1、第 1 页（共 39 页）九年级第一章特殊平行四边形培优一选择题（共 17 小题）1 （2016枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DHAB 于 H，则 DH 等于（ ）A B C5 D42 （2016莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直3 （2016宁夏）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF若 EF= ，BD=2，则菱形 ABCD 的面积为（ ）A2 B C6 D84 （2016鄂州）如图，菱形 ABCD 的边 AB=8，B=60 ，P
2、 是 AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠，A 的对应点 A当 CA的长度最小时，CQ 的长为（ ）A5 B7 C8 D5 （2016咸宁）已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A（5，0） ，OB=4 ，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D（0，1） ，当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为（ ）第 2 页（共 39 页）A （0，0） B （1， ） C （ ， ） D （ ， ）6 （2016遵义）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若增加一个条件，使ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确
3、的是（ ）AAB=AD BACBD CAC=BD DBAC=DAC7 （2015徐州）如图，菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（ ）A3.5 B4 C7 D148 （2015南充）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和BD 长之比为（ ）A1：2 B1：3 C1： D1：9 （2016苏州）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3，4） ，D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（ ）A （3，1） B
4、 （3， ） C （3， ） D （3，2）第 3 页（共 39 页）10 （2016营口）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，若ACB=30，AB=2，则 OC 的长为（ ）A2 B3 C2 D411 （2016宜宾）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、BC的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ）A4.8 B5 C6 D7.212 （2016雅安）如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，AEBD ，垂足为 E，ED=3BE ，点P、Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（ ）A2 B
5、C2 D313 （2016眉山）如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB、CD交于点 E、F，连结 BF 交 AC 于点 M，连结 DE、BO若COB=60 ，FO=FC，则下列结论：FB 垂直平分 OC；EOBCMB；DE=EF；S AOE ：S BCM =2：3其中正确结论的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个14 （2016广安）下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内有一个角是直角的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形两边及一角对应相等的两个三角形全等一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（ ）A1 个
6、B2 个 C3 个 D4 个第 4 页（共 39 页）15 （2016攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分16 （2016毕节市）如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC边上的点 E 处，折痕为 GH若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（ ）A3 B4 C5 D617 （2016徐州）如图是由三个边长分别为 6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线 AB将它分成面积相等的两部分，则 x 的值是（ ）A1 或 9 B3 或 5 C4 或
7、6 D3 或 6二解答题（共 13 小题）18 （2016通辽）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，AEF=90，EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F求证：AE=EF19 （2016来宾）如图，在正方形 ABCD 中，点 E（与点 B、C 不重合）是 BC 边上一点，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90到 EF，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G，连接 CF（1）求证：ABEEGF；（2）若 AB=2，S ABE =2S ECF，求 BE第 5 页（共 39 页）20 （2016乐山）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，F 是
8、边 BC 的中点，连结 CE、DF求证： CE=DF21 （2016扬州）如图， AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB=6，AC=10 ，求四边形 AECF 的面积22 （2016吉林）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且DEAC，AEBD求证：四边形 AODE 是矩形23 （2016台州）如图，点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，且不与点 A，C 重合，过点P 分别作边 AB，
9、AD 的平行线，交两组对边于点 E，F 和 G，H（1）求证：PHCCFP ；（2）证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系24 （2015龙岩）如图， E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AD，AB 上的点，若 EF=EC，且EFEC（1）求证：AE=DC；（2）已知 DC= ，求 BE 的长第 6 页（共 39 页）25 （2016安顺）如图，在 ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积26 （2016淮安）已知：如图，在菱形 ABCD 中，点
10、 E、F 分别为边 CD、AD 的中点，连接 AE，CF ，求证：ADECDF27 （2015大庆）如图， ABC 中，ACB=90，D 、E 分别是 BC、BA 的中点，连接DE，F 在 DE 延长线上，且 AF=AE（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（2）若四边形 ACEF 是菱形，求B 的度数28 （2015遵义）在 RtABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形 ADCF 是菱形；（3）若 AC=4，AB=5 ，求菱形 ADCF 的面积29 （2013泰安）如
11、图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交AC 于 F，连接 DF（1）证明：BAC=DAC ，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；第 7 页（共 39 页）（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使得EFD=BCD，并说明理由30 （2013重庆）如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，AE=CF，连接 EF、BF，EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若 BC=2 ，求 AB 的长第 8 页（共 39 页）参考答案与试题解析一选择题
12、（共 17 小题）1 （2016枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DHAB 于 H，则 DH 等于（ ）A B C5 D4【考点】菱形的性质菁优网版权所有【分析】根据菱形性质求出 AO=4，OB=3，AOB=90，根据勾股定理求出 AB，再根据菱形的面积公式求出即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AO=OC，BO=OD，ACBD，AC=8，DB=6，AO=4 ，OB=3，AOB=90，由勾股定理得：AB= =5，S 菱形 ABCD= ， ，DH= ，故选 A【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出 S 菱形 ABCD=是解此题的关键2 （
13、2016莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有第 9 页（共 39 页）【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案【解答】解：菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直故选 D【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质注意菱形的对角线互相平分且垂直3 （2016宁夏）菱形 ABCD
14、的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF若 EF= ，BD=2，则菱形 ABCD 的面积为（ ）A2 B C6 D8【考点】菱形的性质；三角形中位线定理菁优网版权所有【分析】根据中位线定理可得对角线 AC 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案【解答】解：E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，EF= ，AC=2EF=2 ，又BD=2，菱形 ABCD 的面积 S= ACBD= 2 2=2 ，故选：A【点评】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键4 （2016鄂州）如图，菱形 ABCD 的边 AB=8，B=
15、60 ，P 是 AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠，A 的对应点 A当 CA的长度最小时，CQ 的长为（ ）A5 B7 C8 D【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 菁优网版权所有【专题】计算题第 10 页（共 39 页）【分析】作 CHAB 于 H，如图，根据菱形的性质可判断ABC 为等边三角形，则 CH=AB=4 ，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出 CP=7，再根据折叠的性质得点 A在以P 点为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点 A在 PC 上时，CA的值最小，然后证明 CQ=CP 即可【解答】解：作 CHAB
16、于 H，如图，菱形 ABCD 的边 AB=8，B=60，ABC 为等边三角形，CH= AB=4 ，AH=BH=4，PB=3，HP=1，在 Rt CHP 中，CP= =7，梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠， A 的对应点 A，点 A在以 P 点为圆心，PA 为半径的弧上，当点 A在 PC 上时，CA 的值最小，APQ= CPQ，而 CDAB ，APQ= CQP，CQP=CPQ，CQ=CP=7故选 B【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了折叠的性质解决本题的关键是确定 A在 PC 上时 CA的
17、长度最小5 （2016咸宁）已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A（5，0） ，OB=4 ，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D（0，1） ，当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为（ ）第 11 页（共 39 页）A （0，0） B （1， ） C （ ， ） D （ ， ）【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【分析】如图连接 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BKOA 于 K首先说明点 P 就是所求的点，再求出点 B 坐标，求出直线 OB、DA，列方程组即可解决问题【解答】解：如图连接 AC，AD，分别交 OB 于 G、P
18、，作 BKOA 于 K四边形 OABC 是菱形，ACOB ，GC=AG，OG=BG=2 ，A 、C 关于直线 OB 对称，PC+PD=PA+PD=DA，此时 PC+PD 最短，在 RTAOG 中，AG= = = ，AC=2 ，OABK= ACOB，BK=4，AK= =3，点 B 坐标（8，4） ，直线 OB 解析式为 y= x，直线 AD 解析式为 y= x+1，由 解得 ，点 P 坐标（ ， ） 故选 D【点评】本题考查菱形的性质、轴对称最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点 P 位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型6 （2016遵义）如图，在 ABC
19、D 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若增加一个条件，使ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）AAB=AD BACBD CAC=BD DBAC=DAC第 12 页（共 39 页）【考点】菱形的判定；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当 AB=AD 时ABCD 是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，ABCD 是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、BAC=DAC 时，ABCD 中，ADBC，ACB=DAC，BAC=ACB，AB=AC，ABCD 是菱形BA
20、C=DAC故命题正确故选 C【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键7 （2015徐州）如图，菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（ ）A3.5 B4 C7 D14【考点】菱形的性质菁优网版权所有【分析】根据菱形的四条边都相等求出 AB，再根据菱形的对角线互相平分可得 OB=OD，然后判断出 OE 是ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可【解答】解：菱形 ABCD 的周长为 28，AB=284=7，OB=OD，E 为 AD 边中点，OE 是ABD 的中位线，O
21、E= AB= 7=3.5故选 A【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键8 （2015南充）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和BD 长之比为（ ）第 13 页（共 39 页）A1：2 B1：3 C1： D1：【考点】菱形的性质菁优网版权所有【分析】首先设设 AC，BD 相较于点 O，由菱形 ABCD 的周长为 8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高 AE 长为 cm，利用勾股定理即可求得 BE 的长，继而可得 AE 是BC 的垂直平分线，则可求得 AC 的长，继而求得 BD 的长，
22、则可求得答案【解答】解：如图，设 AC，BD 相较于点 O，菱形 ABCD 的周长为 8cm，AB=BC=2cm，高 AE 长为 cm，BE= =1（cm） ，CE=BE=1cm ，AC=AB=2cm，OA=1cm，ACBD，OB= = （cm） ，BD=2OB=2 cm，AC：BD=1 ： 故选 D【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直9 （2016苏州）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3，4） ，D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（ ）A （3，1） B （3
23、， ） C （3， ） D （3，2）【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【分析】如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时CDE 的周长最小，先求出直线 CH 解析式，再求出直线 CH 与 AB 的交点即可解决问题【解答】解：如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时CDE 的周长最小第 14 页（共 39 页）D（ ，0） ，A（3，0） ，H（ ，0） ，直线 CH 解析式为 y= x+4，x=3 时，y= ，点 E 坐标（3， ）故选：B【点评】本题考查矩形的性质、
24、坐标与图形的性质、轴对称最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点 E 位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型10 （2016营口）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，若ACB=30，AB=2，则 OC 的长为（ ）A2 B3 C2 D4【考点】矩形的性质菁优网版权所有【分析】根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答【解答】解：在矩形 ABCD 中，ABC=90，ACB=30，AB=2 ，AC=2AB=22=4，四边形 ABCD 是矩形，OC=OA= AC=2故选 A【点评】本题考查了矩形的性质，直角
25、三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键第 15 页（共 39 页）11 （2016宜宾）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、BC的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ）A4.8 B5 C6 D7.2【考点】矩形的性质菁优网版权所有【分析】首先连接 OP，由矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 3 和 4，可求得OA=OD=5， AOD 的面积，然后由 SAOD =SAOP +SDOP = OAPE+ODPF 求得答案【解答】解：连接 OP，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为
26、 6 和 8，S 矩形 ABCD=ABBC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，OA=OD=5，S ACD = S 矩形 ABCD=24，S AOD = S ACD=12，S AOD =SAOP +SDOP = OAPE+ ODPF= 5PE+ 5PF= （PE +PF）=12，解得：PE+PF=4.8故选：A【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键12 （2016雅安）如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，AEBD ，垂足为 E，ED=3BE ，点P、Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值
27、为（ ）A2 B C2 D3【考点】矩形的性质；轴对称-最短路线问题菁优网版权所有第 16 页（共 39 页）【分析】在 RtABE 中，利用三角形相似可求得 AE、DE 的长，设 A 点关于 BD 的对称点 A，连接 AD，可证明ADA为等边三角形，当 PQAD 时，则 PQ 最小，所以当AQAD 时 AP+PQ 最小，从而可求得 AP+PQ 的最小值等于 DE 的长，可得出答案【解答】解：设 BE=x，则 DE=3x，四边形 ABCD 为矩形，且 AEBD，ABEDAE，AE 2=BEDE，即 AE2=3x2，AE= x，在 Rt ADE 中，由勾股定理可得 AD2=AE2+DE2，即 6
28、2=（ x） 2+（3x） 2，解得x= ，AE=3，DE=3 ，如图，设 A 点关于 BD 的对称点为 A，连接 AD，PA，则 AA=2AE=6=AD，AD=AD=6，AAD 是等边三角形，PA=PA，当 A、P、Q 三点在一条线上时，AP+PQ 最小，又垂线段最短可知当 PQAD 时，A P+PQ 最小，AP+PQ=AP+PQ=AQ=DE=3 ，故选 D【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出 A 的对称点，从而确定出 AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明ADA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算13 （2016眉山）如图，矩形 ABC
29、D 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB、CD交于点 E、F，连结 BF 交 AC 于点 M，连结 DE、BO若COB=60 ，FO=FC，则下列结论：FB 垂直平分 OC；EOBCMB；DE=EF；S AOE ：S BCM =2：3其中正确结论的个数是（ ）第 17 页（共 39 页）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；在EOB 和CMB 中，对应直角边不相等；可证明CDE= DFE ；可通过面积转化进行解答【解答】解：矩形 ABCD 中，O 为
30、AC 中点，OB=OC，COB=60，OBC 是等边三角形，OB=BC，FO=FC，FB 垂直平分 OC，故正确；BOC 为等边三角形，FO=FC，BOEF ，BFOC，CMB=EOB=90 ，但 BOBM，故错误；易知ADECBF，1= 2=3=30，ADE=CBF=30 ，BEO=60 ，CDE=60， DFE= BEO=60，CDE=DFE，DE=EF，故正确；易知AOECOF ，S AOE =SCOF ，S COF =2S CMF，S AOE ：S BCM =2SCMF ：S BCM = ，FCO=30，FM= ，BM= CM， = ，第 18 页（共 39 页）S AOE ：S BC
31、M =2：3，故正确；所以其中正确结论的个数为 3 个；故选 B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型14 （2016广安）下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内有一个角是直角的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形两边及一角对应相等的两个三角形全等一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定
32、与性质；菱形的判定菁优网版权所有【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题【解答】解：错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形正确的只有，故选 A【点评】本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型15 （201
33、6攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形第 19 页（共 39 页）D矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质菁优网版权所有【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选 B【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键16 （2
34、016毕节市）如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC边上的点 E 处，折痕为 GH若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（ ）A3 B4 C5 D6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 菁优网版权所有【分析】根据折叠可得 DH=EH，在直角CEH 中，设 CH=x，则 DH=EH=9x，根据BE：EC=2：1 可得 CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出 CH 的长【解答】解：设 CH=x，则 DH=EH=9x，BE：EC=2：1，BC=9，CE= BC=3，在 RtECH 中，EH 2=EC2+CH2，即（9x ） 2=32+x2，解得：
35、x=4，即 CH=4故选（B） 第 20 页（共 39 页）【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键17 （2016徐州）如图是由三个边长分别为 6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线 AB将它分成面积相等的两部分，则 x 的值是（ ）A1 或 9 B3 或 5 C4 或 6 D3 或 6【考点】正方形的性质菁优网版权所有【分析】根据题意列方程，即可得到结论【解答】解：如图，若直线 AB 将它分成面积相等的两部分， （6+9+ x）9 x（9 x）= （6 2+92+x2） ，解得 x=3，或 x=6
36、，故选 D【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键二解答题（共 13 小题）18 （2016通辽）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，AEF=90，EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F求证：AE=EF【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】先取 AB 的中点 H，连接 EH，根据AEF=90和 ABCD 是正方形，得出1=2，再根据 E 是 BC 的中点，H 是 AB 的中点，得出 BH=BE，AH=CE，最后根据CF 是 DCG 的角平分线，得出AHE=ECF=135 ，从而证出AHEEC
37、F，即可得出 AE=EF【解答】证明：取 AB 的中点 H，连接 EH；AEF=90 ，2+AEB=90 ，四边形 ABCD 是正方形，1+AEB=90 ，第 21 页（共 39 页）1=2，E 是 BC 的中点， H 是 AB 的中点，BH=BE，AH=CE，BHE=45，CF 是 DCG 的角平分线，FCG=45，AHE=ECF=135，在AHE 和 ECF 中，AHE ECF（ASA ） ，AE=EF【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是取 AB 的中点 H，得出 AH=EC，再根据全等三角形的判定得出AHE ECF 19 （2016来宾）如图，在正方形 A
38、BCD 中，点 E（与点 B、C 不重合）是 BC 边上一点，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90到 EF，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G，连接 CF（1）求证：ABEEGF；（2）若 AB=2，S ABE =2S ECF，求 BE【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有【分析】 （1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且 AE=EF，利用AAS 得到三角形 ABE 与三角形 EFG 全等；（2）利用全等三角形的性质得出 AB=EG=2，S ABE =S EGF，求出 SEGF=2SECF ，根据三角形面积得出 EC=C
39、G=1，根据正方形的性质得出 BC=AB=2，即可求出答案【解答】 （1）证明：EPAE，AEB+GEF=90 ，又AEB+BAE=90 ，GEF=BAE ，又FGBC，ABE=EGF=90，第 22 页（共 39 页）在ABE 与EGF 中，ABEEGF（AAS ） ；（2）解：ABEEGF，AB=2，AB=EG=2， SABE =SEGF ，S ABE =2SECF ，S EGF=2SECF ，EC=CG=1，四边形 ABCD 是正方形，BC=AB=2，BE=21=1 【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握判定与性质是解本题
40、的关键20 （2016乐山）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，F 是边 BC 的中点，连结 CE、DF求证： CE=DF【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】欲证明 CE=DF，只要证明CEBDFC 即可【解答】证明：ABCD 是正方形，AB=BC=CD，EBC=FCD=90，又E、F 分别是 AB、BC 的中点，BE=CF，在CEB 和 DFC 中，第 23 页（共 39 页）CEB DFC，CE=DF【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考
41、常考题型21 （2016扬州）如图， AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB=6，AC=10 ，求四边形 AECF 的面积【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 菁优网版权所有【分析】 （1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得 AB=CD，ADBC，ANF=90，CME=90 ，易得 AN=CM，可得ANF CME（ASA） ，由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由 AB=6，AC=10
42、，可得 BC=8，设 CE=x，则 EM=8x，CM=10 6=4，在 RtCEM 中，利用勾股定理可解得 x，由平行四边形的面积公式可得结果【解答】 （1）证明：折叠，AM=AB，CN=CD ，FNC= D=90，AME= B=90 ，ANF=90 ，CME=90，四边形 ABCD 为矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CN MN，即 AN=CM，在ANF 和 CME 中，ANF CME（ASA） ，AF=CE，第 24 页（共 39 页）又AFCE，四边形 AECF 是平行四边形；（2）解：AB=6 ，AC=10 ， BC=8，设 CE=x，则 EM=8x，CM=106=4，
43、在 Rt CEM 中，（8x） 2+42=x2，解得：x=5，四边形 AECF 的面积的面积为：EC AB=56=30【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键22 （2016吉林）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且DEAC，AEBD求证：四边形 AODE 是矩形【考点】矩形的判定；菱形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据菱形的性质得出 ACBD，再根据平行四边形的判定定理得四边形 AODE 为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形 AODE 是矩形【解答】证明：四边形 ABCD 为菱形，A
44、CBD ，AOD=90 ，DEAC，AEBD，四边形 AODE 为平行四边形，四边形 AODE 是矩形【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键23 （2016台州）如图，点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，且不与点 A，C 重合，过点P 分别作边 AB，AD 的平行线，交两组对边于点 E，F 和 G，H（1）求证：PHCCFP ；（2）证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系第 25 页（共 39 页）【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】 （1）
45、由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理 AAS 即可得出PHCCFP；（2）由矩形的性质找出D=B=90，再结合对边互相平行即可证出四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等【解答】证明：（1）四边形 ABCD 为矩形，ABCD ，ADBCPFAB，PFCD，CPF=PCHPHAD，PHBC，PCF=CPH在PHC 和 CFP 中，PHC CFP（ASA） （2）四边形 ABCD 为矩形，D= B=90又EFAB CD，GHADBC，四边形 PEDH 和四
46、边形 PFBG 都是矩形EFAB ，CPF=CAB在 Rt AGP 中， AGP=90，PG=AGtanCAB在 Rt CFP 中， CFP=90 ，CF=PFtanCPFS 矩形 DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtanCPF；S 矩形 PGBF=PGPF=AGPFtanCAB=EP PFtanCABtanCPF=tan CAB ，S 矩形 DEPH=S 矩形 PGBF【点评】本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）通过平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理来证明四边形为矩形本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据结合矩形的性质及全等三角形的判定定理来解决问题是关键第 26 页（共 39 页）24 （2015龙岩）如图， E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AD，AB 上的点，若 EF=EC，且EFEC（1）求证：AE=DC；（2
