1、1导数测试题（教师讲解版）高考数学总复习选修 2-2一、选择题1.(2009 年广东卷文)函数 xexf)3()的单调递增区间是 A. 2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2( 21 世纪教育网 【答案】D【解析】 ()3()()xxxfxeee,令 ()0f,解得 2x,故选 D2.（2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线 ylna相切，则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点 0(,)Pxy，则 00l1,()xx,又 0 1|xya01,2aa.故答案选 B 3. (2009 山东卷理)函数xey的图像大致为( ).【解析】:
2、函数有意义,需使 0xe,其定义域为 0|x,排除 C,D,又因为221xxxey,所以当 x时函数为减函数,故选 A. 答案:A.4.（2009 安徽卷理）设 ab,函数 2()yab的图像可能是 1x y 1O A xyO11B xyO1 1 C x y 1 1 D O2解析： /()32)yxab，由 /0y得 2,3abx，当 xa时， y取极大值 0，当 时 取极小值且极小值为负。故选 C。或当 xb时 y，当 x时， y选 C5.（2009 安徽卷理）已知函数 ()f在 R 上满足 2()8fxfx，则曲线()yfx在点 1,()f处的切线方程是 （A） 2 （B） yx （C）
3、32yx （D） 23yx 解析：由 2()8fxf得 ()()8()ff，即 24f x， 2)x /x，切线方程为12()yx，即 10y选 A6.（2009 江西卷文）若存在过点 (,)的直线与曲线 3yx和 21594ax都相切，则 a等于 A 1或 25-64 B 1或 24 C 74或 -6 D 7或答案：A【解析】设过 (,0)的直线与 3yx相切于点 30(,)x，所以切线方程为320yxx即 30，又 (1,)在切线上，则 0x或 02，当 0x时，由 y与 2594ax相切可得 564a，当 2时，由 7与 21yx相切可得 1，所以选 A.7.（2009 江西卷理）设函数
4、 ()fxg，曲线 ()yg在点 ,()处的切线方程3为 21yx，则曲线 ()yfx在点 1,()f处切线的斜率为A 4 B 4 C 2 D 2答案：A【解析】由已知 (1)g，而 ()fxgx，所以 (1)214fg故选 A8.（2009 全国卷理）曲线 21y在点 ,处的切线方程为 A. 20xy B. 0x C. 450xy D. 50xy解： 1112|()()xxx ,故切线方程为 y,即 0y 故选 B.9.（2009 陕西卷文）设曲线 1*()nxN在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx,则 12n 的值为(A) (B) 1 (C) 1n (D) 1答案:B解析
5、: 对 1*()()nyxNyx求 导 得 ,令 得在点（1，1）处的切线的斜率k,在点（1，1）处的切线方程为 (1)()nnk,不妨设 0y,1nnx则 2231.41x n , 故选 B.二、填空题10.(2009 陕西卷理)设曲线 1*()nyxN在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx,令 lgnax，则 129a 的值为 . 答案：-2 1*1129129()()| 1()198.lg.l.lg2310nn xnyyx ynxxa A解 析 ： 点 （ ， ） 在 函 数 的 图 像 上 ， （ ， ） 为 切 点 ，的 导 函 数 为 切 线 是 ：令 =0得 切
6、点 的 横 坐 标 ：411.（2009 辽宁卷文）若函数2()1xaf在 处取极值，则 a 【解析】f(x)2(1)xf(1) 34a0 a3【答案】312.若曲线 2fxInx存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是 .解析 解析：由题意该函数的定义域 0，由 12fx。因为存在垂直于 y轴的切线，故此时斜率为 0，问题转化为 x范围内导函数 fx 存在零点。解（分离变量法）上述也可等价于方程 12a在 0,内有解，显然可得21,ax13.（2009 江苏卷）函数 32()56fxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 2()301()f ，由 1)x得单调减
7、区间为 ,。亦可填写闭区间或半开半闭区间。14.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系 xoy中，点 P 在曲线 3:10Cyx上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 23102yxx，又点 P 在第二象限内， 点 P 的坐标为（-2，15）15.（2009 宁夏海南卷文）曲线 1xye在点（0,1）处的切线方程为 。【答案】 31yx【解析】 2e，斜率 k 20e3，所以，y13x，即 31yx三、解答题1.（2009 北京文）（本小题共 14 分）设函数 3()(0)fxab.（）若曲线 )yf在点
8、 2,fx处与直线 8y相切，求 ,ab的值；（）求函数 (x的单调区间与极值点.【解析】5（） 23fxa,曲线 ()y在点 ()fx处与直线 8y相切， 20404,2.86f ab（） 23fx,当 0a时， 0，函数 ()fx在 ,上单调递增，此时函数 ()fx没有极值点.当 时，由 xa，当 ,xa时， 0f，函数 ()fx单调递增，当 时， x，函数 单调递减，当 ,x时， f，函数 ()fx单调递增，此时 a是 ()x的极大值点， a是 ()f的极小值点.2.（2009 天津卷理）（本小题满分 12 分）已知函数 22()3)(),xfaeR其中 a（1） 当 0时，求曲线 1y
9、ff在 点 处的切线的斜率； （2） 当 3时，求函数 ()x的单调区间与极值。 （I）解： .3)1()2)(2 efexfexfa ， 故，时 ，当 .31,fy处 的 切 线 的 斜 率 为在 点所 以 曲 线 （II） 42)()(2 xeaxx解 ： .23.0)( aaf 知 ，由， 或， 解 得令以下分两种情况讨论。（1） a若 32，则 2.当 x变化时， )(xf， 的变化情况如下表：x， aa， 2，a+ 0 0 +6 极大值 极小值 .)2()2()() 内 是 减 函 数，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 aaxf .3)(efaf， 且处 取 得 极 大 值在函
10、数.)4()2)( 2axf ， 且处 取 得 极 小 值在函 数（2） a若 3，则 a2 ，当 x变化时， )xf， 的变化情况如下表：x， a， ，a2+ 0 0 + 极大值 极小值 内 是 减 函 数 。，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 )()2()()axf .342( 2 aeaff， 且处 取 得 极 大 值在函 数.)()(xf ， 且处 取 得 极 小 值在函 数3.（2009 北京理）（本小题共 13 分）设函数 ()(0)kxfe（）求曲线 yf在点 (,)f处的切线方程；（）求函数 ()x的单调区间；（）若函数 f在区间 (1,)内单调递增，求 k的取值范围.（）
11、 00kxxeff,曲线 ()y在点 ,()处的切线方程为 yx.（）由 1kxfxe，得 1k，若 0k，则当 ,时， 0fx，函数 fx单调递减，当 1,xk时， f，函数 f单调递增，若 0k，则当 ,时， 0fx，函数 fx单调递增，7当 1,xk时， 0fx，函数 fx单调递减，（）由（）知，若 ，则当且仅当 1k，即 1k时，函数 fx1,内单调递增，若 0，则当且仅当 k，即 k时，函数 fx,内单调递增，综上可知，函数 1内单调递增时， k的取值范围是 1,0,.4.设函数 32()()4fxaxa，其中常数 a1()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时，f(x)0 恒成
12、立，求 a 的取值范围。21 世纪教育网 解： （I） )2()1(2)( xxxf 21 世纪教育网 由 a知，当 时， 0(f，故 f在区间 ),(是增函数；当 x时， )x，故 )x在区间 ,a是减函数；当 2时， (f，故 (f在区间 )2(是增函数。综上，当 1a时， )x在区间 ),和 ,是增函数，在区间 )2,(a是减函数。（II）由（I）知，当 0时， )(f在 ax2或 0处取得最小值。af 41)2(3442f)0(由假设知 21 世纪教育网 ,0)(21fa即 .024,0)6(3,1a解得 11时 ， g(x)0在 R上 恒 成 立 ，故 函 数 g(x)在 R上 为
13、增 函 数（2）当 40,k即 当 =时 ，2(1)0()xegxkK=1 时，g（x）在 R 上为增函数（3） ,即 当 1时 ， 方程 2x有两个不相等实根12kk21 世纪教育网 当 (,1)(0,(),1)xgxk是 故 在 （ 上 为 增 函数当 k（ ） 时， ,故 ,1gxk在 （ ） 上为减函数x（ ， +）时， ()x故 ()k在 （ ， +） 上为增函数12.（2009 宁夏海南卷理）（本小题满分 12 分）已知函数 32()xfabe14（I） 如 3ab，求 ()fx的单调区间；（II） 若 ()fx在 ,2单调增加，在 (,2)单调减少，证明6. （21）解：（）当
14、3ab时， 32()3)xfxe，故 2() 6fxe39)ex(e 当 3x或 0()0;xfx时 ，当 .或 时 ，从而 (),)(,330fx在 单 调 增 加 ， 在 （ ， ） ， （ ， ） 单调减少.() 3223 )(6)(6).xxxxabeaeaxb 由条件得： 3()0, ,4,f b即 故 从而3()642.xfex因为 (),f所以3()()xaaxx2.将右边展开，与左边比较系数得， ,2a故2()41.a又 0,()40.即 由此可得 6. 21 世纪教育网 于是 6. 13.（ 2009 广 东 卷 理 ） （本小题满分 14 分）已知二次函数 ()ygx的导函
15、数的图像与直线 2yx平行，且 ()ygx在 1处取得15极小值 1(0)m设 ()gxf（1）若曲线 yfx上的点 P到点 0,2Q的距离的最小值为 2，求 m的值；（2） ()kR如何取值时，函数 ()yfxk存在零点，并求出零点 解：（1）依题可设 1()2maxg ( a)，则 axaxg2)1() ；又 的图像与直线 y平行 2 xxg1)(22， 2gxmf， 设 ,oPy，则 202002 )()(| xyQ 21 世纪教育网 mmx|2220 当且仅当 20时， 2|PQ取得最小值，即 |PQ取得最小值 2当 m时， )( 解得 12 当 时， 22m 解得（2）由 10yfxkx( x)，得 20kxm *当 1k时，方程 *有一解 2x，函数 yfxk有一零点 2x；当 时，方程 有二解 410m，若 0m， k，函数 yfx有两个零点 )1(2kx，即 1)(kmx；若 0， 1k，16函数 yfxk有两个零点 )1(24kmx，即 1)(kmx；当 1k时，方程 *有一解 0, , 函数 yfxk有一零点 kx1 综上，当 时, 函数 yf有一零点 2mx；当 1km( 0)，或 m（ 0）时，函数 yfxk有两个零点 1)(kx；当 1k时，函数 yf有一零点 mx.
