1、1专题 07 三角函数图像与应用【母题原题 1】 【2018 江苏，理 7】已知函数 sin(2)2yx的图象关于直线 3x对称，则的值是 点睛：函数 sin()yAxB（ A0, 0）的性质：(1) maxmin,yABy；(2)最小正周期2T；(3)由()2kZ求对称轴；(4)由()22kxk求增区间; 由322()kxkZ求减区间.【母题原题 2】 【2017 江苏，理 5】若 1tan(),46则 tan .【答案】 75【解析】1tan()ta764tant()451n故答案为 【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角
2、的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【母题原题 3】 【2016 江苏，理 9】定义在区间0， 3上的函数 sin2yx的图象与 cosyx的图象的2交点个数是 .【答案】7【解析】由1sin2cos0sin2xx或，因 为 0,3x，所以35137,6x故两函数图象的交点个数是 7.【考点】三角函数图象【名师点睛】求函数图象的交点个
3、数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.【母题原题 4】 【2016 江苏，理 14】在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 .【答案】8【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 ABC中恒有 tanttanttanABCABC，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多
4、总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边 【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性 质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等） ，体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性 质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围） 【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数 yAsin(x)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简
5、单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极 值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零3点问题；(3) 考查图象的识别【方法总结】1.根据函数的图象确定函数 ()sin()(0,)fxAxBA中的参数主要方法：（1） A， B主要是根 据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即 2最 大 值 最 小 值，2B最 大 值 最 小 值；（2） 的值主要由周期 T的值确定，而 T的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3） 值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定2.在进行三角函数图象变换时
6、，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少 “先平移，后伸缩”主要体现为由函数 sinyx平移得到函数sinyx的图象时，平移 个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数 sinyx平移得到函数 six的图象时，平移 个长度单位3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与 x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两
7、个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解4. 求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解（2）三角函数的最小正周期的求法有：由定义出发去探求；公式法：化成 sin()yAx，或tan()yAx等类型后，用基本结论 2|T或 |来确定；根据图象 来判断5. 求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解（2）已知三角函数的单调区间求参数
8、的取值范围的三种方法：子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解6. 求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复4合函数在复合过程中，对每个函数而言， “同奇才奇、一偶则偶” 一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：若函数 sinfxAx为奇函数，则 kZ；若函数sinfxAx为偶函数，则 2kZ；若函数 cosfxAx为奇函数，则 2kZ；
9、若函数 cosfxx为偶函数，则 k7. 求解三角函数对称性的方法：（1）求函数 sin()yA的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：由 sinyx的对称中心是 (0)k， ， ，所以 sin()yx的中心，由方程 xk解出 x即可；因为sinyx的对称轴是 2xk， Z，所以可由 2解出 ，即为函数()A的对称轴；注意 tayx的对称中心为 1(,0)kZ；（2） 对于函数 sin()y，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判 断直线 0x或点 0,是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 0fx的值进行判断8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题
10、目类型及求解策略：（1）形如 sincoyaxbk的三角函数化为 sin()yAxk的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如 2ii的三角函数，可先设 it，化为关于 t的二次函数求值域(最值)；（3）形如 sncoscoyaxbx的三角函数，可先设 sincox，化为关于 t的二次函数求值域(最值).1 【江苏省南通市 2018 届高三最后一卷 - 备用题数学试题】函数在 上的部分图象如图所示，则 的值为_5【答案】 .点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解
11、题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时 ；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时；“第四点”(即图象 的“谷点”) 时 ；“第五点”时 .2 【江苏省扬州树人学校 2018 届高三模拟考试（四）数学试题】若将函数（ ）的图象向左平移 个单位所得到的图象关于原点对称，则 _【答案】 .【解析】分析： 先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得 详解：将函数 的图象向左平移 个
12、单位所得到的图象对应的解析式为6点睛：关于三角函数的奇偶性有以下结论： 函数 y Asinx 是奇函数， y Acosx 是偶函数若函数 y Asin(x )是奇函数，则有 k (kZ)；若该函数为偶函数，则有 k (kZ) 若函数 y Acos(x )是奇函数，则有 k (kZ)；若该函数为偶函数，则有 k (kZ)3 【江苏省苏锡常镇四市 2017-2018 学年度高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数在 时取得最大值，则 _【答案】 .【解析】分析：解方程 即得解. 详解：由题得 故答案为：点睛：本题主要考查三角函数的最值，意在考查三角函数图像性质等基础知识的掌握能力.4 【江苏省 2
13、018 年高考冲刺预测卷一数学】已知函数 的部分图象如图所示，若 ， ，则 _7【答案】【解析】由函数图象可知函数 的周期 ，又则，则则5 【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学 2018 届高三 4 月联考数学试题】已知函数 cosfxAx的图象如图所示， 23f，则 0f_.【答案】 236 【江苏省淮安市等四市 2018 届高三上学期第一次模拟数学试题】若函数的 图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 ， ， ，则实数的值为_【答案】8【解析】由三角函数的图象可知，直线 与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则 ，所以 。7 【江苏省常州 2018 届高三上学期期
14、末数学（理） 】如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数sinyx(0,)的图像与 x轴的交点 A， B， C满足 2AB，则_.【答案】 34【解析】不妨设 0x， x， 2x，得 2,BACxx，由2OACB，得 2，解得 34.8 【2016 届江苏省苏北三市高三最后一次模拟考试数学试卷（带解析） 】已知函数sin0,fx和函数 1tan3gx的图像相交于 ,ABC三点，则 AB的面积为_【答案】 23【解析】联立方程 sinfx与 1tan3gx可得 tsinx，解之得120,cosi3x，所以 0,iABC，因 ,sinABCx到 轴的距离为 2in，所以 BC的面积为 123S，应填答案 23。 9 【2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷） 】已知函数 ，若存在满足 ，且 （， ） ，则 的最小值为_【答案】9考点：三角函数性质10 【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 2sin3yx（ 0）的图象，向左平移 3个单位，得到 ygx函数的图象，若 gx在 0,4上为增函数，则 的最大值为_【答案】 2考点：三角函数图像及性质
