1、- 1 -专题五：求解变力做功的方法1等值法若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算该恒力做的功，求出该变力做的功恒力做功又可以用 W Fscos 计算例 1 如图，定滑轮至滑块的高度为 h，已知细绳的拉力为 F(恒定)，滑块沿水平面由 A 点前进 s 至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为 和 .求滑块由 A 点运动到 B点的过程中，绳的拉力对滑块所做的功(不考虑绳、滑轮的摩擦和滑轮的质量 )解析 设绳对滑块的拉力为 T，显然 T 与 F 大小相等，细绳的拉力在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题拉力 F 的大小和方向都不
2、变，可以用公式 W Fscos 直接计算由图可知，在绳与水平面的夹角由 变到 的过程中，拉力 F 的位移大小为s s1 s2 hsin hsin故 WF Fs Fh .(1sin 1sin )答案 Fh(1sin 1sin )2功率法若功率恒定，可根据 W Pt 求变力做的功例 2 一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间 t，其速度由 0 增大到 v.已知列车总质量为 M，机车功率 P 保持不变，列车所受阻力 f 为恒力求这段时间内列车通过的路程解析 错解：以列车为研究对象，水平方向受牵引力 F 和阻力 f.根据 P Fv 可知牵引力 F P/v，设列车通过的路程为 s，根据动能定理有(
3、F f)s Mv2，12联立解得 s .Mv32 P fv正解：以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力设列车通过的路程为 s，根据动能定理有 WF Wf Mv20.因为列车功率一定，由 P ，可知牵引力做的功 WF Pt，联立解得12 Wts .Pt 12Mv2f- 2 -答案 Pt 12Mv2f3动能定理法由做功的结果动能的变化来求变力做的功，即 W E k.例 3 一环状物体套在光滑水平直杆上，能沿杆自由滑动，绳子一端系在物体上，另一端绕过定滑轮，用大小恒定的力 F 拉着，使物体沿杆自左向右滑动，如图所示，物体在杆上通过a， b， c 三点时的动能分别为 Ea， Eb， Ec，且 a
4、b bc，滑轮质量和摩擦均不计，则下列关系中正确的是( )A Eb Ea Ec Eb B Eb EaEc Eb D EaWbc，根据动能定理判断C 正确A，B 错误；又由 a经 b 到 c，拉力一直做正功，故物体的动能一直在增加，选项 D 正确答案 CD4功能关系法某种力做功与某种能对应，如重力、电场力做功分别与重力势能、电势能相对应，可根据相应能的变化求对应的力做的功例 4 面积很大的水池，水深为 H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为 a，密度为水密度的 ，质量为 m，开始时，木块静止，如图所示，现用力 F 将木块缓慢地压到水池底，不计摩擦，12求：从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力
5、 F 所做的功- 3 -解析 解法一：因水池面积很大，可忽略因木块压入而引起的水深的变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来画线区域的水被推开，相当于这部分水平铺于水面，这部分水的质量为 m，其势能的改变量为：E 水 mgH mg mga(H34a) 34木块势能的改变量为：E m mg mgH mga(Ha2) 12根据动能定理，力 F 做的功为：W E 水 E m mga.14解法二：从开始到木块完全没入水中的过程，力 F 所做的功为变 力功也可画出 F s 图象，做功在数值上等于 F s 图线 与位移s 轴所围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力 F 与位移 s 成正比，从开始到完全没入
6、水中，力 F 的位移为 a， 作12出 F s 图象如图，据图象可求得做功 W amg mga.12 12 14答案 mga145平均力法如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，利用功的定义式 W Fscos 来求功6图象法如果参与做功的力是变力，方向与位移方向始终一致而大小随时间变化，我们可作出该力随位移变化的图象如图所示，那么曲线与坐标轴所围的面积，即为变力做的功- 4 -例 5 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内 1 cm.问击第二次时，能击入多少深度？(设铁锤每次做功相
7、等)解析 解法一：平均力法铁锤每次做的功都用来克服铁钉阻力，但摩擦阻力不 是恒力，其大小与铁钉的击入深度成正比，即 f kx，而摩擦 阻力可用平均阻力来代替如图甲所示，第一次击入深度为 x1，平均阻力F kx1，做功为 W1 1x1 kx .12 F 12 21第二次击入深度为 x1到 x2，平均阻力2 k(x2 x1)，F 12位移为 x2 x1，做功为 W2 2(x2 x1) k(x x )F 12 2 21两次做功相等 W1 W2，解得 x2 x11.41 cm，故 x x2 x10.41 cm.2解法二：图象法因为阻力 F kx，以 F 为纵坐标， F 方向上的位移 x 为横坐标，作出
8、 F x 图象，如图乙所示曲线与横坐标轴所围面积的值等于阻力 F 对铁钉做的功由于两次做功相等，故有：S1 S2(面积)，即 kx k(x2 x1)(x2 x1)，12 21 12故 x x2 x10.41 cm.答案 0.41 cm7极限法(极端法)极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论的思维方法极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特的作用，恰当地应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简例 6 如图所示，用竖直向下的恒力 F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动静止在光滑水平面上- 5 -的物体，物体沿水平面移动过程
9、中经过 A、 B、 C 三点，设 AB BC，物体经过 A、 B、 C 三点时的动能分别为 EkA， EkB， EkC，则它们之间满足的关系是( )A EkB EkA EkC EkB B EkB EkAEkC EkB D EkCL2 L3，故 W1W2，再由动能定理可判断 C、D 正确答案 CD8微元法在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程” ，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程” ，然后再对“元过程”运用必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到解决当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力的方向
10、与位移的方向同步变化，则可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为是恒力做功，那么总功即为各个小元段做功的代数和例 7 如图所示，将质量为 m 的物体从山脚拉到高为 h 的山顶，且拉力总是与物体所经过的坡面平行，已知物体与坡面的动摩擦因数为 ，山脚到山顶的水平距离为 s，求将物体从山脚拉到山顶克服摩擦力做多少功？- 6 -解析 物体在拉力作用下从山脚拉到山顶，由于摩擦力在山坡的不同位置方向、大小都发生变化，要求出克服摩擦力所做的功，可通过取一微元段进行分析，最后求得摩擦力做的总功如图，设想物体在山坡上通过一微元段 L 时，摩擦力的大小为 f，当 L 很小时，可认为摩擦力为恒力所以物体克
11、服摩擦力做功：W fL mg cosL mgs ，故克服摩擦力做的总功：W W mgs .答案 mgs9补偿法有些问题从表面上看无从下手，或者由题设条件很难直接求解但是，在与原题条件不相违背的前提下，如果适当地补偿一定的物理模型、物理装置，或者一定的物理过程、物理量等，补缺求整，往往可使问题由“繁”变“简” ，从而解决问题这种思维方法称为补偿法例 8 如图所示，质量为 M 的机车，牵引质量为 m 的车厢在水平轨道上匀速前进，某时刻车厢与机车脱钩，机车在行驶 L 路程后，司机发现车厢脱钩，便立即关闭发动机让机车自然滑行，该机车与车厢运动中所受阻力都是其车重的 k 倍，且恒定不变试求当机车和车厢都
12、停止运动时，机车和车厢的距离解析 所求机车与车厢的距离等于车厢与机车脱钩后二者位移之差，题中只涉及位移、力、速度，故可利用牛顿运动定律、动能定理等多种知识求解解法一：运用动能定理求解所设各量如题图所示，对机车脱钩后的全过程应用动能定理- 7 -对机车： FL kMgs10 Mv212对车厢： kmgs20 mv212列车原来做匀速运动，故有 F k(M m)g联立可得 s1 s2 L.M mM解法二：补偿法某时刻车厢与机车脱钩，若司机同时发现车厢脱钩，立即关闭发动机让机车自然滑行，那么该机车与车厢最终会停于同一点司机晚发现，则牵引力对机车多做的功应等于机车多克服摩擦力做的功，即 k(M m)gL kMgs，解出 s( M m)L/M.答案 ( M m)L/M
