1、第 三 章 变 量 与 函 数 二 次 函 数 考 点 一 二 次 函 数 的 概 念 形 如 （ ， ， 为 常 数 ） 的 函 数 ， 当 时 ， 是 二 次 函 数 ； 当 ， 时 ， 是 一 次 函 数 抛 物 线 （ ） 可 由 的 图 象 平 移 得 到 考 点 二 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 表 一 函 数 （ ） 图 象 开 口 方 向 开 口 向 上 开 口 向 下 对 称 轴 直 线 顶 点 坐 标 ， ( )最 值 当 时 ， 有 最 小 值 当 时 ， 有 最 大 值 增 减 性 在 对 称 轴 左 侧 随 的 增 大 而 减 小 随 的 增 大 而 增 大
2、 在 对 称 轴 右 侧 随 的 增 大 而 增 大 随 的 增 大 而 减 小 表 二 函 数 （ ） 决 定 抛 物 线 开 口 方 向 及 大 小 ， 抛 物 线 开 口 向 上 ； ， 抛 物 线 开 口 向 下 、 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的 位 置 ( 对 称 轴 方 程 为 ) ， 对 称 轴 为 轴 ； ， 对 称 轴 在 轴 左 侧 ； ， 对 称 轴 在 轴 右 侧 决 定 抛 物 线 与 轴 交 点 的 位 置 ， 抛 物 线 过 原 点 ； ， 抛 物 线 与 轴 交 于 正 半 轴 ； ， 抛 物 线 与 轴 交 于 负 半 轴 决 定 抛 物 线 与 轴 的
3、 交 点 个 数 时 ， 与 轴 有 唯 一 交 点 （ 顶 点 ） ； 时 ， 与 轴 有 两 个 不 同 交 点 ； 时 ， 与 轴 没 有 交 点 特 殊 关 系 当 时 ， 当 时 ， ， 即 时 ， ， 即 时 ， 二 次 函 数 （ ） 中 ， 若 ， 则 的 取 值 就 是 一 元 二 次 方 程 （ ） 的 解 ， 即 （ ） 的 图 象 与 轴 交 点 的 横 坐 标 就 是 一 元 二 次 方 程 （ ） 的 实 数 根 （ ） 当 时 ， 抛 物 线 与 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 （ ） 当 时 ， 抛 物 线
4、 与 轴 有 一 个 交 点 ， 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 （ ） 当 时 ， 抛 物 线 与 轴 无 交 点 ， 方 程 没 有 实 数 根 方 法 一 二 次 函 数 解 析 式 的 求 法 （ ） 若 已 知 抛 物 线 上 三 点 的 坐 标 ， 则 可 采 用 一 般 式 （ ） ， 利 用 待 定 系 数 法 求 得 ， ， 的 值 ； （ ） 若 已 知 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 或 对 称 轴 方 程 ， 则 可 采 用 顶 点 式 ： （ ） （ ） ， 其 中 顶 点 坐 标 为 （ ， ） ， 对 称 轴 为 直 线 ； （ ） 若 已 知 抛 物
5、 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 ， 则 可 采 用 交 点 式 ： （ ） （ ） （ ） ， 其 中 与 轴 的 交 点 坐 标 为 （ ， ） ， （ ， ） 例 （ 广 西 百 色 ， ， 分 ） 经 过 （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 三 点 的 抛 物 线 解 析 式 是 答 案 解 析 设 抛 物 线 解 析 式 为 （ ） （ ） ， 把 （ ， ） 代 入 上 式 得 ， 即 ， 抛 物 线 解 析 式 为 （ ） （ ） ， 即 思 路 分 析 本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 ， 根 据 所 给 点 的 坐 标 特
6、 征 ， 设 解 析 式 为 （ ） （ ） ， 计 算 较 为 简 便 年 中 考 年 模 拟 变 式 训 练 （ 山 东 烟 台 ， （ ） ， 分 ） 如 图 ， 抛 物 线 与 轴 交 于 ， 两 点 ， 与 轴 交 于 点 ， ， 矩 形 的 边 ， 延 长 交 抛 物 线 于 点 求 抛 物 线 的 解 析 式 解 析 矩 形 的 边 ， ， ， ， （ ， ） ， （ ， ） ， 把 、 两 点 坐 标 代 入 抛 物 线 解 析 式 可 得 ， ， 解 得 ， ， 抛 物 线 解 析 式 为 方 法 二 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 时 ， 抛 物 线 的 开 口 向
7、 上 ， 此 时 有 最 低 点 ， 对 应 的 函 数 值 有 最 小 值 ； 时 ， 抛 物 线 的 开 口 向 下 ， 此 时 有 最 高 点 ， 对 应 的 函 数 值 有 最 大 值 一 般 其 最 值 的 大 小 可 以 通 过 以 下 方 法 求 出 ： （ ） 将 一 般 式 配 方 成 顶 点 式 （ ） ， 则 就 是 其 最 值 ； （ ） 求 出 抛 物 线 的 对 称 轴 ， 代 入 中 ， 求 出 最 值 ； （ ） 直 接 代 入 求 出 二 次 函 数 的 最 值 若 给 出 函 数 的 自 变 量 的 取 值 范 围 ， 或 函 数 的 对 称 轴 不 定 时
8、 ， 则 需 要 根 据 二 次 函 数 的 性 质 确 定 最 值 的 大 小 例 （ 四 川 乐 山 ， ， 分 ） 已 知 二 次 函 数 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 函 数 值 的 最 小 值 为 ， 则 的 值 是 （ ） 或 或 解 析 （ ） ， 若 ， 当 时 ， ， 解 得 ； 若 ， 当 时 ， ， 解 得 （ 舍 ） ； 若 ， 当 时 ， ， 解 得 或 （ 舍 ） ， 的 值 为 或 ， 故 选 解 题 关 键 本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 的 最 值 ， 将 二 次 函 数 配 方 成 顶 点 式 ， 结 合 二 次 函 数 的 性 质 ， 分 类
9、 讨 论 是 解 题 的 关 键 答 案 变 式 训 练 （ 安 徽 ， ， 分 ） 小 明 大 学 毕 业 回 家 乡 创 业 ， 第 一 期 培 植 盆 景 与 花 卉 各 盆 售 后 统 计 ， 盆 景 的 平 均 每 盆 利 润 是 元 ， 花 卉 的 平 均 每 盆 利 润 是 元 调 研 发 现 ： 盆 景 每 增 加 盆 ， 盆 景 的 平 均 每 盆 利 润 减 少 元 ； 每 减 少 盆 ， 盆 景 的 平 均 每 盆 利 润 增 加 元 ； 花 卉 的 平 均 每 盆 利 润 始 终 不 变 小 明 计 划 第 二 期 培 植 盆 景 与 花 卉 共 盆 ， 设 培 植 的
10、 盆 景 比 第 一 期 增 加 盆 ， 第 二 期 盆 景 与 花 卉 售 完 后 的 利 润 分 别 为 ， （ 单 位 ： 元 ） （ ） 用 含 的 代 数 式 分 别 表 示 ， ； （ ） 当 取 何 值 时 ， 第 二 期 培 植 的 盆 景 与 花 卉 售 完 后 获 得 的 总 利 润 最 大 ？ 最 大 总 利 润 是 多 少 ？ 解 析 （ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ 分 ） （ ） ( ) 取 整 数 ， 当 时 ， 总 利 润 最 大 ， 最 大 总 利 润 是 元 （ 分 ） 思 路 分 析 （ ） 根 据 题 意 分 别 列 出 ， 关 于 的 函 数 表 达 式 ； （ ） 将 二 次 函 数 的 解 析 式 配 方 ， 根 据 取 整 数 及 二 次 函 数 的 性 质 求 出 的 最 大 值
