1、第一章 矢量分析与场论基础内容提要1） 正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：),(1zyxq),(2zyxq),(3zyxq在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为 iidhliiiqkjkjikjildsjijiji dhlv式中 、 、 代表循环量 1、2、3， ， ，ijkkjiq1kji称拉梅系数。2iiii qzyqxh三种坐标系中坐标单位矢量间的关系： zyxz ee10cosin柱坐标与直角坐标 zee01sincosi 球坐标与柱坐标 zyxee 0cossininicosi球坐标与直角坐标2） 矢量及其运算：直角坐标中算符 的定义：zyxee一个标量函数
2、的梯度为：u zyxeueu梯度给出了一点上函数 随距离变化的最大速率，它指向 增大的方向。一个矢量 穿过一个曲面 的通量 为FSsdF对一个闭合曲面而言， 向外为正。ds直角坐标系中 的散度F zFyxF表示在这一点上每单位体积向外发散的 的通量。散度定理：散度的体积分=矢量的面积分VSdsFv其中 是由 所包围的体积。vs斯托克斯定理：旋度的面积分=矢量的线积分Ls dls)(其中 是由 所包围的面积。sl直角坐标系中 的旋度F zyxzyxFe拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中： 22zuyxu一个矢量的拉普拉辛定义为： zyxeFeF222其它坐标也可写成： x )(2柱坐标系中 ze
3、rzddvzeueu1zFFzzFee12222 uuu球坐标系中 reddrsinrvi2eueurusin1)(i)(isi)(12 FrFrFrFreersinisin2 22222 sin1)(siin1)(1 urururu3） 亥姆霍兹定理：矢量场 可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和F leF其中l )0(eel因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4） 函数定义： 0)(r)(r)(1)(内在 外在 vdv性质 a）偶函数： )(xb）取样性： )()afdf有机会用到的表达式： 14)(2rr1-1. 证明：)432()69( zyxzyx eeBA=18+6-24
4、=0说明 相互垂直BA与1-2. 空白1-3. 证明：0 zyxBABA说明 相互垂直与1-4. 解：当坐标变量沿坐标轴由 增至 时，相应的线元矢量 为：iuiididl)(iiiidul= i= iidu其中弧长 iiidul其中 31321 jjyxxjjiiu31231jiixj令231jijuhi则 idlii1-5. 解：(1) 据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有)()()( ccBABA其中 、 暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式cABcbaba)()(将上式右端项的常矢轮换到 的前面，使变矢都留在 的后面c BAccc )()()(aBBA则Acccc )()()()()
5、( 除去下标 c 即可BBABA )()()()()( (2) 利用(1)式的结果即可。(3) 据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有)()()( ccHEHE再 算子的矢量性，并据公式)()()( abacba将常矢轮换到 的前面)()(HEcc EcbcH aE代入得：)()()(cc HEH1-6.(1) 证： zAyxAzududuA(2) 证： )()()() yAxezAeyeuA xzxyzx 右边第一项的 分量 xyzx dudu)()( 同理 yzxy eAxAe)()(zyz duydu)()( 则Au)(3) 0)()()()( yAxzAzyzyx xx1-7.证：
6、 zyxeReRRezyx )()()(zyxeReR Rezyx )()()(所以 R据公式 udff)(321RR32所以 31R（梯度的旋度等于零）03R3311R43)(053)(同理 3311 RR)(430353)(R1-8. 解： )sin()sin(E00 rkrkco)s()(0rkckE000 )cos()sin()sin( EkrErkr 1-9. 证： 用常矢量 点乘式子两边得cdsfcfdsfdvs )(上式左边： vv利用矢量恒等式：)()()( fcfcf vv cfdfcd)()(dsnfss )(fncs)(因为 为任意常矢量，则csvfdf设 为任意常矢量，
7、令 ,代入 Stokes 定理cFsLl上式左边sssdcddc)(sssc上面用到： )()(aba右边LLLdlcldlF则得： sc因为 是任意的，所以sLdld1-10. 证：据矢量场的散度定理VsnFv令 ， 和 为空间区域中两个任意的标量函数则 sv d)(上式左边 vvv )(2所以 sd21-11. 函数 在 M 点的散度从它的定义推出FVds0lim如图，考虑 的两个端面cu2左端面位于 ，右端面位于 2du取曲面外法向为正，两个端面对向外的通量的净贡献是 3122312 duhFduhuF )(3213232132)(duhFu同理其余两对面分别是321321)(32123)(duhFu即 32123312321 )()()( duhFuhds 上式除以 321dugvV并取极限 0,021du则矢量 的散度是F)(KJIhFgijk)1()1()()( 3221 ufhufuf iifh31其中 Ff)(12 iikjiiufhgff )1(2iiiif
