1、13. 三角函数的综合运用知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。精典例题：【例 1】如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶A 的仰角分别为 450 和 600，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）。（参考数据： 1.41421， 1.73205）23分析：此题可先通过解 Rt ABD 求出塔高 AB，再利用 CEBD80 米，解 RtAEC 求出
2、AE，最后求出 CDBEABAE。解：在 RtABD 中，BD 80 米，BAD60 0AB （米）56.13806tanBD在 RtAEC 中，ECBD80 米，ACE45 0AECE80 米CDBEABAE （米）.答：塔 AB 的高约为 138. 56 米，楼 CD 的高约为 58. 56 米。【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度PO 450 米，且 A、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 ，03，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，选用数据： 1.41， 1.73）045 2分析：要求 AB，只须求出 OA 即可。可通过解
3、RtPOA 达到目的。解：在 RtPAO 中，PAO 03OA （米）345cot45cotPAO在 RtPBO 中，PBO 0OBOP 450（米）ABOAOB （米）32945答：这座大桥的长度约为 329 米。评注：例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等）， 解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例 3】一艘渔船正以 30 海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C在船的北偏东 600 方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的
4、着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛 C 与航向（直线 AB）的距离，再与 10 海里进行比较得出结0456 例 1图 FEDCBA例 2图 ABOP论。解：过 C 作 AB 的垂线 CD 交 AB 的延长线于点 D ，DA03cot CB06cot ， 06cot 2)30(ctB 132C 1010这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。 0306例 3图 CDBA例 4图 FED CBA【例 4】某水库大
5、坝横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 CD3 米，斜坡 AD16 米，坝高8 米，斜坡 BC 的坡度 13，求斜坡 AB 的坡角和坝底宽 AB。i分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。解：作 DEAB，CFAB，垂足分别为 E、F ，在 RtADE 和 RtBCF 中 268sinADEA30 0又 ，3812231BFCiBF 3CF3824ABAEEFBF （米）437答：斜坡 AB 的坡角A30 0，坝底宽 AB 为 米。)382(评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值 ），tani其次是作适当的辅助线构造直角三角形。探索与创新：【问题一】如图，自
6、卸车厢的一个侧面是矩形 ABCD，AB3 米，BC 0.5 米，车厢底部离地面 1.2 米，卸货时，车厢倾斜的角度 ，问此时车厢的最高点 A 离地面多06少米？（精确到 1 米）分析：此题只需求出点 A 到 CE 的距离，于是过 A、D 分别作 AGCE，DFCE ，构造直角三角形，解 RtAHD 和 RtCDF 即可求解。解：过点 A、D 分别作 CE 的垂线 AG、DF ，垂足分别为 G、F，过 D 作 DHAG 于H，则有： 2360sinCF415.coA于是 A 点离地面的高度为 （米）2.3答：车厢的最高点 A 离地面约为 4 米。【问题二】如图 1 所示是某立式家具（角书橱）的
7、横断面，请你设计一个方案（角书橱高 2 米，房间高 2.6 米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图 2 中的长廊搬入房间，在图 2 中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。问 题 二 图 1 0.50.51.51.5问 题 二 图 2 31.45略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线 AB，延长 DC 交 AB于 E，由题意可知，ACE 是等腰直角三角形，所以 CE0.5，DEDCCE2，作DHAB 于 H，则 4sin2sinHEDD 5.12可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。
8、设 计 方 案 图 31.45设 计 方 案 说 理 图 HE DCBA跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高 BC 是 5 米，迎水斜坡 AB 的长是 13 米，那么斜坡 AB问 题 一 图 HG FDCBA的坡度 是（ ）iA、13 B、12.6 C、12.4 D、122、如图，某渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 600 方向，这艘渔船以 28 海里小时的速度向正东航行半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 150 方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A、 海里 B、 海里 C、7 海里 D、14 海里7214第 1题 图 CBA0156第 2题 图
9、 MBA0453第 3题 图 CD BA3、如图，从山顶 A 望地面 C、D 两点，测得它们的俯角分别为 450 和 300，已知 CD100米，点 C 在 BD 上，则山高 AB（ ）A、100 米 B、 米 C、 米 D、 米3505)1(54、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价 元，则购买这种草皮至少需要（ ）aA、 元 B、 元 C、 元 D、 元a502a10a30012选 择 第 4题 图 30m20m:1i填 空 第 1题 图 CDBA6m10m填 空 第 2题 图 CDBA二、填空题：1、如图，一铁路路基
10、的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底 AB 米。2、小明想测量电线杆 AB 的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD4 米，BC10 米，CD 与地面成 300 角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，1.41， 1.73）3三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点 A 处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得CAD45 0，在距离 A 点 30 米的 B 处测得CBD30 0，求河宽 CD（结果可带根号）。第 1题 图 CD BA03015 DCAB 第 2题 图
11、DA 第 3题 图 CB A2、如图：在小山的东侧 A 处有一热气球，以每分钟 28 米的速度沿着与垂直方向夹角为 300 的方向飞行，半小时后到达 C 处，这时气球上的人发现，在 A 处的正西方向有一处着火点 B，5 分钟后，在 D 处测得着火点 B 的府角是 150，求热气球升空点 A 与着火点 B的距离。（结果保留根号，参考数据： ， ，42615sin042615cos0， ）3215tan03215cot03、如图：某海域直径为 30 海里的圆形暗礁区中心有一哨所 A，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向 45 海里的 B 处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，
12、又继续前进 15 海里到达 C 点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东 ，求 的值；sin当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？4、如图，客轮沿折线 ABC，从 A 出发经 B 再到 C 匀速航行，货轮从 AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线AB C 上的某一点 E 处。已知 ABBC 200 海里， ABC90 0，客轮速度是货轮速度的 2 倍。（1）两船相遇之处 E 点（ ）A、在线段 AB 上B、在线段 BC 上C、在线段 AB 上，也可以在线段 BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号） 第 4题 图 DC BA跟踪训练参考答案一、选择题：CADC二、填空题：1、34 米；2、8.7 米；三、解答题：1、 米；)53(2、 米；9803、 ；30 0；31sin4、（1）B；（2） 海里。)362(
