 交O 于 E，两方延长 OD 交O 于 F、G，设O 的半径为 rBA 切O 于 A， BEC2AB6，BC3，BE12 ，ED 6又 ，DGFFD OD， DG ODrr ，OD23)( ，182rr探索与创新：【问题一】如图，已知 AB 切O 于点 B，AB 的垂直平分线
4、 CF 交 AB 于 C，交O于 D、E ，设点 M 是射线 CF 上的任一点，CM ，连结 AM，若 CB3，DE8。探索：a（1）当 M 在线段 DE（不含端点 E）上时，延长 AM 交 O 于点 N，连结 NE，若ACMNEM ，请问：EN 与 AB 的大小关系。分析：如图 1，由ACMNEM 可得NEM 90 0，连结 BO 并延长交 EN 于 G，可证 BO 垂直平分 EN，即可证明 ENAB，结论就探索出来了。解：AB 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，CB 3AB6，ACM 90 0又ACMNEM，NEM 90 0连结 BO 并延长交 EN 于点 GCB 切O 于 B，GBC
5、90 0GBCBCE GEC90 0四边 BCEG 是矩形EGB90 0，G 为 NE 的中点EN2EG 2CB 6AB （2）如图，当 M 在射线 EF 上时，若 为小于 17 的正数，问是否存在这样的 ，使aa得 AM 与O 相切？若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由。分析：先满足 AM 与O 相切，求出相应的 值，看它是否是小于 17 的正数即可。解：当 AM 与O 相切于点 P 时，有 MPAM APAM ABAM 6例 3图 GFOE D C BA问 题 图 1 NMGFOEDCBAMC ，AC3，ACM90 0aAM ，又 MDMCCD 921aMEMCCE ，MEDP2 )9
6、(1)6(22aa即 ，解得 （ 已舍去）01880a 70存在这样的正数 ，使得 AM 与O 相切。a跟踪训练：一、选择题：1、PT 切O 于 T，割线 PAB 经过 O 点交O 于 A、B ，若 PT4，PA2，则cosBPT（ ）A、 B、 C、 D、54218332、如图，四边形 ABCD 内接于O，ADBC 12，AB35，PD40，则过点 P 的O 的切线长是（ ）A、60 B、 C、 D、504035第 2题 图 PODCBA第 3题 图 QPCBA第 4题 图 TDOPCBA3、如图，直线 PQ 与O 相切于点 A，AB 是O 的弦， PAB 的平分线 AC 交O 于点C，连结
7、 CB 并延长与 PQ 相交于 Q 点，若 AQ6，AC5，则弦 AB 的长是（ ）A、3 B、5 C、 D、310524、如图，PT 切O 于 T，PBA 是割线，与O 的交点是 A、B，与直线 CT 的交点是 D，已知 CD2，AD3，BD4，那么 PB（ ）A、10 B、20 C、5 D、 8二、填空题：1、如图，PA 切O 于 A，PB4，PO5，则 PA 。2、如图，两圆相交于 C、D，AB 为公切线 A、B 为切点，CD 的延长线交 AB 于点 M，若AB12，CD9，则 MD 。问 题 图 2 M FOEDCBA第 1题 图 OP B A第 2题 图 CDM BA第 3题 图 O
8、CDM BA3、如图，O 内两条相交弦 AB、CD 交于 M，已知 ACCMMD，MB AM1，则2O 的半径为 。4、如图，在ABC 中，ABAC，C72 0，O 过 A、B 两点且与 BC 相切于点 B，与AC 交于点 D，连结 BD，若 BC ，则 AC 。15第 4题 图 OCDBA第 6题 图 OC BA5、已知O 和O 内一点 P，过 P 的直线交O 于 A、B 两点，若 ，24PAOP5，则O 的半径长为 。6、如图，在 RtABC 中，C90 0，AB ，BC ，AC ，半径为 1.2 的O13ab与 AC、BC 相切，且圆心 O 在斜边 AB 上，则 。b三、计算或证明题：1
9、、如图，已知 RtABC 是O 的内接三角形，BAC 900，AH BC，垂足为 D，过点 B 作弦 BF 交 AD 于点 E，交O 于点 F，且 AEBE。（1）求证： ；AF（2）若 ，AD6，求 BD 的长。322、如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A，CB 交O 于 D，DE 切O 于D，BEDE 于 E，BD10， DE、BE 是方程 的两个根032)(2 mxx，求 AC 的长。)(B第 1题 图 DHFEO CBA 第 2题 图 D EOCBA 第 3题 图 POHFEDCBA3、如图，P 是O 直径 AB 延长线上一点，割线 PCD 交O 于 C、D 两点，弦DF AB
10、 于点 H，CF 交 AB 于点 E。（1）求证： ；PBA（2）若 DECF ，P 15 0，O 的半径为 2，求弦 CF 的长。4、如图，O 与P 相交于 A、B 两点，点 P 在O 上，O 的弦 AC 切P 于点A，CP 及其延长线交 P 于 D、E，过点 E 作 EFCE 交 CB 的延长线于 F。（1）求证：BC 是P 的切线；（2）若 CD2，CB ，求 EF 的长；2（3）若设 PECE，是否存在实数 ，使PBD 是等边三角形？若存在，求出kk的值；若不存在，请说明理由。k第 4题 图 O PFEDCBA跟踪训练参考答案一、选择题：AACB二、填空题：1、 ；2、3；3、 ；4、2；5、7；6、8 或 9610三、计算或证明题：1、（1）略；（2） ；（3） ；2、略解：由已知可得 ，)2(mBED32mBED又 2210 10)3()(m解得： ，故 BE8，DE65由ADBDEB 可得：AD 215由ADCBED 可得：AC 873、提示：（1）连结 OD，证PCEPOD 得 ；PBADCPEO（2）证ODE15 0 得HDO EDC30 0，OD2 ，则 DH ，DE ，CE36。CF CE EF 264、（1）连结 PA、PB，证PBC90 0；（2）EF ；（3）存在 ，使31kPBD 为等边三角形。
