1、 第 三 节 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1基本公式sin( )_，cos( )_，tan( )_.2公式变形(1)tan tan _.(2)函数 f( ) asin bcos (a， b为常数)，可以化为 f(
2、) sin( )a2 b2或 f( ) cos( ) .(其 中 tan ba) a2 b2 (其 中 tan ab)答案1sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan1tan tan2(1)tan( )(1tan tan )1sin75的值为_解析：sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30 22 32 22 .12 6 24答案：6 242已知 cos ， ，则 sin 的值是_.35 (2， ) ( 3)解析：cos ， ，sin ，sin sin cos cos sin 35 (2， ) 45 ( 3) 3 3 45 .12
3、( 35) 32 4 3310答案：4 33103tan20tan40 tan20tan40_.3解析：tan60tan(2040) ，tan20 tan401 tan20tan40tan20tan40tan60(1tan20tan40) tan20tan40，3 3原式 tan20tan40 tan20tan40 .3 3 3 3答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1基本公式sin2 _.cos2 _.tan2 _.2有关公式的逆用、变形等(1)cos2 _，sin 2 _.(2)1sin2 (sin cos )2，1sin2 (sin cos )2，sin cos sin .
4、2 ( 4)答案12sin cos cos 2 sin 2 2cos 2 1 12sin 22.(1) 2tan1 tan2 1 cos22 1 cos224计算： _.tan7.51 tan27.5解析： tan7.51 tan27.512 2tan7.51 tan27.5 tan15 tan(4530)12 12 .12 tan45 tan301 tan45tan30121 331 33 2 32答案：2 325(2016浙江卷)已知 2cos2xsin2 x Asin( x ) b(A0)，则A_， b_.解析：由于 2cos2xsin2 x1cos2 xsin2 x sin(2x )1
5、，所以 A ， b1.24 2答案： 12热点一 三角公式的正用与逆用 【例 1】 (1)化简： (00，22 2 2cos .2 2cos4cos22 2又(1sin cos )(sin2 cos2) (2sin2cos2 2cos22)(sin2 cos2)2cos 2cos cos .2(sin22 cos22) 2故原式 cos . 2cos2cos2cos2(2)sin50(1 tan10)3sin50(1tan60tan10)sin50cos60cos10 sin60sin10cos60cos10sin50 cos 60 10cos60cos10 2sin50cos50cos10
6、1.sin100cos10cos10cos10【总结反思】三角函数式的化简常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一. (1)求 的值；sin7 cos15sin8cos7 sin15sin8(2)求 tan204sin20的值解：(1)原式sin 15 8 cos15sin8cos 15 8 sin15sin8 tan15tan(4530)sin15cos8cos15cos8 2 .tan45 tan301 tan45tan301 331 33 3 13 1 3
7、(2)原式 4sin20sin20cos20 sin20 4sin20cos20cos20 sin20 2sin40cos20sin 30 10 2sin 30 10cos20 32cos10 32sin10cos20 332cos10 12sin10cos20 .3cos 30 10cos20 3热点二 三角函数式求值 考向 1 给值求值【例 2】 已知 ， 均为锐角，且 sin ，tan( ) .35 13(1)求 sin( )的值；(2)求 cos 的值【解】 (1) ， ，从而 0，tan tan1 tan tan12 171 1217 1300，2tan1 tan22131 (13)
8、2 3402 ，2tan(2 ) 1.tan2 tan1 tan2 tan34 171 3417tan 0，17 ，2 0，2 .2 34【总结反思】三角函数求值的 3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.(1)(2016新
9、课标全国卷)若 cos ，则 sin2 ( )(4 ) 35A. B.725 15C D15 725(2)已知 cos ，cos( ) ，且 ， ，1213 17226 ( ， 32) (32， 2 )求 的值解析：(1)因为 cos cos cos sin sin (sin cos ) ，所以(4 ) 4 4 22 35sin cos ，所以 1sin2 ，所以 sin2 ，故选 D.325 1825 725(2)解： ， 2，0 .又 cos ，cos( )32 32 1213，sin ，sin( ) .cos cos( ) 17226 513 7226 17226 ( 1213) ，且
10、0 ，所以 .(7226) ( 513) 22 34答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例 4】 (2016天津卷)已知函数f(x)4tan xsin cos .(2 x) (x 3) 3()求 f(x)的定义域与最小正周期；()讨论 f(x)在区间 上的单调性4， 4【解】 () f(x)的定义域为 x|x k， kZ2f(x)4tan xcosxcos (x3) 34sin xcos 4sin x (x3) 3 (12cosx 32sinx) 32sin xcosx2 sin2x sin2 x (1cos2 x)3 3 3 3sin2 x cos2x2sin .3 (2x3)所
11、以， f(x)的最小正周期 T .22()令 z2 x ，函数 y2sin z的单调递增区间是 ， kZ.3 2 2k ， 2 2k 由 2 k2 x 2 k，2 3 2得 k x k， kZ.12 512设 A ， ， B x| k x k， kZ，易知4 4 12 512A B ， 12 4所以，当 x ， 时， f(x)在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 4 4 12 4 4 12上单调递减.【总结反思】三角恒等变形的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为 y Asin(x ) b的形式再研究性质在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.已知函
12、数 f(x)2cos 2x 12 sinx cosx (0 1)，直线 x 是函数 f(x)的图33象的一条对称轴(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知函数 y g(x)的图象是由 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，然后再向左平移 个单位长度得到的，若 g ， ，求 sin 的值23 (2 3) 65 (0， 2)解：(1) f(x)cos2 x sin2x 2sin ，3 (2 x6)由于直线 x 是函数 f(x)2sin 的图象的一条对称轴，所以 sin3 (2 x 6)1.(23 6)因此 k (kZ)，23 6 2解得 k (kZ)，32 12又 0 1，所
13、以 ，所以 f(x)2sin .12 (x 6)由 2k x 2 k (kZ)，得 2k x2 k (kZ)，2 6 2 23 3所以函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ)2k 23， 2k 3(2)由题意可得g(x)2sin ，12(x 23) 6即 g(x)2cos ，x2由 g 2cos 2cos ，得 cos ，(2 3) 12(2 3) ( 6) 65 ( 6) 35又 ，故 ，(0，2) 6 623所以 sin ，( 6) 45所以 sin sin ( 6) 6sin cos cos sin .( 6) 6 ( 6) 6 45 32 35 12 43 310求值、化简、证明是三角
14、函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角 “五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大
15、家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升策略 1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半【例 1】 已知 为锐角，且 cos ，则 sin _.( 6) 35【解析】 解法 1：cos cos sin ，( 6) 32 12 35又 sin2 cos 2 1，由可得 cos2 2，13(sin 65)代入并整理得 100sin2 60sin 390，解得 sin ，或 sin (舍)43 310 43 310解法 2：因为 为锐角，即 ，(0，2)所以 ，6 (6， 23)则 sin ，( 6) 1 cos2( 6) 45
